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锐角三角函数知识点与典型例题

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锐角三角函数：

类型一：直角三角形求值

1．已知Rt△ABC中，,12,43tan,90BCAC求AC、AB和cosB．

2．已知：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，43sinAOC

求：AB及OC的长．

3．已知：⊙O中，OC⊥AB于C点，AB＝16cm，53sinAOC

(1)求⊙O的半径OA的长及弦心距OC；

(2)求cos∠AOC及tan∠AOC．

4.已知A是锐角，178sinA，求Acos，Atan的值

类型二. 利用角度转化求值：

1．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．

DE∶AE＝1∶2．

求：sinB、cosB、tanB．

2. 如图4，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知8AB，10BC，AB=8,则tanEFC∠的值为 ( )

Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 A D

E

C B F

3. 如图6，在等腰直角三角形ABC中，90C，6AC，D为AC上一点，若1tan5DBA

，则AD的长为( )A．2 B．2

C．1 D．22

4. 如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=3316求 ∠B的度数及边BC、AB的长.D A

B C

图6

类型三. 化斜三角形为直角三角形

例1 （2012•安徽）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．

例2．已知：如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，31sinA

(1)求AB边上的高CD；

(2)求△ABC的面积S；

(3)求tanB．

例3．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．

求：sin∠ABC的值．

对应训练

1．（2012•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）

2．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．

类型四：利用网格构造直角三角形

例1 （2012•内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）

A．12 B．55 C．1010 D．255

对应练习：

1．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.

特殊角的三角函数值

例1．求下列各式的值．.计算：60tan45sin230cos2．

30cos245sin60tan2=. 计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°=

030tan2345sin60cos221=

计算： tan45sin301cos60=

在ABC中，若0)22(sin21cos2BA，BA，都是锐角，求C的度数例3. 三角函数的增减性

1．已知∠A为锐角，且sin A < 21，那么∠A的取值范围是

A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90°

2. 已知A为锐角，且030sincosA，则 （ ） CBAA. 0°< A < 60° B. 30°< A < 60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90°

例4. 三角函数在几何中的应用

1．已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，1312sinA

求此菱形的周长．

2．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，3BCAC，作∠DAC＝30°，AD交CB于D点，求：

(1)∠BAD；

(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．

3. 已知：如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝90°，31tanB，求：sin∠CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．

解直角三角形：

类型二：解直角三角形的实际应用

仰角与俯角：

例1．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．

例2．（2012•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．

（1）求B、C两点的距离； （2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？

（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）

类型四. 坡度与坡角

例．（2012•广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（ ）

A．100m B．1003m C．150m

D．503m

类型五. 方位角

1．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，732.13)

综合：1已知，如图，在△ADC中，90ADC，以DC为直径作半圆O，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，2BEDC．

（1）求证：BF是O的切线；

（2）若BFFC，3AE，求O的半径．

D O A

C B F

E

2.（6分）如图，在△ABC中，点O在AB上，以O为圆心的圆

经过A，C两点，交AB于点D，已知2∠A +∠B =90．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若OA=6，BC=8，求BD的长．

3. 已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D,

(1) 求证：∠AOD=2∠C

(2) 若AD=8，tanC=34，求⊙O 的半径。

4.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处.

（1）B处距离灯塔P有多远？

（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200海里的O处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．

D第18题图OCBADBOAC

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(完整word版)初三锐角三角函数知识点与典型例题

(完整word版)初三锐角三角函数知识点与典型例题

锐角三角函数：

例1．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°．

第1题图

①斜边)(sinA＝______， 斜边)(sinB＝______；

②斜边)(cosA＝______， 斜边)(cosB＝______；

③的邻边AA)(tan＝______， )(tan的对边BB＝______．

例2. 锐角三角函数求值：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，

sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，

sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．

例3．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3．

求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．

典型例题：

类型一：直角三角形求值

1．已知Rt△ABC中，,12,43tan,90BCAC求AC、AB和cosB．

2．已知：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，43sinAOC

求：AB及OC的长．

3．已知：⊙O中，OC⊥AB于C点，AB＝16cm，53sinAOC

(1)求⊙O的半径OA的长及弦心距OC；

(2)求cos∠AOC及tan∠AOC．

4. 已知A是锐角，178sinA，求Acos，Atan的值

对应训练：

3．在Rt△ABC中，∠ C＝90°，若BC＝1，AB=5，则tanA的值为

A．55 B．255 C．12 D．2

5．在△ABC中，∠C=90°，sinA=53，那么tanA的值等于（ ）.

