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高三数学专题讲座复习

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2010年高考数学复习讲座

——导数在函数解题中的应用

应用导数求解函数的相关问题，已成为当今高考的必考内容，这类考题在试卷中所占分数比例也随着教育的发展其分值也不断增大，仅全国卷（Ⅰ）卷中，用导数解函数问题的考题有三道，共有分数29分，约占全试卷分数的20%，有关专家认为：由于导数在工农业生产中的广泛应用，已成为大学各专业课程的不可缺少的基础课内容，所以今后的高考也将作为学生必须加强的考试内容。为了让2009届考生能成功地应对该知识点的考试，我们特成本稿供同学们参考。

根据2009年的考试大纲，我们预计湖南卷利用导数的考题将会在15%—20%之间，其考题难度可能与09年持平，综合2008年或者2009年理二科试卷，各省市命题点可能落在利用导数讨论函数的单调区间和求参变量的取值范围、求函数参变量的值与在反指定区间内的极值、利用导数法解函数证明题与应用题、利用导数法求解解析几何问题等七种题型上。现在我们来依一举例说明。

一、利用导数讨论函数的单调区间和求参变量的取值范围、

这类题型是2008年命题概率最大的一类，讨论函数的单调区间的解题步骤通常有三步：首先是对函数求导、其次是求)(xf＞0或)(xf＜0的区间，再判断函数的增减性。而求函数参变量的取值范围的解题方法是：想方设法利用求导法建立导函数不等式或不等式组来求解。

例1、全国理19．（本小题满分12分）

已知函数32()1fxxaxx，aR．

（Ⅰ）讨论函数()fx的单调区间；

（Ⅱ）设函数()fx在区间2133，内是减函数，求a的取值范围．

解：（1）32()1fxxaxx求导：2()321fxxax333322aax

∴当23a≤时，得 ()0fx≥，()fx在R上递增

而当23a时，()0fx求得两根为233aax

即()fx在233aa，递增，223333aaaa，递减， 233aa，递增

（2）又∵()fx在区间2133，内是减函数，

∴2133，223333aaaa，

∴2232333133aaaa≤≥，且23a解得：74a≥

二、求函数参变量的值与在指定区间内的极值、

求函数多元参变量的值的主体思路是根据已知条件直接得到参数之间的关系式或者利用导函数条件与图象性质得到特殊关系、然后得方程或方程组求解。而在指定区间内求函数的极值时，则需首先要讨论函数的单调区间，特殊情况还需在给定条件范围内构造新的函数，然后通过讨论新的构造函数的单调性，找到构造函数的增减区间，进而找到该函数的极值点，再求得函数的极值。

例2. （08福建文21）. 已知函数32()2fxxmxnx的图像过点（-1，-6），且函数()'()6gxfxx的图像关于y轴对称。

（1）求m,n的值及函数()yfx的单调区间；

（2）若a>0，求函数()yfx在区间(1,1)aa内的极值。

解：（1）由函数f (x)图像过（-1，-6），得m-n=-3，……①

由32()2fxxmxnx，得：2'()32fxxmxn

而2()3(26)gxxmxn图像关于y轴对称，所以：26023m，即m=-3,

代入①得n=0

于是f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2).

由f′(x)>得x>2或x<0,

故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；

由f′(x)<0得0

故f(x)的单调递减区间是（0，2）.

(Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),

令f′(x)＝0得x=0或x=2.

当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

X (-∞.0) 0 (0,2) 2 (2,+ ∞)

f′(x) + 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

由此可得：

当0

当a=1时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值；

当1

当a≥3时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值.

综上得：当0

例3（08湖南理21）已知函数f(x)=ln2(1+x)-21xx.

(I)

求函数()fx的单调区间;

（Ⅱ）若不等式enan)11(对任意的N*n都成立（其中e是自然对数的底数）.

求的最大值.

