【教师版】小学奥数4-4-3 圆与扇形(三).专项练习及答案解析

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．圆的面积2πr =；扇形的面积2π360nr =⨯；圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360nr =⨯．一、 跟曲线有关的图形元素： ①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n．比如：扇形的面积=所在圆的面积360n⨯；扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n⨯扇形的周长=所在圆的周长360n⨯+2⨯半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)③”弯角”：如图：弯角的面积=正方形-扇形④”谷子”：如图：“谷子”的面积=弓形面积2⨯二、 常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块二 曲线型面积计算例题精讲圆与扇形【例 1】 如图，已知扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的34倍，则角CAB 的度数是________．DCBA【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空【解析】 设半圆ADB 的半径为1，则半圆面积为21ππ122⨯=，扇形BAC 的面积为π42π233⨯=．因为扇形BAC 的面积为2π360n r ⨯，所以，22ππ23603n ⨯⨯=，得到60n =，即角CAB 的度数是60度．【答案】60度【例 2】 如下图，直角三角形ABC 的两条直角边分别长6和7，分别以,B C 为圆心，2为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是17，那么角A 是多少度(π3=)【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答【解析】 167212ABC S =⨯⨯=△,三角形ABC 内两扇形面积和为21174-=，根据扇形面积公式两扇形面积和为2π24360B C∠+∠⨯⨯=°,所以120B C ∠+∠=°,60A ∠=°. 【答案】60度【例 3】 如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的415，是小圆面积的35．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答【解析】 小圆的面积为2π525π⨯=，则大小圆相交部分面积为325π15π5⨯=,那么大圆的面积为422515ππ154÷=，而2251515422=⨯，所以大圆半径为7.5厘米．【答案】7.5【例 4】 有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少厘米？(π取3)CBA【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由右图知，绳长等于6个线段AB 与6个BC 弧长之和．将图中与BC 弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补，可得到6个角的和是360︒， 所以BC 弧所对的圆心角是60︒，6个BC 弧合起来等于直径5厘米的圆的周长． 而线段AB 等于塑料管的直径，由此知绳长为：565π45⨯+=(厘米)． 【答案】45【例 5】 如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧，请问：中间阴影部分的周长是多少？(π 3.14=)【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如图，点C 是在以B 为中心的扇形上，所以AB CB =，同理CB AC =，则ABC ∆是正三角形，同理，有CDE ∆是正三角形．有60ACB ECD ∠=∠=，正五边形的一个内角是1803605108-÷=，因此60210812ECA ∠=⨯-=，也就是说圆弧AE 的长度是半径为12厘米的圆周的一部分，这样相同的圆弧有5个，所以中间阴影部分的周长是()122 3.1412512.56cm 360⨯⨯⨯⨯=．【答案】12.56【例 6】 如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积________灰色部分面积．【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空【解析】 图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的14，则4个小圆的面积之和等于大圆的面积．而4个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等．【答案】相等【例 7】 如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为1S ，空白部分面积为2S ，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形．设大圆半径为r ，则222S r =，2212S r r π=-，所以()12: 3.142:257:100S S =-=．移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．【答案】57:100【例 8】 用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 大圆直径是小圆的3倍，半径也是3倍，小圆面积∶大圆面积22π:π1:9r R ==，小圆面积13649=⨯=，7个小圆总面积4728=⨯=， 边角料面积36288=-=(平方厘米)．【答案】8【例 9】 如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形． 由右图可见，阴影部分面积等于16大圆面积减去一个小圆面积，再加上120︒的小扇形面积(即13小圆面积)，所以相当于16大圆面积减去23小圆面积．而大圆的半径为小圆的3倍，所以其面积为小圆的239=倍，那么阴影部分面积为21259π1π 2.5636⎛⎫⨯-⨯⨯== ⎪⎝⎭．【答案】2.5【例 10】 如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形．(圆周率取3.14)CA【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知，现在关键是小扇形面积如何求，有扇形面积公式2π360n R S =扇．可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60°，那么120AOC ∠=︒，又知四边形ABCO 是平行四边形，所以120ABC ∠=︒，这样就可求出扇形的面积和为21206π10628360⨯⨯⨯=(平方厘米)，阴影部分的面积1040628412=-=(平方厘米)． 【答案】412【例 11】 (09年第十四届华杯赛初赛)如下图所示，AB 是半圆的直径，O 是圆心，AC CD DB ==，M 是CD 的中点，H 是弦CD 的中点．若N 是OB 上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】如下图所示，连接OC、OD、OH．本题中由于C、D是半圆的两个三等分点，M是CD的中点，H是弦CD的中点，可见这个图形是对称的，由对称性可知CD与AB平行．由此可得CHN∆的面积与CHO∆的面积相等，所以阴影部分面积等于扇形COD面积的一半，而扇形COD的面积又等于半圆面积的13，所以阴影部分面积等于半圆面积的16，为11226⨯=平方厘米．【答案】2【巩固】如图，C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，O是圆心，且半径为6．求图中阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】如图，连接OC、OD、CD．由于C、D是半圆的三等分点，所以AOC∆和COD∆都是正三角形，那么CD与AO是平行的．所以ACD∆的面积与OCD∆的面积相等，那么阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，为21π618.846⨯⨯=．