代数式求最值的方法

圃,,教育时空

求代数式值的若干方法

广西崇左市宁明县寨安中学黄尚宏

代数式的求值是初中数学的一个重要内容,在各地中考中

经常出现。这类问题技巧性强,解题时如果不注意目的结构特

征,采取恰当的方法,往往计算量很大,甚至无法求得,现举若

干方法,以供参考。

一、化简代入法

例、已知二丫厄,二丁一,求一李军二一,,一,一’一‘一份十,的值。

解由已知易得,一了一犷丁一,了

、丁一五、巧用隐含条件法

例、已知协两飞泛二歹,求的值。

解由二次根式定义得

…原式二一〕一〕,解得,从而

六、取倒法

例、已知,车一十李,求斗’的值。

解丫不华下一二李…竺丝土上二李,即、上件斗

百才一鱼力卫竺且竺一互

二、取绝对值法

例、已知工畜训了,求。一上的值。

解一上、十工齐

…一上二士

三、整体代入法

例、已知十,二“,求李的值。

解由、七,得、一上二笋。,即上

…原式上二一曰

四、换元法坏斗上二上七屯

‘义月

七、利用比例性质法

例、已知二鱼互求匹士霎生茎土星其的值。一乙一

解由、蟀得李斗,根据合比定理,得”一一””一『一’一一”哗一‘

一士旦一同理可得茎土鱼一旦士旦一

源式二瓮黯

八、添项法

例已知‘,。,求‘含告‘告含卜舍

‘含的值。

例、已知介,求尹的值。解丫尹,护,尹,。笋

解由、、介材,得屯胜

…尹。,…生二

设生,得二,解之得或二源式二舒舒舒号十冬十韵告韵价

于卜一,

求代数式的值还有许多其它方法,解题时,要注意仔细观

察,掌握特征,选择合理的钥匙方法,做到简捷解题。

…原式二生竺二兰心终二鱼或互坏一

结合教材自然地进行思想教育,不可信口开河。

明确性。结课应从教材内容出发,紧扣目标和学生实际情况,采用

恰当的方法,或从重难点拨,或从智力开发、思想教育予以引

导,针对性强,不可面面俱到不分主次。

言简意赅富启发性。结课应重点突出,切中要害,画龙点睛恰到好处,语言精炼

干净利落。要给学生以启发,要“点而不透,含而不露,意味无穷”。这样才能开启学生思维的闸门,激起思维火花,有助于思

维能力的培养,才能收效良好,意味隽永。

知识篇·知识结构与拓展　壹二墼字　—兰　月　■田钰田　一、利用数轴求最值　侧，　没一、　，求，　“＿．ｊ　一，Ｊ　ｉ的最　小　。　解法１：利川“零点分段法”逐…　‘沦．在　行个取值范刚１人】求　代数式的最小值，然后　比较得　｛所求的最小值。如　１所乐，利用　数轴进行分段　沦。　］［；．　“　ｌ　（　一≥，】Ｈ０’，　｛Ｉ＿一Ｉ　一，Ｊ—　“＋　一６—２ｊ一（“十　）。显然．　一　Ｈ、ｒ，　（　…“＋ｊ一　｝）　一２　一（‘　＋，））一２ｂ　（“卜　）一厶　“。　②　“（　ｚ　日寸，Ｉ　一“＋　，一Ｄ　Ｉ一　．ｚ’一“＋６一Ｊ。　“，　５　然，当Ⅱ＜：　ｚ　Ｈ寸，　（．　——“　卜１．　／Ｊ）　二－＝　～“。　⑧　≤“　．　一“】＋Ｉ　｛＿－　一　｛　。一（“＿卜　）一２　。显然．　ｌ，　ｉ一　时，　（　一“　十｛　～，Ｊ　１）矗｝＿】ｌ一“一　ｒ＋　一　一（“＋　，Ｊ）　２“一　“。　综卜可得，　“ｃ：　时．；　一“　卜ｊ，　Ｉ　的直　／Ｊ、佩为６　“。　解法２：从绝对使的儿何意义看，求　～　“十一一６　ｌ的最小值，其实质是存数轴ｊ　寻　找　点－’，使得到　个零点ｎ，　的距离之和　艇。　察　１　知，点　ｒ无论在零　·　ｎ的　侧，还足住零点　的柯侧，点－刨这两个零　点一６的距离之车１１部不是最小，　彳丁　“≤　时，　一“Ｉ十　…　１取得最小值为６一　ｃ　（【＝！Ｄ两点之　的线段最　）。　一Ｉ、利用一元一１次方程的判别式求最值　倒２求　数　≥｝兰　１的最值。　＋　＋……　解：原闲数¨　化为（ｙ　２ｊ　＝＝＋（　一２）ｊ’　＋、，一３　０。　①　当　一２时，　然①式不成泣，可　、Ｊ　２。、　≠２时，Ｅｈ　ｔ∈Ｒ，ｌ１Ｊ程｛△一　１“（：；ｊ　０，即△二＝　（　一２）１　４（＿ｖ～２）（ｊｔ　：｛）、、０．晰　得２＜Ｙ≤　。　综上所述，　…小存在，　一　１０。　三、利用换元法求最值　１列了　求函数ｙ一、ｒ十、／Ｉ二—　一自勺＾专久　ｆ“　９　解：设ｆ一　厂『　（ｆ≥（））．则　一　。　闲数可化为、　２　放、』，ｔ一１。即　＝＝０　ｔｌ寸，　一１　倒　已　数．ｈ　满足，ｔ　５。ｖ　。一。。设ｓ—ｚ　＋　，求　一去　１　的　１　最小值。　解：利ＨＪ“双换无法”求解。　设　ｚ’一“４－６，　一“…，】。　Ｉ“４．ｒ　１　５．ｒｙ＋４　一５，呵得　１　十　８ａｂ一卜４ｆ】　——５（ｄ　——　）—ｒ＿４（“　——２“　斗　：）＝５．　化简可得３（３　２＋１３６　１—５，所以窖＋　～ｌ　３　ｌ　３　ｆ｝ｌ　，设　一　“舢一　ｆｌ１于Ｓ一．ｒ　＋　一２ａ　十２　１　２×　＿量Ｉｃ。ｓ　一ｚ×　一　。　！　＋　一　ｓｉｎ。臼，所以　一　，ｓ　一　ｌ　Ｏ．．敞　１　１　８　一　叶　一ｉ。　作者单位：河北省张家口市第一中学　（责任编辑　郭正华）　１５　

