乘法公式-教师版

1 / 14

同步课程˙乘法公式

计算：（1）22xx （2）3131xx （3）abab （4）2323xx

（5）21x （6）221x （7）2ab （8）2ab

【答案】（1）24x （2）291x （3）22ab （4）249x

（5）221xx （6）2441xx （7）222aabb （8）222aabb

平方差公式

22()()ababab

平方差公式的特点：即两数和乘以它们的差等于这两数的平方差．

①左边是一个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数．

②右边是乘方中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．

注意：①公式中的a和b可以是具体的数也可以是单项式或多项式．

如：2(2)(2)4aaa；22(3)(39xyxyxy）；

22()()()abcabcabc；3535610()()ababab．

②不能直接运用平方差公式的，要善于转化变形．

如：97103(1003)(1003)9991；22()()()()abbaababab

完全平方公式

222()2abaabb；222()2abaabb

即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍． 乘法公式

知识回顾

知识讲解

2 / 14

同步课程˙乘法公式

abba完全平方公式的特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中的每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍，可简单概括为口诀：“首平方，尾平方，积2倍在中央”．

注意：①公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式。

②一些本来不是二项式的式子的平方也可以利用完全平方公式来计算，

22()[()]abcabc22()2()ababcc

222222aabbacbcc222222abcabacbc

【例1】 如图，从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作所能验证的公式是__________．

ba ab

【答案】如图，左图中阴影部分的面积为22ab，右图中阴影部分的面积为()()abab，而两图中阴影部分的面积应该是相等的，故验证的公式为22=()()ababab(反过来写也可)

【变式练习】如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(ab)，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式_________________.

ba abba

【答案】左图中阴影部分的面积为22ab，右图中阴影部分的面积为1(22)()()()2baababab，故验证了公式22()()ababab(反过来写也可)

【例2】 如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的同步练习

3 / 14

同步课程˙乘法公式

不同表示方法，写出一个关于a、b的恒等式___________．

【答案】22()()4ababab或224()()ababab

【变式练习】如图所示的几何图形可以表示的公式是_____________

b2a2abababba

【答案】如图，整个大正方形的面积为2()ab，

而四个小图形的面积之和为222aabb，

因此验证的公式为：222()2abaabb．

【例3】 直接写出结果：

（1）xyxy （2）yxxy

（3）yxyx （4）xyyx

（5）xyxy （6）xyxy

【答案】（1）22xy； （2）22xy； （3）22yx； （4）22xy； （5）22yx； （6）22xy．

【例4】 运用平方差公式计算：

（1）33xyxy （2）xabxab （3）221212bb

（4）2211()()22xyxy （5）()()mnmnabab （6）233223xyyx

【答案】（1）229xy； （2）222xab； （3）4144b；

（4）4214xy； （5）22mnab； （6）22496xy．

【例5】 运用平方差公式计算：

4 / 14

同步课程˙乘法公式

（1）22bcbc （2）2222mnmn

（3）(41)(41)aa （4）4242xyxy

【答案】（1）2222222224bcbccbcbcbcb；

（2）22222422224mnmnmnmn；

（3）222(41)(41)(4)1161aaaa；

（4）2222=+=4242242424416xyxyyxyxyxyx．

【变式练习】下列各式中能使用平方差公式的是（ ）

A．4334xyyx B．2323xyxy

C．2222xyyx D．232311112525mnmn

【答案】C

【例6】 利用平方差公式简化计算：

（1）59.860.2 （2）10298

（3）2123461234512347 （4）11411515

【答案】（1）2259.860.2(600.2)(600.2)600.23599.96；

（2）2210298(1002)(1002)10029996；

（3）2222212346123451234712346(123461)(123461)12346(123461)1；

（4）1141112241(1)(1)115151515225225．

【例7】 已知：xy、为正整数，且2249=31xy，求出满足条件xy、的值．

【答案】2249=232331xyxyxy

∵xy、为正整数，31是质数，只能写成131，

5 / 14

同步课程˙乘法公式

∴2331231xyxy 解得85xy

即满足条件的85xy，．

【例8】 如果(221)(221)63abab，那么ab的值是

【答案】∵(221)(221)63abab， ∵222()163ab，∴4ab．

【变式练习】下面计算77abab正确的是（ ）

A．原式22777+ababab

B．原式22777ababab

C．原式22777ababab

D．原式22777ababab

【答案】B

【例9】 计算（1）241111xxxx （2）2439381aaaa

（3）248642121212121L

【答案】（1）原式242244481111111111xxxxxxxxxx；

（2）原式242244482339819981818181aaaaaaaaaa；

（3）原式2486412821212121212121L．

【变式练习】计算（1）2481511111111122222

（2）24823131313131nL

【答案】（1）原式248161111112111112222222；

6 / 14

同步课程˙乘法公式

（2）原式12248213131313131313122nnL．

【例10】 9621有可能被60到70之间的两个整数整除，试求出这两个数．

【答案】964848212121661224482121212121

1224486365212121，这两个数是63和65．

【变式练习】已知2431可能被20至30之间的两个整数整除，求这两个整数．

【答案】241212313131126333131313112631312826

所求两个整数为28、26．

【例11】 直接写出结果：

（1）25x （2）21()2x

（3）2xy （4）2xy

【答案】（1）21025xx； （2）214xx； （3）222xxyy； （4）222xxyy．

【例12】 计算：（1）2(4)mn （2）23xy （3）2(32)xy （4）21(4)4y