【答案】18.84【例12】如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部分的面积之差．(π取3) O【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分别求出两块阴影部分的面积，再计算它们的差，但是这样较为繁琐．由于是要求面积之差，可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同的图形，再求剩余图形的面积．如右图所示，可知弓形BC 或CD 均与弓形AB 相同，所以不妨割去弓形BC ．剩下的图形中，容易看出来AB 与CD 是平行的，所以BCD ∆与ACD ∆的面积相等，所以剩余图形的面积与扇形ACD 的面积相等，而扇形ACD 的面积为260π10.5360⨯⨯=，所以图中两块阴影部分的面积之差为0.5． 【答案】0.5【例 13】 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14)AFEAFE【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：设小正方形的边长为a ，则三角形ABF 与梯形ABCD 的面积均为()122a a +⨯÷．阴影部分为：大正方形+梯形-三角形ABF -右上角不规则部分=大正方形-右上角不规则部分=14圆．因此阴影部分面积为：3.141212411⨯⨯÷=．方法二：连接AC 、DF ，设AF 与CD 的交点为M ，由于四边形ACDF 是梯形，根据梯形蝴蝶定理有ADM CMF S S =△△，所以DCF S S =阴影扇形 3.1412124113.04=⨯⨯÷=【答案】113.04【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积．(π取3)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答【解析】 (法1)观察可知阴影部分面积等于三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积，那么求出月牙BCD 的面积就成了解题的关键．月牙BCD 的面积为正方形BCDE 的面积减去四分之一圆：166π6694⨯-⨯⨯⨯=；则阴影部分的面积为三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积，为：()110669392S =⨯+⨯-=阴影．(法2)观察可知AF 和BD 是平行的，于是连接AF 、BD 、DF ． 则ABD ∆与BDF ∆面积相等，那么阴影部分面积等于BDF ∆与小弓形的面积之和，也就等于DEF ∆与扇形BED 的面积之和，为：211(106)6π63924-⨯⨯+⨯⨯=．【答案】39【例 14】 如图，ABC 是等腰直角三角形，D 是半圆周的中点，BC 是半圆的直径．已知10AB BC ==，那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)D【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接PD 、AP 、BD ，如图，PD 平行于AB ，则在梯形ABDP 中，对角线交于M点，那么ABD ∆与ABP ∆面积相等，则阴影部分的面积转化为ABP ∆与圆内的小弓形的面积和．ABP ∆的面积为：()10102225⨯÷÷=； 弓形面积： 3.145545527.125⨯⨯÷-⨯÷=； 阴影部分面积为：257.12532.125+=．【答案】32.125【例 15】 图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，按图中所给长度阴影部分面积为 ；(π 3.14=)A【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 连接小正方形AC ,有图可见 ACD ABC S S S S =+-△△阴影扇形∵211144222AC ⨯=⨯⨯ ∴232AC =同理272CE =，∴48AC CE ⨯=∴148242ACD S =⨯=△290π412.56360S =⨯=扇形，14482ABC S =⨯⨯=△∴2412.56828.56S =+-=阴影【答案】28.56【例 16】 如图，图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的6条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 假设最小圆的半径为r ，则三种半圆曲线的半径分别为4r ，3r 和r ．阴影部分的面积为：()()22222111π4π3ππ5π222r r r r r -++=，空白部分的面积为：()222π45π11πr r r -=，则阴影部分面积与空白部分面积的比为5:11．【答案】5:11【例 17】 (西城实验考题)奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直径为8厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．(π 3.14=)【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 ⑴每个圆环的面积为：22π4π37π21.98⨯-⨯==(平方厘米)； ⑵五个圆环的面积和为：21.985109.9⨯=(平方厘米)； ⑶八个阴影的面积为：109.977.132.8-=(平方厘米)； ⑷每个阴影的面积为：32.88 4.1÷=(平方厘米)． 【答案】4.1【例 18】 已知正方形ABCD 的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线连擎起来得右图．那么，图中阴影部分的总面积等于______方厘米．(π 3.14=)【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】填空【解析】39.25 【答案】39.25【例 19】 如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB 、BC 、CD 、DA 分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．(π取3)DCBADCBA【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 这道题目是很常见的面积计算问题．阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了．如图，这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形，我们可以求得，()4S S S =⨯-阴影半圆三角形 21142222a a a π⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212a =【答案】12a【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为4厘米，分别以B 、D 为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆．求阴影部分面积．(π取3)DBA DB【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积．解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分．则阴影部分的面积为=21π44482⋅⋅-⨯=；解法二：连接AC，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积，所以阴影部分面积=212π444284⨯⋅⋅-⨯÷=（）．【答案】8【例20】(四中考题)已知三角形ABC是直角三角形，4cmAC=，2cmBC=，求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】从图中可以看出，阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形ABC的面积之差，所以阴影部分的面积为：2214121ππ42 2.5π4 3.8522222⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-⨯⨯=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2cm)．【答案】3.85【例21】（奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米.