数学竞赛中代数式最值问题的解题策略

The manuscript was revised on the evening of 2021 数学竞赛中代数式最值问题的解题策略

邮编：422200 作者：湖南隆回一中 邹启文

数学竞赛中最值问题，有一定难度，但只要我们去认真的分析，仔细地思考，不管问题再难，其实万变不离其宗，总离不开所学过的知识点和基本方法。如不等式法（包含非负数性质a≥0，2a≥0， a≥0，一元二次方程判别式△≥0，整体大于部分等等），公式法（包括二次函数顶点坐标公式、三角函数公式、完全平方公式等等），区间取值法（包括一次函数线段端点取值与曲线在某区间内的最值求取等等），在求解方法上也有其规律性，如夹逼法、递推法、枚举法、放缩法、排序法，还有转化为几何图形法等等。近两年来的各级各类初中数学竞赛中的最值问题，在题型上已呈现出一个崭新的形势，其变化之多、涉及面之广、形式之灵活可谓达到了空前的程度，同时最值的求法也有了较大的拓展，打破了原有的思维定势，但仍然是有章可循的。

例1：已知设1x、2x、3x、……nx均为连续正整数，且1x＜2x＜3x＜……＜nx，1x+2x+， 3x+……+nx=2005，则nx的最大值是＿＿＿＿最小值＿＿＿＿（2005年自编题）

分析：这是一道须利用不等式求解的试题，由于有1x+2x+3x+……+nx=2005，所以应当想到这些数的平均数必与中位数接近，于是可由此确定3x的数值或范围。然后再求nx的最大与最小数值。

解：由题意可设1x+2x+3x+……+nx=1+2+3+……+n=2005，由高斯求和公式可得200521nn，解得63n，但当63n时2016326321636321nn

当62n时1953633121626221nn，∵1953≤2005≤2016，且n是整数，∴n≠62或63，我们又观察到平均值nnnxxxx1321140152005，且5和401都是质数，显然n不可能是401，∴n只可能是5，故有1x+2x+3x+……+5x=2005又∵平均数51（1x+2x+3x+……+5x）=200551=401，且1x、2x、3x、……nx均为连续正整数和1x＜2x＜3x＜……＜5x，即4013x∴当3991x，4035x时，恰有2005403402401400399，于是nx的最大值是403，最小值399。

求代数式值的方法

代数式是由数字、字母和运算符组成的表达式。它们在数学中具有非常重要的作用，因为它们可以用来求解各种数学问题，如方程、不等式等。但是，代数式的价值如何确定是一个常见的问题。本文将介绍如何求代数式的值，以及在不同情况下的常见计算方法。

首先，我们需要了解代数式中的常见符号和运算。代数式使用加减乘除等运算符号，常见的数学符号包括圆括号、方括号、花括号、冒号等，其中圆括号是最常用的括号，它们用于组合和区分数学表达式中的不同部分。在代数式中，一个字母或数字被称为变量，它可以用来表示一个数或者一个未知数。

接下来，我们来看看如何计算代数式的值。假设我们有一个简单的代数式x + 2，其中x的值为3。为了计算这个代数式的值，我们只需要将x的值代入式子中，然后进行相应的计算，公式如下：

x + 2 = 3 + 2 = 5

在这个例子中，我们将x的值代入方程式中，然后使用加法运算符将x和2相加，得到代数式的值为5。这个计算方法适用于代数式中只有一个未知数的情况，比如x + 2、3x - 4等。

然而，当代数式中有多个未知数时，我们需要使用不同的方法进行计算。比如，在代数式2x + 3y中，我们需要知道x和y的值才能计算该代数式的值。此时，我们可以采用以下两种方法：

方法一：代入值并计算

这种方法和上面的单变量情况一样，我们把每一个变量的值都代入到方程中，然后进行相应的计算。例如，如果x = 2，y = 3，则有：

2x + 3y = (2 × 2) + (3 × 3) = 4 + 9 = 13

在这个例子中，我们首先将x的值替换为2，将y的值替换为3，然后将这两个式子相加。最后，我们得到了代数式的值为13。

方法二：因式分解和合并同类项

在这种方法中，我们将代数式转换为一组因式的乘积，并将相同类型的项合并在一起，然后计算得到总和。例如，对于2x + 3y，我们可以将代数式转换为：

2x + 3y = 2 × x + 3 × y