解: （Ⅰ）函数()fx的定义域是(1,)，

22222ln(1)22(1)ln(1)2().1(1)(1)xxxxxxxfxxxx

设2()2(1)ln(1)2,gxxxxx则()2ln(1)2.gxxx

令()2ln(1)2,hxxx则22()2.11xhxxx

当10x时， ()0,hx ()hx在（-1，0）上为增函数，

当x＞0时，()0,hx()hx在(0,)上为减函数.

所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以()0(0)gxx，

函数g(x)在(1,)上为减函数.于是当10x时，()(0)0,gxg

当x＞0时，()(0)0.gxg

所以，当10x时，()0,fx()fx在（-1，0）上为增函数.

当x＞0时，()0,fx()fx在(0,)上为减函数.

故函数()fx的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为(0,).

（Ⅱ）不等式1(1)naen等价于不等式1()ln(1)1.nan由111n知， 1.1ln(1)ann 设11(),0,1,ln(1)Gxxxx则

22222211(1)ln(1)().(1)ln(1)(1)ln(1)xxxGxxxxxxx

由（Ⅰ）知，22ln(1)0,1xxx即22(1)ln(1)0.xxx

所以()0,Gx0,1,x于是G(x)在0,1上为减函数.

故函数G（x）在0,1上的最小值为1(1)1.ln2G

所以a的最大值为11.ln2

三、利用导数法求解解析几何问题与应用题、

导函数的几何意义在于导函数在该点的值是原函数在该点和切线的斜率，于是利用导数法求解解析几何问题，就是要利用这一斜率与已知条件结合起来，使问题得到简化。而利用导函数求解应用题一般落实在函数建模和利用求导法判断所建模型函数的增减区间与极值点来简化求解过程。

例6（）

设函数()bfxaxx，曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程为74120xy。

（1）求()yfx的解析式；

（2）证明：曲线()yfx上任一点处的切线与直线0x和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值。

21．解：

（Ⅰ）方程74120xy可化为734yx．

当2x时，12y．又2()bfxax，

于是1222744baba，， 解得13.ab，

故3()fxxx． （Ⅱ）设00()Pxy，为曲线上任一点，由231yx知曲线在点00()Pxy，处的切线方程为

002031()yyxxx，

即 00200331()yxxxxx．

令0x得06yx，从而得切线与直线0x的交点坐标为060x，．

令yx得02yxx，从而得切线与直线yx的交点坐标为00(22)xx，． ······ 10分

所以点00()Pxy，处的切线与直线0x，yx所围成的三角形面积为

016262xx．

故曲线()yfx上任一点处的切线与直线0x，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为6．

例7（08广东文17）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为(10)xx≥层，则每平方米的平均建筑费用为56048x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用购地总费用建筑总面积）

17．【考查分析】本题考查函数及求最值问题。

解：设楼房每平方米的平均综合费为()fx元，则

21601000010800()5604856048(10)2000fxxxxxxxZ，≥

210800()48fxx

令()0fx得15x

当15x时，()0fx；当015x时，()0fx

因此当15x时，()fx取最小值(15)2000f

答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层 四、利用导数法解函数证明题和函数与数例综合题

本类考题是高考数学题中综合性最强，难度最大的考题之一，通常以证明变量的相等关系或不等关系为主，证明时要注意到参变量与函数在条件区间中与其他变量的关系，结合等式或不等式的性质来证明等量或不等量关系。而利用导数法解函数与数例综合题时，则要注意寻找数列公差、公比、求和、递推等知识点与函数性质来综合求解。

例4（08湖南文21）．已知函数43219()42fxxxxcx有三个极值点。

（I）证明：275c；

（II）若存在实数c，使函数)(xf在区间,2aa上单调递减，求a的取值范围。

解：（I）因为函数43219()42fxxxxcx有三个极值点,

所以32()390fxxxxc有三个互异的实根.

