一般常用求导公式

四、基本求导法则与导数公式

１ . 基本初等函数的导数公式和求导法则

基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要

的作用， 我们必须熟练的掌握它， 为了便于查阅， 我们把这些导数公式和求导法则归纳

如下：

基本初等函数求导公式

(1) (C ) 0 (2) (x ) x 1

(3) (sin x) cos x (4) (cos x) sin x

(5) (tan x) sec2 x (6) (cot x) csc2 x

(7) (sec x) secx tan x (8) (csc x) csc xcot x

(9) (a x ) a x ln a (10) (e x ) ex

(log a 1 (ln x) 1

(11) x)

(12) x ，

x ln a

1 (arccos x) 1

(arcsin x)

x 2

x2 (13) 1 (14) 1

1 1

(arctan x)

2 (arccot x)

x2 (15) 1 x (16) 1

函数的和、差、积、商的求导法则

设 u u( x) ， v v( x) 都可导，则

（ 1） (u v) u v （ 2）

（ 3） (uv) u v uv （ 4）

反函数求导法则 (Cu ) Cu （ C 是常数）

u u v uv v v 2

若函数 x ( y) 在某区间 I y 内可导、单调且 ( y) 0 ，则它的反函数 y f ( x)

在对应区间 I x 内也可导，且

dy 1

1 dx dx

f ( x)

dy ( y) 或

复合函数求导法则

设 y f (u) ，而 u (x) 且 f (u) 及 ( x) 都可导，则复合函数 y f [ (x)] 的

16个基本导数公式推导过程

推导过程如下：

1.常数函数：f(x)=c

求导结果：f'(x)=0。

证明过程：由导数定义可得，当函数为常数时，无论x取任何值，函数的增量都为0，即f(x + Δx) - f(x) = 0。所以，f'(x) =

lim(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x)] / Δx = 0。

2.幂函数：f(x)=x^n，其中n为正整数。

求导结果：f'(x) = nx^(n-1)。

证明过程：利用定义求导。计算f(x + Δx) = (x + Δx)^n与f(x)

= x^n的差值，然后除以Δx，当Δx趋于0时求极限。利用二项式展开，可以得出f'(x) = nx^(n-1)。

3.指数函数：f(x)=e^x。

求导结果：f'(x)=e^x。

证明过程：由指数函数的性质可知，e^0 = 1，且(d(e^x)/dx) = e^x。因此，可以据此推导出f'(x) = e^x。

4. 对数函数：f(x) = ln(x)。

求导结果：f'(x)=1/x。 证明过程：由导数定义可得f'(x) = lim(Δx→0) [ln(x + Δx) -

ln(x)] / Δx。利用对数的性质，将差值化简为ln((x + Δx)/x)，再除以Δx并取极限，最终得出f'(x) = 1/x。

5. 正弦函数：f(x) = sin(x)。

求导结果：f'(x) = cos(x)。

证明过程：利用极限定义求导。计算f(x + Δx) - f(x) = sin(x +

Δx) - sin(x)，然后除以Δx并取极限。应用三角函数的合角公式并利用三角恒等式可得f'(x) = cos(x)。

6. 余弦函数：f(x) = cos(x)。

求导结果：f'(x) = -sin(x)。

证明过程：同样应用极限定义。计算f(x + Δx) - f(x) = cos(x +

Δx) - cos(x)，然后除以Δx并取极限。同样利用三角函数的合角公式和三角恒等式，得出f'(x) = -sin(x)。

§3.1 导数的概念及运算

1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3．函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.

4．基本初等函数的导数公式

原函数 导函数

f(x)＝c (c为常数) f′(x)＝__0__

f(x)＝xα (α∈Q*) f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax (a>0) f′(x)＝axln_a

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝1xln a

f(x)＝ln x f′(x)＝ 1x 5.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2 (g(x)≠0)．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

导数公式：

基本积分表：

...590457182818284.2)11(lim1sinlim0exxxxxx axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin2222222222222222222220201. 推导余切函数及余割函数的导数公式:

(cot x)′=−csc2x ; (csc x)′= −csc xcot x .