微分中值定理经典题型

微分中值定理的解题应用

微分中值定理是整个微分学的理论基础,它们建立了函数值与导数值之间的定量联系。本文介绍了微分中值定理在证明恒等式,证明不等式,讨论方程根的存在性等方面的应用。

标签：微分中值定理 解题 应用

0 引言

以罗尔定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组微分中值定理是整个微分学的理论基础,尤其是拉格朗日中值定理。它们建立了函数值与导数值之间的定量联系,掌握好微分中值定理的应用,有些问题就会变得迎刃而解,下面介绍微分中值定理的在证明恒等式、证明不等式、讨论方程根的存在性等方面的应用。

1 证明恒等式

函数f(x)在区间I上可导且f’(x)≡0,=>f(x)为I上的常值函数。 反之也成立。

例1 证明恒等式: arctanx=-arcsin+.(x≥1)

证明:我们要证明的是

f(x)=arctanx+arcsin+

所以f(x)在(1,+∞)为常数,又

即f(x)≡f(1)= (x≥1)

2 证明不等式

利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明,将欲证明的不等式变形,使之化为

Mb>0,n>1,证明不等式: nbn-1(a-b)0,对01,

即>1,

又αx-α=α(x-1)1时, ∈(1,x), 0,

故xα-10)在(0,1)内至少有一个实根。

证明:令=0,只要证明方程f(x)=0在(0,1)内至少有一个实根即可。

又f(x)是 的导函数,即

F’(x)=f(x),又F(0)=F(1)=0,对F(x)利用罗尔定理得,存在 ∈(0,1),使得=0,即f(x)=0在(0,1)内至少有一个实根。

掌握好了以上微分中值定理的三类基本解题应用,求解其它相关问题时就能得心应手。

比如:讨论函数 在(0,+∞)上的单调性时,就涉及到f’(x)>0(或f’(x)0还是f’(x)0(或f’(x)<0)的过程。

参考文献:

[1]张奠宙.微积分教学:从冰冷的美丽到火热的思考[J].高等数学研究.2006.03.

微分中值定理

【教学内容】 拉格朗日中值定理

【教学目的】

1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义；

2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。

3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2

【教学重点与难点】

1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用

2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。

3、利用导数证明不等式的技巧。

【教学过程】

一、背景及回顾

在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。

另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。

由此我们学习了极值点的概念、费马定理、特别是罗尔定理，我们简单回忆一下罗尔定理的内容：若函数)(xf满足下列条件：

①在闭区间ba,连续

②在开区间ba,可导

③)()(bfaf

则在ba,内至少存在一点c，使得0)('cf

二、新课讲解

1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理，但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础， 我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容：

2.1拉格朗日定理

若函数)(xf满足下列条件：

①在闭区间ba,连续

②在开区间ba,可导

则在开区间ba,内至少存在一点c，使 abafbfcf)('

注：a、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。

第三章微分中值定理与导数的应用习题详解

M 12丿」I 2丿

1

第三章 微分中值定理与导数的应用

习题3-1

1.解：(1)虽然 f(x)在［—1,1］上连续，f(—1) = f(1)，且 f(x)在(—1,1)内可导。可见，f(x)

在［_1,1］上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点 匕€(-1,1)，使得f牡)=0，即:

f(X)=cosx, F(X)=1 — sin X 且对任一 x

乏 0,—】，F'(X)H 0 , ”■. f (x), F (x)满足柯西 I 2丿

中值定理条件。

—12© 宀2=0，满足、；

(2)虽然f(x)在［—1,1］上连续, f(_1)= f (1)，但 f (x)在(—1,1)内 x = 0点不可导。可

见，f (x)在［ —1,1］上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点 £ £ (_1,1)，使得

f 徉)=0.

2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件

3

3 .解：令 y = 3arccos x - arccos(3x - 4x3), y ‘ = 一 2

3 —12x2 厂工®®3)2，化简得

y'=0,「. y =c( C 为常数)，又 y(0.5)=兀，故当-0.5

「兀f f 兀、

4 .证明：显然f(x), F(x)都满足在'|0,二I上连续，在10,二 内可导

L 2」 I 2丿

c oxs n——x

、、2丿 F Q-F(O)

12丿 兀

--1

2 F( x) -1 sixn_ c O弓-x

厂(X )_

F(x) ZL"

2 /兀 X ,

，即 tan I - -- U--1，此时

l4 2丿 2

f JI 「兀

X = 2 I— -arctanl — -1 L4 l2 显然萨〔0,-〕，即

丿」 I 2丿 第三章微分中值定理与导数的应用习题详解

2

5.解：因为f(0) = f (1)= f (2) = f (3) =0，又因为f(x)在任一区间内都连续而且可导,

[键入文字]西安交通工程学院《高等数学》教案

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西安交通工程学院《高等数学》课程建设组

时间 ---------月---------日

星期----------------- 课

题 §3.1 微分中值定理

教学目的 理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。

教学重点 罗尔定理、拉格朗日定理的应用。

教学难点 罗尔定理、拉格朗日定理的应用。

课 型 基础课 备课组

教法选择 讲 授

教 学 过 程 教法运用及板书要点

一、罗尔定理

1. 罗尔定理

几何意义：对于在],[ba上每一点都有不垂直于x轴的切线，且两端点的连线与x轴平行的不间断的曲线)(xf来说，至少存在一点C，使得其切线平行于x轴。

C

A B

从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat）引理

费马引理 设函数)(xf在点0x的某邻域)(0xU内有定义 并且在0x处可导 如果对任意)(0xUx 有)()(0xfxf (或)()(0xfxf) 那么0)(0'xf

证明：不妨设)(0xUx时，)()(0xfxf（若)()(0xfxf，可以类似地

ab12xyo)(xfy[键入文字]西安交通工程学院《高等数学》教案

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西安交通工程学院《高等数学》课程建设组

此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

证明）.于是对于)(00xUxx,有)()(00xfxxf, 从而当0x时,

0)()(00xxfxxf; 而当0x时, 0)()(00xxfxxf;