设32()39,gxxxxc则2()3693(3)(1),gxxxxx

当3x时，()0,gx ()gx在(,3)上为增函数;

当31x时，()0,gx ()gx在(3,1)上为减函数;

当1x时，()0,gx ()gx在(1,)上为增函数;

所以函数()gx在3x时取极大值,在1x时取极小值.

当(3)0g或(1)0g时,()0gx最多只有两个不同实根.

因为()0gx有三个不同实根, 所以(3)0g且(1)0g.

即2727270c,且1390c,

解得27,c且5,c故275c.

（II）由（I）的证明可知，当275c时, ()fx有三个极值点.

不妨设为123xxx，，（123xxx），则123()()()().fxxxxxxx

所以()fx的单调递减区间是1(]x，,23[,]xx

若)(xf在区间,2aa上单调递减，

则,2aa1(]x，, 或,2aa23[,]xx,

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谈高三数学高效复习课堂的构建

谈高三数学高效复习课堂的构建

谈高三数学高效复习课堂的构建

如何提高高三数学复习课的有效性，构建高效复习课堂是高三数学教师教学研究的永恒主题.笔者最近参加了一次县骨干教师带徒活动，活动的主题就是“构建高三高效复习课堂”.先由三位教师分别开设一堂高三数学复习课，上课的内容都是“导数及其应用”;然后在这三堂课的基础上进一步探讨高三数学复习的有效性以及如何构建高效复习课堂.

畏手畏脚”岂能高效三堂课给人的总体感觉是“高效不足，低效有余”.三位教师依旧沿袭“罗列考点*讲解例题、强化练习”的传统复习课的套路.采取的是以教师“灌输”为主的教学方式，不仅鲜有学生的主动参与的过程，而且三位教师在教学过程中的表现过于“畏手畏脚”，严重的制约了教学效率的提升，具体表现如下: 例题选择“畏手畏脚”高三数学复习课教学基本上就是习题教学，因此例题的选择至关重要.好的例题不仅能帮助老师摆脱题海战术，以一当十，而且还能让学生深刻理解概念，同时能培养学生的主动探究能力，提高学生学习数学的兴趣.三位教师的复习讲义，虽题量不多(加上选择填空题总共也就7,8道而已)，但包含的考点却是非常多，分别涉及到了导数的定义、导数的几何意义(求切线问题)、用导数求函数的单调区间、用导数求函数的最值、用导数解决不等式问题、用导数解决含参数问题等等。 基本上一个考点对应一道例题.例题选择犹如“蜻蜓点水”，没有主次之分，没有轻重之别，没有深人拓展.问其为何如此选题?三位教师的理由是因为借班上课，学生水平不甚了解，又加上本次上课要求体现高效，所以在例题选择上表现得“畏手畏脚”，不知舍取，干脆每个考点都设计一道例题.但导数问题变化多端，导数应用巧妙灵活，掌握导数这一解题利器并非是一朝一夕的事情.正所谓“一口吃不成胖子”，在这样“蜻蜓点水”式的习题教学行为下，学生前一个知识点还没理解透彻，马上就面对另一个知识点，因此出现教学效率低也就不难理解了。 例题讲解“畏手畏脚”一位教师在45分钟内刚刚完成讲义中的基础训练部分的5道选择、填空题.究其原因是上课过于面面俱到。 他先把整个导数的考点详细回顾一遍，包括定义、几何意义、求导公式、判断单调区间等，然后再把5道非常基础的题目逐一分析一遍，结果时间肯定来不及.另外两个教师在例题讲解过程中也犯了面面俱到的错误，不管题目难度怎样，学生会不会，都仔细地把解题过程一步一步详细地写在黑板上.教师之所以会犯面面俱到的错误的原因很简单，就是“担心”二字在作怪.担心自己没讲过的学生不清楚，担心自己没解过的学生不会解.由于担心所以在例题讲解中“畏手畏脚”，不该讲的、该讲的统统讲.面面俱到的讲解就犹如医生不找病因而直接给病人吃各种各样的药，不仅起不到治病的效果，而且容易引发药物中毒。 在教学过程中，三位教师尽管有和学生互动的环节，如:提问、板演等，但学生的参与人数太少，参与程度太低，从教师焦虑的表情中可以看出他们实际上是很不习惯让学生直接参与课堂教学.其原因可能，一是怕学生出错影响教学效率，二是怕课堂“意外”扰乱教师课前的精心预设.因此他们在和学生交流的过程中难免显得“畏手畏脚”，该问的不问，该做的不做。 还有一位教师在讲解例题之前会先叫一个学生板演，其他学生在下面做，5,6分钟后，自己再开始讲解.每讲解一道例题必重复上述过程.“停—做—停—做”的做法，不禁让人联想到马路上行驶的汽车，没开几米路，一个红灯停一下;又没开几米路，又一个红灯停一下.如此行车，怎能高速;如此教学，怎能高效.能不能把类似的几道题目一并拿出来，让多个学生一起板演，给学生足够的思考、做题时间，然后教师再有针对性的讲解，这样岂不更好。放开手脚—“关注学生才能高效”。 教师放开手脚的第一步就是转变教学理念，课堂的高效并不是体现在教师教了多少，而是由学生学了多少所决定的.因此复习课不能由教师包讲，更不能成为教师展示自己解题“高难动作”的“绝活表演”，而要让学生成为学习的主人，让他们在主动积极的探索活动中实现创新、突破，展示自已的才华智慧.作为教学活动的组织者，教师的任务就应该是点拨、启发和诱导，而这些都应以学生为中心。 放开手脚—“抓住，点才能商效” 任何工作都有轻重之分，复习课也是这样.应“有所为，有所不为”.既要找准重点，也要突破难点，处理好重点与一般的关系.一堂复习课的内容要详略得当，严谨有序，但不能面面俱到，平分秋色.对重点如众星捧月，分散难点似迁回包剿，讲出特点要意思明确.着力讲好主讲内容，注意摘其重点、选其精要、抓中小学教矛·中学版旧. 其主线.在讲授上要体现讲规律、讲要领、讲准重点、讲透难点.只有这样教学才能取得真正的效果，课堂才能实现高效.以导数应用为例，尽管有关导数应用问题类型众多，但基本上可以归为两大类:一类是几何意义的应用，还有一类就是有关单调区间问题。

