河南省洛阳市2016届高三上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析

2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）期末数学试卷（文科）

一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知A={0，2，3，4，5，7}，B={1，2，3，4，6}，C={x|x∈A，x∉B}，则C的真子集个数为（ ）

A．2 B．3 C．7 D．8

2．已知iz=2+i，则z的共轭复数在复平面内对应点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．三个数70.8，0.87，log0.87的大小顺序是（ ）

A．0.87＜log0.87＜70.8 B．0.87＜70.8＜log0.87

C．log0.87＜70.8＜0.87 D．log0.87＜0.87＜70.8

4．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出S的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．已知到定点M（a，0）与N（2，0）的斜率之积为的点的轨迹方程为x2﹣2y2=4（x≠±2），则实数a的值（ ）

A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1

6．函数f（x）=cosωxcosθ+sinωxsinθ（ω≠0），对任意x都有f（x）=f（﹣x），则f（）=（ ）

A．1或0 B．﹣1或1 C．0 D．﹣1或0 7．一个长方体的底面是边长为2的正方形，高为，其俯视图是面积为4的正方形，侧视图是一个面积为4的矩形，则该长方体正视图的面积为（ ）

A．4 B．2 C．8 D．4

8．在区间[﹣2，2]任取一个实数x，则使不等式4x﹣32x+1+8≤0成立的概率为（ ）

A． B． C． D．

9．已知实数x，y满足，若不等式y≥ax﹣3恒成立，则实数a的取值范围为（ ）

A．（﹣∞，] B．（﹣∞，4] C．[，2] D．[2，4]

10．在△ABC中，∠CAB=∠CBA=30°，AC，BC边上的高分别为BD，AE，则以A，B为焦点，且过D，E两点的椭圆离心率为（ ）

A． B． C．﹣1 D．﹣1

11．已知锐角A，B满足2tanA=tan（A+B），则tanB的最大值为（ ）

A． B． C． D．

12．已知函数f（x）=lnx+的一条切线方程为y=kx+b，则k+b的最小值为（ ）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知平面向量，满足||=，||=2， =﹣3，则||= ．

14．已知函数f（x）=，则f（﹣1）+f（2）= ．

15．已知底面为正三角形，高为4的正三棱柱的外接球的表面积为32π，则该正三棱柱的体积为

． 16．在△ABC中，∠A=120°，AB=5，AC=3，O为△ABC的外心，若=λ+μ，λ∈[0，]，μ∈[0，]，则点G的轨迹对应图形面积为 ．

三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．已知等比数列{an}的公比q＞1，a1=2，且a1，a2，a3﹣8成等差数列，数列{anbn}的前n项和为．

（1）分别求出数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）设数列{}的前n项和为Sn，已知∀n∈N*，Sn≤m恒成立，求实数m的最小值．

18．有一名同学家开了小卖部，他为了研究气温对某种饮料销售的影响，记录了2015年7月至12月每月15号的下午14时的气温和当天卖出的饮料杯数，得到如下资料：

日期 7月15日 8月15日 9月15日 10月15日 11月15日 12月15日

摄氏温度x（℃） 36 35 30 24 18 8

饮料杯数y 27 29 24 18 15 5

改同学确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选中的2组数据进行检验．

（1）求选取2组数据恰好是相邻两个月的概率；

（2）若选中的是8月与12月的两组数据，根据剩下的4组数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；

（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据误差不超过3杯，则认为得到的线性回归方程是理想的，请问（2）所得到的线性回归方程是否理想． 附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为==， =﹣．

19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BB1，AB=1，AA1=，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．

（1）证明：AB1⊥平面BCD；

（2）若OC=OA，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．

20．已知函数f（x）=a（x2﹣x﹣1）e﹣x+m，（x∈R，a＞0）．

（1）当a=1时，f（x）有三个零点，求实数m的取值范围；

（2）若对任意x1，x2∈[0，4]均有f（x2）﹣1＜f（x1）＜f（x2）+1成立，求实数a的取值范围．

21．已知抛物线E：y=mx2（m＞0），圆C：x2+（y﹣2）2=4，点F是抛物线E的焦点，点N（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）为抛物线E上的动点，点M（2，﹣），线段MF恰被抛物线E平分．