那么图中3个阴影部分的面积的和是平方厘米.【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 根据容斥原理得1003242144S ⨯--⨯=阴影，所以100314424272S =⨯--⨯=阴影（平方厘米） 【答案】72【例 22】 如图所示，ABCD 是一边长为4cm 的正方形，E 是AD 的中点，而F 是BC 的中点．以C 为圆心、半径为4cm 的四分之一圆的圆弧交EF 于G ，以F 为圆心、半径为2cm 的四分之一圆的圆弧交EF 于H 点，若图中1S 和2S 两块面积之差为2π(cm )m n -(其中m 、n 为正整数)，请问m n +之值为何？S 2S 1G HFE DC B AS图1S 2S 1G HF E DCBA【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答【关键词】国际小学数学竞赛【解析】 (法1)2248cm FCDE S =⨯=，21π44π4BCD S =⨯⨯=扇形2(cm )，21π2π4BFH S =⨯⨯=扇形2(cm )，而124ππ8FCDE BCD BFH S S S S S -=--=--扇形扇形3π8=-2(cm )，所以3m =，8n =，3811m n +=+=．(法2)如右上图，1S S +=BFEA BFH S S -=扇形2422π48π⨯-⨯⨯÷=-2(cm )，24444π4164πABCD BCD S S S S +=-=⨯-⨯⨯÷=-扇形2(cm )，所以，12(8π)(164π)3π8S S -=---=-2(cm )，故3811m n +=+=．【答案】11【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形．则为：ππ4422423 3.148 1.4244⨯⨯-⨯⨯-⨯=⨯-=．【答案】1.42【例 23】 如图，矩形ABCD 中，AB =6厘米，BC =4厘米，扇形ABE 半径AE =6厘米，扇形CBF 的半径CB =4厘米，求阴影部分的面积．(π取3)CB A【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不规则的空白部分ABFD 在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键．我们先确定ABFD 的面积，因为不规则部分ABFD 与扇形BCF 共同构成长方形ABCD ，所以不规则部分ABFD 的面积为2164π4124⨯-⨯⨯=(平方厘米)，再从扇形ABE 中考虑，让扇形ABE 减去ABFD 的面积，则有阴影部分面积为21π612154⨯⨯-=(平方厘米)．方法二：利用容斥原理2211π6π4461544EAB BCF ABCD S S S S =+-=⨯+⨯-⨯=阴影扇形扇形长方形(平方厘米)【答案】15【巩固】求图中阴影部分的面积．【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 阴影部分面积=半圆面积+扇形面积-三角形面积22211211π()π121241.042282=⨯+⨯-⨯=． 【答案】41.04【巩固】如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米，(π 3.14=)C【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 观察可知阴影部分是被以AD 为半径的扇形、以AB 为直径的半圆形和对角线BD分割出来的，分头求各小块阴影部分面积明显不是很方便，我们发现如果能求出左下边空白部分的面积，就很容易求出阴影部分的面积了，我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形ABD 的面积减去扇形ADE 的面积，那么我们的思路就很清楚了． 因为45ADB ∠=︒，所以扇形ADE 的面积为：224545π 3.1459.8125360360AD ⨯⨯=⨯⨯=(平方厘米)，那么左下边空白的面积为：1559.8125 2.68752⨯⨯-=(平方厘米)，又因为半圆面积为：215π9.812522⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭(平方厘米)，所以阴影部分面积为：9.8125 2.68757.125-=(平方厘米)． 【答案】7.125【例 24】 如图所示，阴影部分的面积为多少？(圆周率取3)33B A33A1.51.51.545︒45︒B33【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 图中A 、B 两部分的面积分别等于右边两幅图中的A 、B 的面积．所以()()229271.5π 1.5343π3328498416A B S S +=-⨯÷+-⨯⨯÷=÷+÷=．【答案】2716【巩固】图中阴影部分的面积是 ．(π取3.14)333【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 如右上图，虚线将阴影部分分成两部分，分别计算这两部分的面积，再相加即可得到阴影部分的面积．所分成的弓形的面积为：22131199π3π2242168⎡⎤⎛⎫⨯-⨯⨯=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；另一部分的面积为：221199π33π8484⨯-⨯=-；所以阴影部分面积为：99992727πππ 1.92375 1.9216884168-+-==-=≈．【答案】1.92【例 25】 已知右图中正方形的边长为20厘米，中间的三段圆弧分别以1O 、2O 、3O 为圆心，求阴影部分的面积．(π3=)O3【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 图中两块阴影部分的面积相等，可以先求出其中一块的面积．而这一块的面积，等于大正方形的面积减去一个90︒扇形的面积，再减去角上的小空白部分的面积，为：()()()2142020π202020100π4754S S S S ⎡⎤---÷=⨯-⨯-⨯-÷=⎡⎤⎣⎦⎣⎦圆正方形正方形扇形(平方厘米)，所以阴影部分的面积为752150⨯=(平方厘米)． 【答案】150【例 26】 一个长方形的长为9，宽为6，一个半径为l 的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法运动到的部分，面积的和是_____．(π取3)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 方法一：圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角，而圆在角处运动时的情况如左下图，圆无法运动到的部分是图中阴影部分，那么我们可以先求出阴影部分面积，四个角的情况都相似，我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍．阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积，所以我们可以得到：每个角阴影部分面积为290111π13604⨯-⨯⨯=；那么圆无法运动到的部分面积为 1414⨯=方法二：如果把四个角拼起来，则阴影如右上图所示，则阴影面积为222311⨯-⨯= 【答案】1【例 27】 已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部分的面积．(π 3.14=)B【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于阴影部分是一个不规则图形，所以要设法把它转化成规则图形来计算．从图中可以看出，阴影部分的面积是一个45°的扇形与一个等腰直角三角形的面积差．由于半圆的面积为62.8平方厘米，所以262.8 3.1420OA =÷=． 因此：22210AOB S OA OB OA =⨯÷=÷=△(平方厘米)．由于AOB ∆是等腰直角三角形，所以220240AB =⨯=．因此：扇形ABC 的面积24545ππ4015.7360360AB =⨯⨯=⨯⨯=(平方厘米)．所以，阴影部分的面积等于：15.710 5.7-=(平方厘米)． 【答案】5.7【例 28】 如图，等腰直角三角形ABC 的腰为10；以A 为圆心，EF 为圆弧，组成扇形AEF ；两个阴影部分的面积相等．求扇形所在的圆面积．【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 题目已经明确告诉我们ABC 是等腰直角三角形，AEF 是扇形，所以看似没有关系的两个阴影部分通过空白部分联系起来．