高三数学第二轮专题讲座复习：极限的概念及其运算

高三数学第二轮专题讲座复习：极限的概念及其运算

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张喜林制

[选取日期]

高三数学第二轮专题讲座复习：极限的概念及其运算

高考要求

极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具 旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一 本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题

重难点归纳

1 学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限

学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限

2 运算法则中各个极限都应存在 都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个 在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限

3 注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如 )1|(|0lim,0)1(limaannnnn

时当不存在时当时当lklklkbabxbxbaxaxallkkkn,,0,lim001110110

典型题例示范讲解

例1已知limx(12xx－ax－b)=0,确定a与b的值

命题意图 在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循，有法可依 因而本题重点考查考生的这种能力 也就是本知识的系统掌握能力

知识依托 解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法

错解分析 本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错

技巧与方法 有理化处理

解

baxxxbaxxxbaxxxxx1)()1(lim)1(lim2222

baxxxbxabxax1)1()21()1(lim2222

要使上式极限存在，则1－a2=0,当1－a2=0时，

高三数学第二轮专题讲座复习 求解函数解析式的几种常用方法 试题

高三数学第二轮专题讲座复习 求解函数解析式的几种常用方法 试题

卜人入州八九几市潮王学校望城区白箬高三数学第二轮专题讲座复习：求解函数解析式的几种常用方法

高考要求 求解函数解析式是高考重点考察内容之一，需引起重视本节主要帮助考生在深入理解函数定义的根底上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成才能，并培养考生的创新才能和解决实际问题的才能