（1）求m的值；

（2）若y0＞4，过点N向圆C作切线，求两条切线与x轴围成的三角形面积的最小值．

选考题（请考生从22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O于B、C两点．

（Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆；

（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．（2016太原校级二模）已知曲线C1的直角坐标方程为+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，P是曲线C1上一点，∠xOP=α（0≤α≤π），将点P绕点O逆时针旋转角α后得到点Q， =2，点M的轨迹是曲线C2，

（1）求曲线C2的极坐标方程；

（2）求|OM|的取值范围．

[选修4-5：不等式选讲]

24．（2015贵州二模）已知关于x的不等式|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤log2a．

（1）当a=8时，求不等式解集．

（2）若不等式有解，求a的范围．

2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）期末数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知A={0，2，3，4，5，7}，B={1，2，3，4，6}，C={x|x∈A，x∉B}，则C的真子集个数为（ ）

A．2 B．3 C．7 D．8

【考点】子集与真子集． 【专题】集合思想；综合法；集合．

【分析】先求出集合C中的元素，从而求出C的真子集个数．

【解答】解：A={0，2，3，4，5，7}，

B={1，2，3，4，6}，

C={x|x∈A，x∉B}={0，5，7}，

则C的真子集个数为：23﹣1=7个，

故选：C．

【点评】本题考查了集合的运算，考查集合的真子集的个数，是一道基础题．

2．已知iz=2+i，则z的共轭复数在复平面内对应点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】复数的代数表示法及其几何意义．

【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．

【分析】把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求得得答案．

【解答】解：由iz=2+i，得，

∴，

则z的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（1，2），位于第一象限．

故选：A．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

3．三个数70.8，0.87，log0.87的大小顺序是（ ）

A．0.87＜log0.87＜70.8 B．0.87＜70.8＜log0.87

C．log0.87＜70.8＜0.87 D．log0.87＜0.87＜70.8

【考点】对数值大小的比较．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解． 【解答】解：∵70.8＞70=1，

0＜0.87＜0.80=1，

log0.87＜log0.81=0，

∴log0.87＜0.87＜70.8．．

故选：D．

【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要注意指数函数和对数函数的单调性的合理运用．

4．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出S的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】程序框图．

【专题】计算题；操作型；算法和程序框图．

【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【解答】解：∵输入n的值为3，

∴当i=1时，满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=1，i=2；

当i=2时，满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=2，i=3；

当i=3时，满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=4，i=4；

当i=4时，不满足继续循环的条件，

故输出的S值为4，

故选：D

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．

5．已知到定点M（a，0）与N（2，0）的斜率之积为的点的轨迹方程为x2﹣2y2=4（x≠±2），则实数a的值（ ）

A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1

【考点】双曲线的简单性质．

【专题】计算题；方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】设出点P（x，y），表示出两线的经、斜率，利用其乘积为建立方程化简即可得到点P的轨迹方程，即可求出a的值．

【解答】解：设P（x，y），则kMP=，kNP=，

∵定点M（a，0）与N（2，0）的斜率之积为，

∴kMP×kMP=，

∴=，

即x2﹣（a+2）x﹣2y2=2a，

∵x2﹣2y2=4（x≠±2），

∴a=﹣2，

故选：B．

【点评】考查解析几何中将位置关系转化为方程的一个典型题，其特点是利用坐标建立方程，化简整理得轨迹方程，属于中档题．

6．函数f（x）=cosωxcosθ+sinωxsinθ（ω≠0），对任意x都有f（x）=f（﹣x），则f（）=（ ）

A．1或0 B．﹣1或1 C．0 D．﹣1或0

【考点】三角函数的化简求值．

【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．