等腰直角三角形的角A 为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍．而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即11010502S =⨯⨯=扇形，则圆的面积为508400⨯= 【答案】400【例 29】 如图，直角三角形ABC 中，AB 是圆的直径，且20AB =，阴影甲的面积比阴影乙的面积大7，求BC 长．(π 3.14=)C【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为两块阴影部分都是不规则图形，单独对待它们无法运用面积公式进行处理，而解题的关键就是如何把它们联系起来，我们发现把两块阴影加上中间的一块，则变成1个半圆和1个直角三角形，这个时候我们就可以利用面积公式来求解了． 因为阴影甲比阴影乙面积大7，也就是半圆面积比直角三角形面积大7．半圆面积为：21π101572⨯⨯=，则直角三角形的面积为157-7=150，可得BC =2⨯150÷20=15． 【答案】15【巩固】三角形ABC 是直角三角形，阴影I 的面积比阴影II 的面积小225cm ，8cm AB =，求BC 的长度．I IABCI【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由于阴影I 的面积比阴影II 的面积小225cm ，根据差不变原理，直角三角形ABC 面积减去半圆面积为225cm ，则直角三角形ABC 面积为218π258π2522⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭(2cm )， BC 的长度为()8π25282π 6.2512.53+⨯÷=+=(cm )．【答案】12.53【巩固】 如图，三角形ABC 是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，AB 长40厘米．求BC 的长度？(π取3.14)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答【解析】 图中半圆的直径为AB ，所以其面积为2120π200 3.146282⨯⨯≈⨯=．有空白部分③与①的面积和为628，又②-①28=，所以②、③部分的面积和62828656+=．有直角三角形ABC 的面积为12AB BC ⨯⨯=1406562BC ⨯⨯=．所以32.8BC =厘米．【答案】32.8【例 30】 图中的长方形的长与宽的比为8:3，求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】十三分，入学测试题 【解析】 如下图，设半圆的圆心为O ，连接OC ．从图中可以看出，20OC =，20416OB =-=，根据勾股定理可得12BC =． 阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，为：21π20(162)12200π3842442⨯⨯-⨯⨯=-=．【答案】244【例 31】 如图，求阴影部分的面积．(π取3)【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如图，图中阴影部分为月牙儿状，月牙儿形状与扇形和弓形都不相同，目前我们还不能直接求出 它们的面积，那么我们应该怎么来解决呢？首先，我们分析下月牙儿状是怎么产生的，观察发现月牙儿形是两条圆弧所夹部分，再分析可以知道，两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分，那么我们就找到了解决问题的方法了．阴影部分面积=12小圆面积+12中圆面积+三角形面积-12大圆面积=2221111π3π434π52222⋅⋅+⋅⋅+⨯⨯-⋅⋅=6 【答案】6【例 32】 如图，直角三角形的三条边长度为6,8,10，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积为多少？68【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 S S S =-阴影直角三角形半圆， 设半圆半径为r ，直角三角形面积用r 表示为：610822r rr ⨯⨯+= 又因为三角形直角边都已知，所以它的面积为168242⨯⨯=，所以824r =，3r =所以1249π=24 4.5π2S =-⨯-阴影【答案】24 4.5π-【例 33】 大圆半径为R ，小圆半径为r ，两个同心圆构成一个环形．以圆心O 为顶点，半径R 为边长作一个正方形：再以O 为顶点，以r 为边长作一个小正方形．图中阴影部分的面积为50平方厘米，求环形面积．(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华校第一学期，期中测试，第6题 【解析】 环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能．题中已知阴影部分的面积，也就是2250R r -=平方厘米，那么环形的面积为：2222πππ()π50=157R r R r -=-=⨯(平方厘米)．【答案】157【巩固】图中阴影部分的面积是225cm ，求圆环的面积．【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设大圆半径为R ，小圆半径为r ，依题有222522R r -=，即2250R r -=．则圆环面积为：22222πππ()50π157(cm )R r R r -=-==． 【答案】157【例 34】 已知图中正方形的面积是20平方厘米，则图中里外两个圆的面积之和是 ．(π取3.14)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】101中学，考题 【解析】 设图中大圆的半径为r ，正方形的边长为a ，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为2a，大圆的直径2r 等于正方形的对角线长，即222(2)r a a =+，得222a r =．所以，大圆的面积与正方形的面积之比为：22π:π:2r a =，所以大圆面积为：202π10π÷⨯=；小圆的面积与正方形的面积之比为：22π():π:42aa =，所以小圆的面积为：204π5π÷⨯=；两个圆的面积之和为：10π5π15π15 3.1447.1+==⨯=(平方厘米)． 【答案】47.1【巩固】图中小圆的面积是30平方厘米，则大圆的面积是 平方厘米．(π取3.14)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设图中大圆的半径为r ，正方形的边长为a ，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为2a，大圆的直径2r 等于正方形的对角线长，即222(2)r a a =+，得222a r =．所以，大圆的面积与小圆的面积之比为：222222π:π()::2:12424a a a a r r ===， 即大圆的面积是小圆面积的2倍，大圆的面积为30260⨯=(平方厘米)． 【答案】60【巩固】(2008年四中考题)图中大正方形边长为a ，小正方形的面积是 ．【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设图中小正方形的边长为b ，由于圆的直径等于大正方形的边长，所以圆的直径为a ，而从图中可以看出，圆的直径等于小正方形的对角线长，所以22222a b b b =+=，故2212b a =，即小正方形的面积为212a ．【答案】212a【巩固】一些正方形内接于一些同心圆，如图所示．已知最小圆的半径为1cm ，请问阴影部分的面积为多少平方厘米？(取22π7=)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】台湾小学数学竞赛选拔，复赛 【解析】 我们将阴影部分的面积分为内圈、中圈、外圈三部分来计算． 内圈等于内圆面积减去内部正方形的面积，也就是2π1222π2⨯-⨯÷=-．内圆的直径为中部正方形的边长，即为2，中部正方形的对角线等于中圆的直径，于是中圈阴影部分面积是22π(22)4222π4⨯+÷-⨯=-．中圆的直径的平方即为外部正方形的面积，即为22228+=，外部正方形的对角线的平方即为外圆的直径的平方，即为8216⨯=，所以外圈阴影部分的面积是π16484π8⨯÷-=-．所以阴影部分的面积是227π1471487-=⨯-=(平方厘米)．【答案】8【例 35】 图中大正方形边长为6，将其每条边进行三等分，连出四条虚线，再将虚线的中。