重难点归纳

求解函数解析式的几种常用方法主要有

1待定系数法，假设函数解析式的构造时，用待定系数法；

2换元法或者配凑法，复合函数f［g(x)］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；

3消参法，假设抽象的函数表达式，那么用解方程组消参的方法求解f(x);

另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法

典型题例示范讲解

例1(1)函数f(x)满足f(logax)=)1(12xxaa(其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表达式

(2)二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(－1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式

此题主要考察函数概念中的三要素定义域、值域和对应法那么，以及计算才能和综合运用知识的才能

知识依托利用函数根底知识，特别是对“f〞的理解，用好等价转化，注意定义域

错解分析此题对思维才能要求较高，对定义域的考察、等价转化易出错

技巧与方法(1)用换元法；(2)用待定系数法

解(1)令t=logax(a>1,t>0;0

∴f(x)=12aa(ax－a－x)(a>1,x>0;0

得)0()]1()1([21)0()]1()1([21fcffbfffa并且f(1)、f(－1)、f(0)不能同时等于1或者－1，

所以所求函数为f(x)=2x2－1或者f(x)=－2x2+1或者f(x)=－x2－x+1

或者f(x)=x2－x－1或者f(x)=－x2+x+1或者f(x)=x2+x－1

例2设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≤－1时，y=f(x)的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一局部是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图象

高三数学复习备考经验交流

高三数学复习备考经验交流

高三数学复习备考经验交流

去年在高三数学组老师的辛勤劳动下，我们团结一心，高考中取得了一定的成绩！现在我谈谈我们备课组的一些做法。

一．仔细研究考试大纲，了解高考新动向

大家都知道《考试大纲》对高三备考的参考价值，它是高考的导航灯和牵引线，给我们明确了考试的范畴和重心。因此我们在拿到《2012年考试大纲》后，备课组进行集体研读，让每名成员对大纲内容至少有整体的把握，然后，将其与2011年的大纲进行比对，找出其中的差异与变化，实践证明，我们的工作取得了一定的成效。

二．认真参加各级各类教研活动，把握复习备考方向

一年来，我们备课组都认真积极的参加济南市、学校组织的各种各样的教研活动，虚心听取各位主讲老师的真知灼见和宝贵经验，从中获益匪浅！让我们整个备课组在备考能力方面有一定提升。通过去商河学习取经，我们也受益良多！同时，在小组集体备课中，我们积极的进行研讨，发表自己的见解，并坚持一周至少听课一次。尤其是“二模”后，主要针对各地“新鲜出炉”的模拟题进行解读，希望能从中找出些对研判高考重难点方向有所帮助的“支撑点”，从中筛选、改编试题，给学生进行训练。通过以上工作，我们不断改进和完善了备考工作。

三．认真做好三轮复习的合理规划

在高三的复习中，我们主要进行了三轮的复习。第一轮复习主要是夯实基础，重视基础知识的整合，将高中阶段所学的数学基础知识进行了系统地整理，有机的串联，构建成知识网络。第二轮复习，我们针对高考 “在知识交汇处命题”的特点，对重点的能得分的章节进行适当的小专题综合，建立知识的跨章节联系，同时也是对第一轮复习的巩固提高！限于学生的实际水平，专题的综合度较小、难度也不大，目的在于提高学生的分析问题、解决问题的能力。第三轮复习，主要是巩固基础知识，查漏补缺，拔尖促高，进一步加强对重点知识和重要概念的理解和掌握。

四．重点知识重点复习,抓常规，抓落实

针对我校的生源状况，在复习中，主要是让学生掌握基础知识的应用和常规的解题方法和技巧，尽量让每个学生能落实常规要求。在例题和习题的选取上也是以常规题为主，以中低档题为主，稍加一些提高能力的综合题。