A．35 B. 45 C. 34 D. 43

类型二. 利用角度转化求值：

锐角三角函数知识点总结及单元测试题

锐角三角函数知识点总结及单元测试题

锐角三角函数知识点总结

1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 222cba

2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：

定 义 表达式 取值范围 关 系

正弦 斜边的对边AAsin caAsin 1sin0A

(∠A为锐角) BAcossin

BAsincos

1cossin22AA 余弦 斜边的邻边AAcos cbAcos 1cos0A

(∠A为锐角)

正切 的邻边的对边AtanAA baAtan 0tanA

(∠A为锐角)

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)

三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sin 0

21

22

23 1

cos 1

23 22

21 0

tan 0 33 1 3 不存在

cot 不存在 3 1 33 0

)90cot(tanAA)90tan(cotAA BAcottan

BAtancot )90cos(sinAA)90sin(cosAA BAcossinBAsincosA90B90得由BA 对边

邻边 斜边

A C B

b a c

A90B90得由BA

6、正弦、余弦的增减性：

当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。

7、正切的增减性：

当0°<<90°时，tan随的增大而增大。

1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222cba；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)

第二十八章 锐角三角函数(单元总结)-2021学年九年级数学下册(人教版)(解析版)

第二十八章 锐角三角函数(单元总结)-2021学年九年级数学下册(人教版)(解析版)

1/1 第二十八章 锐角三角函数

单元总结

【知识要点】

知识点一 锐角三角形

锐角三角函数：如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)

定 义 表达式 取值范围 关 系

正弦 斜边的对边AAsin caAsin 1sin0A

(∠A为锐角) BAcossin

BAsincos

1cossin22AA 余弦 斜边的邻边AAcos cbAcos 1cos0A

(∠A为锐角)

正切 的邻边的对边AtanAA baAtan 0tanA

(∠A为锐角)

【正弦和余弦注意事项】 1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。

2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。

3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。

0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)

三角函数 30° 45° 60°

sin 21

22

23

cos 23

22

21

tan 33 1 3

正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。

正切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大， 对边

邻边 斜边

A C B

b a c 2/1 知识点二 解直角三角形

一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．

直角三角形五元素之间的关系：

1. 勾股定理（）

2. ∠A+∠B=90°

3. sin A= =

4. cos A= =

5. tan A= =

【考查题型】

考查题型一 正弦

典例1．（2020·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级期中）如图，在54的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sinBAC的值为（ ）

初三锐角三角函数知识点总结、典型例题附带部分答案、练习(精选)

初三锐角三角函数知识点总结、典型例题附带部分答案、练习(精选)

初三锐角三角函数知识点总结、典型例题附加部分答案、练习(优选) 1 / 11

三角函数专项复习

锐角三角函数知识点总结

1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和等于斜边 c 的平方。 a 2 b2 c 2

2、以以下列图，在 Rt △ABC中，∠ C为直角，则∠ A 的锐角三角函数为 ( ∠A 可换成∠ B)：

定 义 表达式 取值范围 关 系

正 A的对边 a 0 sin A 1

sin A

斜边 sin A

(∠A为锐角 ) sin A cosB 弦 c

cos A sin B

余 A的邻边 b 0 cos A 1 sin 2 A cos 2 A 1

cos A

斜边 cos A

(∠A为锐角 )

弦 c

正 A的对边 a tan A 0

tan A tan A

(∠A为锐角 )

切 A的邻边 b

3、随意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值； 随意锐角的余弦值等于它的余角的正弦

值。 由 A B 90 B

得 B 90 A 斜边 c 对

a边 sin A cosB sin A cos(90 A)

b

cos A sin B

cos A sin(90 A) A C 邻边

4、 0°、 30°、 45°、 60°、 90°特别角的三角函数值 (重要 )

三角函数 0° 30° 45° 60° 90°

sin 0 1 2 3 1 2 2 2

cos 1 3 2 1 0 2 2 2

tan 0 3 1 3 - 3

5 、正弦、余弦的增减性：

当 0°≤ ≤ 90°时， sin 随 的增大而增大， cos 随 的增大而减小。

6 、正切的增减性： 初三锐角三角函数知识点总结、典型例题附加部分答案、练习(优选) 2 / 11