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．圆的面积2πr =；扇形的面积2π360nr =⨯；圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360nr =⨯．一、 跟曲线有关的图形元素： ①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n．比如：扇形的面积=所在圆的面积360n⨯；扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n⨯扇形的周长=所在圆的周长+360n⨯2⨯半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)③”弯角”：如图：弯角的面积=正方形-扇形④”谷子”：如图：“谷子”的面积=弓形面积2⨯二、 常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块一 平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用例题精讲圆与扇形【例 1】 如图，圆O 的直径AB 与CD 互相垂直，AB =10厘米，以C 为圆心，CA 为半径画弧。

求月牙形ADBEA （阴影部分）的面积。

D【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，决赛，第9题，10分 【解析】 ①月牙形ADBEA (阴影部分)的面积＝半圆的面积+△ABC 的面积－扇形CAEBC 的面积②月牙形ADBEA 的面积＝211π525π502524⨯⨯+-⨯⨯=（平方厘米）,所以月牙形ADBEA 的面积是25平方厘米。

数学圆扇形圆环试题答案及解析1.圆的位置由（）确定，圆的大小由（）决定．A.圆心B.圆周率C.圆的半径【答案】A C【解析】根据圆的认识：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，进行选择即可．解：圆的位置由圆心确定，圆的大小由圆的半径决定；故选：A，C．点评：此题考查的是对圆的基础知识的掌握情况，应灵活理解和掌握．2.圆中两端都在圆上的线段．（）A.一定是圆的半径B.一定是圆的直径C.无法确定【答案】C【解析】根据圆的半径和直径的定义，和圆中两端都在圆上不经过圆心的线段进行解答．解：A、圆的半径是连接圆心与圆上任意一点的线段，只有一段在圆上，故此选项错误；B、圆的直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，两端虽然都在圆上，但仍然存在两端都在圆上，但不经过圆心的线段，故此选项错误；C、由以上可知，圆中两端都在圆上的线段不一定是直径，因此无法确定，故此选项正确；故选：C．点评：此题主要考查利用半径和直径定义解决问题．3.在长方形中画一个最大的圆，圆的直径（）A.等于长B.等于宽C.大于长小于宽【答案】B【解析】在长方形中画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽；据此解答．解：因为剪成的圆直径和长方形的短边相等，所以在长方形中画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽；故选：B．点评：在一个长方形作最大圆，只能以短的那条边的长度为作为直径的长度．4.先算出周长是9.42厘米的圆的半径，再画出这个圆．【答案】如图【解析】先依据圆的周长公式计算出圆的半径，进而依据圆的基本画法，即可解答．解：圆的半径为：9.42÷3.14÷2=1.5（厘米），以任意一点为圆心，以1.5厘米为半径画圆如下：点评：此题主要考查圆的周长的计算方法以及圆的基本画法．5.有一张长方形纸，长6厘米，宽4厘米，在这张纸上剪一个最大的圆，（1）请用圆规和直尺画出这个最大的圆．（2）求出剩下的图形的面积．【答案】如图，剩下的图形的面积是11.44平方厘米．【解析】（1）要求所画圆的半径，先应明确在此长方形中，画的圆最大是直径和长方形的宽相等，即直径等于4厘米，然后根据“半径=直径÷2”，代入计算得出，进而画圆即可；（2）剩下的图形的面积=长方形的面积﹣圆的面积，据此代入数据即可求解．解：（1）以长方形的对角线的交点为圆心，以长方形的宽的一半（4÷=2厘米）为半径，即可画出符合要求的圆：（2）6×4﹣3.14×22，=24﹣12.56，=11.44（平方厘米）；答：剩下的图形的面积是11.44平方厘米．点评：此类题解答时应明确：在长方形中画一个最大的圆，最大圆的直径等于长方形的宽．6.画一个直径为4cm的半圆，并且画出它的对称轴．【答案】如图【解析】先画一条4厘米的线段，再以这条线段的中点为圆心，以这条线段的一半的长度为半径，即可画出符合要求的半圆；依据轴对称图形的意义，即在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可画出这个半圆的对称轴．解：依据分析，画图如下：．点评：确定好圆心和半径，就能画出半圆，再据轴对称图形的意义，就能画出这个半圆的对称轴．7.按要求画圆．（1）以点0为圆心，分别以1厘米和2厘米为半径画出两个圆（这样的两个圆叫做同心圆）．（2）画一条长4厘米的线段，分别以线段的两个端点为圆心，以2厘米长为直径画两个圆．【答案】如图【解析】（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此以点O为圆心，以1厘米为半径画圆，再以点O为圆心，以2厘米为半径画圆即可；（2）根据题意，先画一条4厘米长的线段，再分别以线段的两端即A、B为圆心，以2÷2=1厘米为半径进行画圆即可．解：（1）以点0为圆心，分别以1厘米和2厘米为半径画圆如下：（2）如图所示，分别以线段的两端即A、B为圆心，以2÷2=1厘米为半径进行画圆：点评：此题考查了利用圆心与半径画圆的方法的灵活应用．8.在边长为2cm的正方形内画一个最大的圆．怎样确定它的圆心和半径？【答案】如图【解析】正方形内最大圆的直径是这个正方形的边长，圆心就是这个正方形的中心，由此可以画图．解：以正方形的对角线的交点为圆心，以正方形的边长的一半（2÷2=1厘米）为半径，画圆如下：点评：此题考查了圆的画法的灵活应用，抓住正方形内最大圆的特点，是解决本题的关键．9.生活中，车轮为什么要做成圆形的呢？