宁夏回族自治区银川一中2018届高三第三次模拟考试数学(理)试题(解析版)

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学

(银川一中第三次模拟考试)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】分析：根据对数函数的单调性求出集合B，然后再求出．

详解：由题意得，

∴．

故选A．

点睛：本题考查对数函数的单调性的应用和集合的运算，解答本题的关键是根据对数函数的单调性求出集合B，然后可得结果．

2. 已知复数，是的共轭复数，则＝

A. B. C. 1 D. －1

【答案】C

【解析】分析：根据复数的除法先求得复数，于是可得，然后再求即可．

详解：由题意得，

∴，

∴．

故选C．

点睛：对复数的考查以基础知识为主，考查的重点有两个：一是复数的四则运算，二是复数的基本概念．解题的关键是准确进行复数的运算、正确握复数的基本概念．

3. 已知向量，且∥，若均为正数，则的最小值是

A. 24 B. 8 C. D.

【答案】B

【解析】试题分析：由∥得，因此，当且仅当时取等号，所以选B.

考点：基本不等式求最值

【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

4. 甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n的比值

A. B. C. 2 D. 3

【答案】A

【解析】分析：根据茎叶图得到甲乙两组数的中位数和平均数，根据题意求出的值，然后可得所求．

详解：由题意得，甲组数据为：；乙组数据为：．

∴甲、乙两组数据的中位数分别为，

且甲、乙两组数的平均数分别为

．

由题意得，解得，

∴．

故选A．

点睛：茎叶图的优点是保留了原始数据的所有特征，且便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图和平均数、方差、众数、中位数等数字特征常结合在一起，考查学生的数据分析能力和运算能力．

5. 已知各项均不为0的等差数列满足，数列为等比数列，且，则

A. 4 B. 8 C. 16 D. 25

【答案】C

【解析】分析：先根据等差数列下标和的性质求出，进而得到，再根据等比数列下标和的性质求即可．

详解：∵等差数列中，

∴，

又，

∴，

∴．

∴在等比数列中，．

故选C．

点睛：本题主要考查等差、等比数列中项的下标和的性质，即若 ，则等差数列中有，等比数列中有．利用数列这个性质解题，可简化运算、提高解题的效率．

6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为3，则输出v的值为

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】分析：先读懂程序框图的功能，然后依次运行程序可得结果．

详解：依次运行程序框图中的程序，可得

①满足条件，；

②满足条件，；

③满足条件，；

……

⑨满足条件，；

⑩满足条件，．

而不满足条件，停止运行，输出．

故选B．

点睛：解答由程序框图求输出结果的问题的关键是读懂题意、弄清程序框图包含的结构，进而得到框图的功能，然后通过逐次运行程序得到输出的结果．

7. 在中，角所对应的边分别是，若 ，则角等于

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】∵，

∴（a﹣b）（a+b）=c（c+b），∴a2﹣c2﹣b2=bc，

由余弦定理可得cosA=

∵A是三角形内角，∴A=故选D.

8. 给出下列四个命题：

①若样本数据的方差为16，则数据的方差为64；

②“平面向量夹角为锐角，则＞0”的逆命题为真命题；

③命题“，均有”的否定是“，使得≤”；

④是直线与直线平行的必要不充分条件．

其中正确的命题个数是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】 由题意得，①中，数据的方差为，所以是正确的；

②中，因为时，，所以逆命题是错误的；

③中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知是正确的；

④中，若直线与直线平行，则，解得或，

所以是两直线平行的充分不必要条件，所以错误的，故选B.

9. 函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】分析：先判断出函数为偶函数，故可排除A,C；利用导数得到函数单调递减，可排除B，从而可得D正确．

详解：由题意得函数的定义域为．

∵，

∴函数为偶函数，可排除选项A，C．

又，

∴，

∴当时，单调递减，可排除B．

故选D．

点睛：已知函数的解析式判断函数图象的大体形状时，可根据函数的定义域、奇偶性、单调性和函数的变化趋势、特殊值等进行排除，从而可逐步得到答案．

10. 一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】由三视图知，几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱

的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，四棱锥的高与圆锥的高相同，高是

∴几何体的体积是.故选A.

11. 已知抛物线的焦点为，点为上一动点，，,且的最小值为，则等于

A. 4 B. C. 5 D.

【答案】B

【解析】分析：利用的最小值为求出的值，从而得可得点的坐标，然后利用抛物线的定义即可得出结论．

详解：设点，则．

∴，

∴当时，有最小值，且最小值为．

由题意得，

整理得，

解得或．

又，

∴，

∴点B坐标为．

∴由抛物线的定义可得．

故选B．

点睛：（1）圆锥曲线中的最值问题，解答时可通过设出参数得到目标函数，然后根据目标函数的特征选择合适的方法求出最值．

（2）抛物线的定义实现了点到直线的距离和两点间的距离的相互转化，利用这一结论可使得有关问题的解决变得简单易行．

12. 定义：如果函数的导函数为，在区间上存在，使得，，则称为区间上的"双中值函数"．已知函数是上的"双中值函数"，则实数的取值范围是

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】分析：根据题意可得，从而得方程在区间内有两个不同的实数解，然后利用二次函数的性质求出的取值范围．

详解：∵，

∴．

∵函数是上的"双中值函数"，

∴存在，使得，

∴方程在区间上有两个不同的解，

令，

则，解得．

∴实数的取值范围是．

故选D．

点睛：解答本题时注意两点：一是解题时要以给出的定义、方法为基础，这是解题的关键；二是合理运用转化的方法，将问题转化为方程在给定区间上有两个不相等实根的问题，最后根据二次方程根的分布的有关知识解决．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13. 已知，则__________．

【答案】

【解析】

14. 若实数，满足，则的最大值是__________.

【答案】1

【解析】分析：画出不等式组表示的可行域，令，可得，利用线性规划得的取值范围，从

而可得的最大值．

详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．

令，得．平移直线，结合图形可得：当直线经过可行域内的点时，直线在y轴上的截距最小，此时t取得最大值，且；当直线经过可行域内的点时，直线在y轴上的截距最大，此时t取得最小值，且．

∴，即，

∴，

∴的最大值是1．

点睛：解答线性规划问题的实质是运用数形结合的方法解题，本题中解答的关键是求出的范围，从而可得的范围，进而得到所求的最大值．

15. 如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形, 在大正方形内随机取一点, 这一点落在小正方形内的概率为,若直角三角形的两条直角边的长分别为,则________.

【答案】

【解析】分析：根据几何概型的意义，求出三角形的面积和大正方形的面积，根据题中的概率得到关于的方程，解方程可得结论．

详解：由题意得大正方形的面积为，每个阴影三角形的面积为．

∵在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，

∴，

整理得，

∴，

解得或．

又，

∴．

点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷、直观的方法．解答此类问题的关键是用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，以及事件A发生所包含的试验结果表示的的区域，然后利用几何概型概率公式求解即可．

16. 二项式的展开式中的系数为，则________.

【答案】

【解析】分析：先根据二项展开式的通项求得的系数，进而得到的值，然后再根据微积分基本定理求解即可．

详解：二项式的展开式的通项为，

令，可得的系数为，

由题意得，

解得．

∴．

点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项，然后根据题目要求求解．定积分计算的关键是确定被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求解．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知数列中，，其前n项的和为，且满足 .

（1）求证：数列是等差数列；