专题一-集合-与简易逻辑

专题一-集合-与简易逻辑

2 专题一集合与简易逻辑

一、考点回顾

1、集合的含义及其表示法，子集，全集与补集，子集与并集的定义；

2、集合与其它知识的联系，如一元二次不等式、函数的定义域、值域等；

3、逻辑联结词的含义，四种命题之间的转化，了解反证法；

4、含全称量词与存在量词的命题的转化，并会判断真假，能写出一个命题的否定；

5、充分条件，必要条件及充要条件的意义，能判断两个命题的充要关系；

6、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

二、经典例题剖析

考点1、集合的概念

1、集合的概念：

（1） 集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；

（2） 集合的分类：

3

4 例1、下面四个命题正确的是

（A）10以内的质数集合是{1，3，5，7} （B）方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2}

（C）0与{0}表示同一个集合 （D）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}

例2、已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，2m}．若BA，则实数m＝

．

考点2、集合的运算

1、交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且xA｝，集合U表示全集；

2、运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），

CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。

3、学会画Venn图，并会用Venn图来解决问题。

例3、设集合A＝{x|2x＋1＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，则AB等于（ ）

(A){x|－3＜x＜1} (B) {x|1＜x＜2} (C)｛x|x－3｝ (D) ｛x|x1｝

图

5 例4、经统计知，某村有电话的家庭有35家,有农用三轮车的家庭有65家,既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为

( )

A. 60 B. 70 C. 80

D. 90

例5、（2008广东卷）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}。集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）

A.AB B.BC

C.A∩B=C D.B∪C=A

考点3、逻辑联结词与四种命题

1、命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；

2、复合命题的形式：p且q，p或q，非p；

3、复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为图

6 真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。

4、四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。

例6、（2008广东高考）命题“若函数()log(0,1)afxxaa在其定义域内是减函数，则log20a”的逆否命题是（ ） A、若log20a，则函数()log(0,1)afxxaa在其定义域内不是减函数 B、若log20a，则函数()log(0,1)afxxaa在其定义域内不是减函数 C、若log20a，则函数()log(0,1)afxxaa在其定义域内是减函数 D、若log20a，则函数()log(0,1)afxxaa在其定义域内是减函数

例7、已知命题:p方程210xmx有两个不相等的负数根；:q方程244(2)10xmx无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

7 解：

考点4、全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词 （1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“”表示。 （2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“”表示。 2．全称命题与特称命题 （1）全称命题：含有全称量词的命题。“对xM，有p（x）成立”简记成“xM，p（x）”。 （2）特称命题：含有存在量词的命题。“xM，有p（x）成立” 简记成“xM，p（x）”。3． 同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下，供参考。

命题 全称命题xM，p（x） 特称命题xM，p（x）

表述

方①所有的xM，使p（x）成立 ①存在xM，使p（x）成立

②对一切xM，使p（x）成立 ②至少有一个xM，使p（x）成立

8 法 ③对每一个xM，使p（x）成立 ③对有些xM，使p（x）成立

④任给一个xM，使p（x）成立 ④对某个xM，使p（x）成立

⑤若xM，则p（x）成立 ⑤有一个xM，使p（x）成立

4．常见词语的否定如下表所示：

词语 是 一定是 都是 大于 小于

词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于

词语 且 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立

词语的否定 或 一个也没有 至多有n-1个 至少有两个 存在一个x不成立

例8、（2007山东）命题“对任意的01,23xxRx”的否定是（ ） A.不存在01,23xxRx B.存在01,23xxRx C.存在01,23xxRx D. 对任意的01,23xxRx

例9、命题“0x，有20x”的否定是 ．

9 考点5、充分条件与必要条件

1、在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，理解“越小越充分”的含义。

例10、（2008安徽卷）0a是方程2210axx至少有一个负数根的（ ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

例11、（2008湖北卷）若集合RxxxQP,50,4,3,2,1,则：（ ） A. Rx是Qx的充分条件，不是Qx的必要条件 B. Rx不是Qx的充分条件，是Qx的必要条件 CRx是Qx的充分条件，又是Qx的必要条件. D.Rx既不是Qx的充分条件，又不是Qx的必要条件 三、方法总结与高考预测 （一）思想方法总结 1. 数形结合 2. 分类讨论

（二）高考预测

1．集合是每年高考必考的知识点之一。题型一般是选择和填空的形式，主要考查集合的运算和求有限集合的子集及其个数．

10 2．简易逻辑是在高考中应一般在选择题、填空题中出现，如果在解答题中出现，则只会是中低档题．

3．集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现．

四、复习建议

1．在复习中首先把握基础性知识，深刻理解本单元的基本知识点、基本数学思想和基本数学方法．重点掌握集合、充分条件与必要条件的概念和运算方法．要真正掌握数形结合思想——用文氏图解题．

2．涉及本单元知识点的高考题，综合性大题不多．所以在复习中不宜做过多过高的要求，只要灵活掌握小型综合题型(如集合与映射，集合与自然数集，集合与不等式，集合与方程等，充分条件与必要条件与三角、立几、解几中的知识点的结合等) 映射的概念以选择题型出现，难度不大。就可以了

3．活用“定义法”解题。定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点。利用定义，可直接判断所给的对应是否满足映射或函数的条件，证明或判断函数的单调性与奇偶性并写出

11 函数的单调区间等。

4．重视“数形结合”渗透。“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议便是：画个图!利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题。

5．实施“定义域优先”原则。函数的定义域是函数最基本的组成部分，任何对函数性质的研究都离不开函数的定义域。例如，求函数的单调区间，必须在定义域范围内；通过求出反函数的定义域，可得到原函数的值域；定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要条件。为此，应熟练掌握求函数定义域的原则与方法，并贯彻到解题中去。

6．强化“分类思想”应用。指数函数与对数函数的性质均与其底数是否大于1有关；对于根式的意义及其性质的讨论要分清n是奇数还是偶数等。