【答案】由分析得出：所有的车轮都做成圆形是利用了圆的圆心到圆上任意一点的距离相等特性，当车轮在平面上滚动时，车轴与平面的距离保持不变，这样车轮就非常的稳定．【解析】根据圆的特征：连接圆心到圆上任意一点的线段，叫做半径；在同圆中所有的半径都相等；可知：把车轮做成圆形，车轴定在圆心，是因为圆形易滚动，而且车轮上各点到车轴即圆心的距离都等于半径，当车轮在平面上滚动时，车轴与平面的距离保持不变；据此解答．解：由分析得出：所有的车轮都做成圆形是利用了圆的圆心到圆上任意一点的距离相等特性，当车轮在平面上滚动时，车轴与平面的距离保持不变，这样车轮就非常的稳定．点评：此题考查了圆的特征，应注意基础知识的积累和应用．10.某体育馆有一个圆形的游泳池，池的周长是100.48米，它的直径应是多少米？【答案】32【解析】利用圆的周长计算公式：C=πd直接解答即可．解：由C=πd，可得，d===32（米）；答：它的直径应是32米．点评：此题考查圆的计算公式：C=πd，经过变形直接解决问题．11.在一条10cm的线段上画两个半径是3cm的圆，两个圆心相距4cm．【答案】如图【解析】先画一条长10cm的线段AB，在线段AB的两端分别截取线段AO1和BO2，使AO1=BO2=3cm，再分别以O1和O2为圆心，以3cm为半径画圆即可．解：由分析画圆如下：图中，AB=10cm，AO1=BO2=3cm，则O1O2=4cm．点评：本题考查了按要求画圆，只要确定好了圆心的位置，以及半径的大小，即可画圆．12.请你画两个圆，所画的圆以直线p为对称轴．【答案】如图【解析】以直线上的任意一点为圆心，再以这点为端点截取1厘米的线段，以这条线段为半径，即可画出符合要求的圆．解：据分析画圆如下：点评：此题主要考查圆的基本画法，关键是确定出圆心的位置和半径的大小．13.请你用圆规画一个直径是3厘米的圆．【答案】如图【解析】先确定圆心，用圆规有针的一脚固定在圆心，然后以圆规两脚之间的距离为3÷2=1.5厘米进行旋转一周，得到的图形就是我们要画的圆．解：先确定圆心，用圆规有针的一脚固定在圆心，然后以圆规两脚之间的距离为3÷2=1.5厘米进行旋转一周，如下图所示：点评：此题考查了用圆规画圆的方法．14.用圆规画两个同心圆，一个半径为3cm，另一个半径为2cm．【答案】如图【解析】以任意一点为圆心，分别以3厘米和2厘米为半径即可画出符合要求的圆．解：画圆如下：点评：此题主要考查圆的基本画法．15.按要求用圆规画圆．（1）r=2厘米（2）d=3厘米．【答案】如图【解析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，利用已知条件分别求得圆的半径，即可画圆．解：（1）以任意一点为圆心，以2厘米长的线段为半径，画圆如下；（2）因为3÷2=1.5厘米，所以以任意一点为圆心，以1.5厘米长的线段为半径，画圆如下；点评：此题主要考查圆的基本画法，确定圆的两大要素是：圆心与半径．16.圆的周长与这个圆的直径的比是．【答案】π【解析】圆的周长与这个圆的直径的比值总是3倍多一些，这是一个固定不变的数，叫它圆周率，用字母π来表示．解：=π．故答案为：π．点评：此题考查对圆周率的认识，是圆的周长与此圆直径的比值．17.画一个半径为1.5厘米的圆，并用字母在圆上标出圆心、一条半径和一条直径．【答案】如图【解析】紧扣圆的画法，即确定好圆心的位置，和半径的长度，用圆规即可解决问题．解：根据题意，以O为圆心，以1.5厘米为半径，画圆如图所示：点评：此题考查了圆的画法．抓住圆的两大要素：圆心和半径．即可解决此类问题．18.请你用圆规画出一个半径为2cm的圆形，再画出两条直径，使形成的整个图案有四条对称轴，并画出它的对称轴．【答案】如图【解析】根据题意，圆的半径即为圆规两脚叉开的距离，使圆规两脚之间叉开的距离为2厘米，然后再作图即可，可通过圆心作两条直径，使这两条直径相互垂直，那么根据对称图形的含义可作出相应的图形．解：由分析作图如下：点评：此题主要考查的是圆的画法及其轴对称图形的作法．19.如图的方格图，每个小方格的边长为1厘米．（1）图中点A的位置用数对表示是（，）．（2）把点A先向上平移一格，再向右平移三格就是点B，点B的位置用数对表示是（，）．（3）以点B为圆心画一个半径为3厘米的圆．（4）在圆中画一条直径，使得直径通过点（5，6）．（5）这个圆的面积是．【答案】如图，1，3；4，4；28.26平方厘米【解析】（1）先找出列数为1，再找出行数为3；列数写在数对中的第一个数，行数写在数对中的第二个数，（2）向上平移一格，行数加1，向右平移三格，列数加3；（3）固定圆心B，确定半径3厘米，用圆规画圆；（4）连接圆心B和点（5，6）的直径；（5）根据圆的面积公式S=πr2计算即可．解：（1）点A的位置用数对表示是（1，3）（2）1+3=4，3+1=4，故点A先向上平移一格，再向右平移三格就是点B，点B的位置是（4，4）；（3）、（4）如下图所示：（5）3.14×32=28.26（平方厘米）．答：这个圆的面积是28.26平方厘米．故答案为：1，3；4，4；28.26平方厘米．点评：考查了数对与位置，注意“左减右加，上加下减”，同时考查了画圆及圆的面积公式的应用，综合性较强．20.（1）在图中找出圆的圆心和半径并用字母标出来．（2）计算出这个圆的周长和面积．（取整厘米数）【答案】如图，周长是12.56厘米，圆的面积是12.56平方厘米【解析】（1）依据圆的各部分的名称，即可进行标注；（2）量出圆的半径的长度，再据圆的周长和面积公式即可得解．解：（1）标注如下：（2）3.14×2×2=12.56（厘米），3.14×22=12.56（平方厘米）；答：圆的周长是12.56厘米，圆的面积是12.56平方厘米．点评：此题主要考查圆的周长和面积的计算方法，是基础题目．21.画一个半径为2厘米的圆，标出半径的长度，再计算出它的周长和面积．【答案】如图，周长是12.56厘米；面积是12.56平方厘米【解析】由题意可知：可以以任意一点为圆心，2厘米为半径即可画出符合要求的圆；半径已知，利用圆的周长和面积公式即可求出这个圆的周长和面积．解：（1）如图所示，即为所要求画的圆：；（2）圆的周长：2×3.14×2，=6.28×2，=12.56（厘米），圆的面积：3.14×22=12.56（平方厘米）；答：这个圆的周长是12.56厘米；面积是12.56平方厘米．点评：此题主要考查圆的基本画法以及圆的周长和面积的计算方法．22.想一想，画一画．边长为8cm的正方形，里面是一个圆（如图）．求圆的面积。

