微分中值定理经典题型

1 柯西中值定理 拉格朗日中值定理 洛尔定理

费马定理 根值（零值）定理 有界定理或最大值与最小值定理

n 以下的连续函数在闭区间x a, b的基本定理（只与函数有关）共同条件：闭连续

微分中值 8 定理与积分 3 定理及函数的 9 性质的综合证明题型与技巧

一) 中值八定理 ① x a, b  m  f (x)  M 。注意 x a, b是闭区间。

②

● 是 介 于

f a 与

f b f a f b,

 f a,

 f b 任 一 值 ， 则 必

  a, b  f ( )  。注意  a, b 是开区间。

● 其推论是：当m   M ，则必 a, b  f ( )  。 a, b。注意 a, b是闭区间。

③ f (a)  f (b)  0 ，则   (a, b)  f ( )  0 。注意 x  a, b 是开区间。

④ x  ( x0  , x0  ), f (x)  f (x0 )或  f (x0 ) ,如果 f (x0 ) 存在，则 f (x0 ) =0。

⑤ f (a)  f (b), 则   (a, b) f ( )  0

⑥   (a, b)  f (b)  f (a)  f ( )(b  a)

⑦   (a, b) f (b)  f (a) g(b)  g(a) f ( )

g( )

⑧  1   n 1 2

f  x   f ( x0  h)   n !  h x f ( x0 )  Rn  f  x0   f   x0  x  x0   f   x0  x  x0 2!  ...  Rn

微分中值定理的解题应用

微分中值定理是整个微分学的理论基础,它们建立了函数值与导数值之间的定量联系。本文介绍了微分中值定理在证明恒等式,证明不等式,讨论方程根的存在性等方面的应用。

标签：微分中值定理 解题 应用

0 引言

以罗尔定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组微分中值定理是整个微分学的理论基础,尤其是拉格朗日中值定理。它们建立了函数值与导数值之间的定量联系,掌握好微分中值定理的应用,有些问题就会变得迎刃而解,下面介绍微分中值定理的在证明恒等式、证明不等式、讨论方程根的存在性等方面的应用。

1 证明恒等式

函数f(x)在区间I上可导且f’(x)≡0,=>f(x)为I上的常值函数。 反之也成立。

例1 证明恒等式: arctanx=-arcsin+.(x≥1)

证明:我们要证明的是

f(x)=arctanx+arcsin+

所以f(x)在(1,+∞)为常数,又

即f(x)≡f(1)= (x≥1)

2 证明不等式

利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明,将欲证明的不等式变形,使之化为

Mb>0,n>1,证明不等式: nbn-1(a-b)0,对01,

即>1,

又αx-α=α(x-1)1时, ∈(1,x), 0,

故xα-10)在(0,1)内至少有一个实根。

证明:令=0,只要证明方程f(x)=0在(0,1)内至少有一个实根即可。

又f(x)是 的导函数,即

F’(x)=f(x),又F(0)=F(1)=0,对F(x)利用罗尔定理得,存在 ∈(0,1),使得=0,即f(x)=0在(0,1)内至少有一个实根。

掌握好了以上微分中值定理的三类基本解题应用,求解其它相关问题时就能得心应手。

比如:讨论函数 在(0,+∞)上的单调性时,就涉及到f’(x)>0(或f’(x)0还是f’(x)0(或f’(x)<0)的过程。

参考文献:

[1]张奠宙.微积分教学:从冰冷的美丽到火热的思考[J].高等数学研究.2006.03.

微分中值定理

【教学内容】 拉格朗日中值定理

【教学目的】

1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义；

2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。

3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2

【教学重点与难点】

1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用

2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。

3、利用导数证明不等式的技巧。

【教学过程】

一、背景及回顾

在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。

另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。

由此我们学习了极值点的概念、费马定理、特别是罗尔定理，我们简单回忆一下罗尔定理的内容：若函数)(xf满足下列条件：

①在闭区间ba,连续

②在开区间ba,可导

③)()(bfaf

则在ba,内至少存在一点c，使得0)('cf

二、新课讲解

1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理，但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础， 我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容：

2.1拉格朗日定理

若函数)(xf满足下列条件：

①在闭区间ba,连续

②在开区间ba,可导

则在开区间ba,内至少存在一点c，使 abafbfcf)('

注：a、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。

第五章 微分中值定理及其应用 上册P224—226习题解答

174 上册P224—226

习题解答

1. 求下列函数的极值点 , 并确定单调区间 :

⑴ y1123223

xxx

.

解 定义域D

) , (

.



y)2)(1(612662

xxxx

, y

的符号为 :

十 一 十

1

2

X

可见 ，在区间) 1 , (

和) , 2 (

内 y

↗↗，在区间) 2 , 1 (

内y

↘↘ ； y

在

点x

1

取极大值 ，在点x

2

取极小值 .

⑵ yxxsin

.

解 定义域D

) , (

.

0cos1

xy

,且使0

y

的点不充满任何区间 ,

在) , (

内y

↗↗.

⑶ yxxln

.

解 定义域D

) , 0 (

.



y

xx

22ln

. y

的符号为 :

一 十

0

2

e

X

可见 ，在区间) , 0 (2

e

内y

↘↘ ，在区间) , (2

e

内y

↗↗；y

在点x2

e

取极小值 .

⑷ yxn

ex

解 定义域D

) , (

. 第五章 微分中值定理及其应用 上册P224—226习题解答

175 )(1

xnxeynx



. 1n

时 , y

的符号为 :

一 十 一

0

n

X

可见 ，在区间) 0 , (

和) , (n

内 y

↘↘，在区间) , 0 (n

内y

↗↗； y

在点

x

0

取极小值 ，在点xn

取极大值 .

⑸ y

32

2)1(



xx

.

解 定义域D

) , 2 () 2 , (

.

232

2

)2()5)(1(

2)1(

31

















xxx

xx

y

. y

的符号为 :

十 一 一 十

1

2

5

X

可见 ，在区间) 1 , (

和) , 5 (

内 y

↗↗，在区间) 2 , 1 (

和) 5 , 2 (

内y

↘↘；

y

在点x

1

取极大值 , 在点x5