第8讲圆与扇形知识网络圆是所有几何图形中最完美的。

当一条线段绕着它的一个端点O在平面上旋转时一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫圆（也叫圆周），O点称为这个圆的圆心。

连接一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径，圆的半径通常用字母r表示。

连接圆上任意两点的线段叫做圆的弦。

过圆心的弦叫做圆的直径，圆的直径通常用字母d表示，显然d=2r。

圆的周长（用字母C表示）与直径的比，叫做圆周率。

圆周率用字母表示，它是一个无限不循环的小数，一般取近似值3.14。

圆的周长。

利用等分圆周拼成近似长方形的方法可知圆的面积。

顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆周上任意两点间的部分叫做弧。

扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形。

如果扇形的半径为r，弧所对圆心角的度数为n，那么弧的长度。

从而扇形的周长，扇形的面积。

重点·难点本讲的难点在于求圆或扇形与其他平面图形组成的组合图形的面积。

一般这类组合图形是不规则的，很难直接用公式计算它们的面积。

这时候，可以利用分、合、移、补等方法将其转化为若干个基本几何图形的组合，然后再分别计算这若干个基本图形的面积，分析整体与各部分的和、差关系，问题就会迎刃而解。

学法指导在解圆或扇形的周长与面积等有关问题时，一般要先求出半径r，因为半径r是连接周长与面积的纽带。

经典例题[例1]一只饥饿的猛虎紧紧地追赶着一只小狗。

就在猛虎要抓住小狗的时候，小狗逃到了一个圆形的池塘边。

小狗连忙纵身往水里一跳，猛虎抓了个空。

猛虎舍不得这顿即将到口的美餐，于是盯住小狗，在池边跟着小狗跑动，打算在小狗爬上岸的时候再抓住它。

已知猛虎奔跑的速度是小狗游水速度的2.5倍。

请问：小狗如何才能逃出虎口？思路剖析如果小狗在圆形池塘中沿着圆周游动，那末无论它游到哪里，都会被猛虎牢牢盯死。

而如果小狗跳下池塘后就沿着直径笔直往前游，那么猛虎就要跑半个圆周。

由于半圆周长是直径的，而猛虎的速度是小狗的2.5倍，因此猛虎还是能够抓住小狗的。

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．圆的面积2πr =；扇形的面积2π360nr =⨯；圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360nr =⨯．一、 跟曲线有关的图形元素：①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n． 比如：扇形的面积=所在圆的面积360n⨯；扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n⨯扇形的周长=所在圆的周长360n⨯+2⨯半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)③”弯角”：如图： 弯角的面积=正方形-扇形④”谷子”：如图： “谷子”的面积=弓形面积2⨯二、 常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块二 曲线型面积计算例题精讲圆与扇形【例 1】 如图，已知扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的34倍，则角CAB 的度数是________．DCBA【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空【解析】 设半圆ADB 的半径为1，则半圆面积为21ππ122⨯=，扇形BAC 的面积为π42π233⨯=．因为扇形BAC 的面积为2π360n r ⨯，所以，22ππ23603n ⨯⨯=，得到60n =，即角CAB 的度数是60度．【答案】60度【例 2】 如下图，直角三角形ABC 的两条直角边分别长6和7，分别以,B C 为圆心，2为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是17，那么角A 是多少度(π3=)67CBA【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答【解析】 167212ABC S =⨯⨯=△,三角形ABC 内两扇形面积和为21174-=，根据扇形面积公式两扇形面积和为2π24360B C∠+∠⨯⨯=°,所以120B C ∠+∠=°,60A ∠=°. 【答案】60度【例 3】 如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的415，是小圆面积的35．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答【解析】 小圆的面积为2π525π⨯=，则大小圆相交部分面积为325π15π5⨯=,那么大圆的面积为422515ππ154÷=，而2251515422=⨯，所以大圆半径为7.5厘米．【答案】7.5【例 4】 有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少厘米？(π取3)CBA【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由右图知，绳长等于6个线段AB 与6个BC 弧长之和．将图中与BC 弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补，可得到6个角的和是360︒， 所以BC 弧所对的圆心角是60︒，6个BC 弧合起来等于直径5厘米的圆的周长． 而线段AB 等于塑料管的直径，由此知绳长为：565π45⨯+=(厘米)． 【答案】45【例 5】 如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧，请问：中间阴影部分的周长是多少？(π 3.14=)【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如图，点C 是在以B 为中心的扇形上，所以AB CB =，同理CB AC =，则ABC∆是正三角形，同理，有CDE ∆是正三角形．有60ACB ECD ∠=∠=，正五边形的一个内角是1803605108-÷=，因此60210812ECA ∠=⨯-=，也就是说圆弧AE 的长度是半径为12厘米的圆周的一部分，这样相同的圆弧有5个，所以中间阴影部分的周长是()122 3.1412512.56cm 360⨯⨯⨯⨯=．【答案】12.56【例 6】 如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积________灰色部分面积．【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的14，则4个小圆的面积之和等于大圆的面积．而4个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等．【答案】相等【例 7】 如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为1S ，空白部分面积为2S ，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形．设大圆半径为r ，则222S r =，2212S r r π=-，所以()12: 3.142:257:100S S =-=．移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．【答案】57:100【例 8】 用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 大圆直径是小圆的3倍，半径也是3倍，小圆面积∶大圆面积22π:π1:9r R ==，小圆面积13649=⨯=，7个小圆总面积4728=⨯=，边角料面积36288=-=(平方厘米)．【答案】8【例 9】 如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形．由右图可见，阴影部分面积等于16大圆面积减去一个小圆面积，再加上120︒的小扇形面积(即13小圆面积)，所以相当于16大圆面积减去23小圆面积．而大圆的半径为小圆的3倍，所以其面积为小圆的239=倍，那么阴影部分面积为21259π1π 2.5636⎛⎫⨯-⨯⨯== ⎪⎝⎭．【答案】2.5【例 10】 如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形．(圆周率取3.14)CA【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知，现在关键是小扇形面积如何求，有扇形面积公式2π360n R S =扇．可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60°，那么120AOC ∠=︒，又知四边形ABCO 是平行四边形，所以120ABC ∠=︒，这样就可求出扇形的面积和为21206π10628360⨯⨯⨯=(平方厘米)，阴影部分的面积1040628412=-=(平方厘米)．【答案】412【例 11】 (09年第十四届华杯赛初赛)如下图所示，AB 是半圆的直径，O 是圆心，AC CD DB ==，M 是CD 的中点，H 是弦CD 的中点．若N 是OB 上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】如下图所示，连接OC、OD、OH．本题中由于C、D是半圆的两个三等分点，M是CD的中点，H是弦CD的中点，可见这个图形是对称的，由对称性可知CD与AB平行．由此可得CHN∆的面积与CHO∆的面积相等，所以阴影部分面积等于扇形COD面积的一半，而扇形COD的面积又等于半圆面积的13，所以阴影部分面积等于半圆面积的16，为11226⨯=平方厘米．【答案】2【巩固】如图，C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，O是圆心，且半径为6．求图中阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】如图，连接OC、OD、CD．由于C、D是半圆的三等分点，所以AOC∆和COD∆都是正三角形，那么CD与AO是平行的．所以ACD∆的面积与OCD∆的面积相等，那么阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，为21π618.846⨯⨯=．【答案】18.84【例 12】如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部分的面积之差．(π取3)O【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分别求出两块阴影部分的面积，再计算它们的差，但是这样较为繁琐．由于是要求面积之差，可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同的图形，再求剩余图形的面积．如右图所示，可知弓形BC 或CD 均与弓形AB 相同，所以不妨割去弓形BC ．剩下的图形中，容易看出来AB 与CD 是平行的，所以BCD ∆与ACD ∆的面积相等，所以剩余图形的面积与扇形ACD 的面积相等，而扇形ACD 的面积为260π10.5360⨯⨯=，所以图中两块阴影部分的面积之差为0.5． 【答案】0.5【例 13】 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14)AFEAFE【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：设小正方形的边长为a ，则三角形ABF 与梯形ABCD 的面积均为()122a a +⨯÷．阴影部分为：大正方形+梯形-三角形ABF -右上角不规则部分=大正方形-右上角不规则部分=14圆．因此阴影部分面积为：3.1412124113.04⨯⨯÷=．方法二：连接AC 、DF ，设AF 与CD 的交点为M ，由于四边形ACDF 是梯形，根据梯形蝴蝶定理有ADM CMF S S =△△，所以DCF S S =阴影扇形 3.1412124113.04=⨯⨯÷=【答案】113.04【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积．(π取3)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答【解析】 (法1)观察可知阴影部分面积等于三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积，那么求出月牙BCD 的面积就成了解题的关键．月牙BCD 的面积为正方形BCDE 的面积减去四分之一圆：166π6694⨯-⨯⨯⨯=；则阴影部分的面积为三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积，为：()110669392S =⨯+⨯-=阴影．(法2)观察可知AF 和BD 是平行的，于是连接AF 、BD 、DF ．则ABD ∆与BDF ∆面积相等，那么阴影部分面积等于BDF ∆与小弓形的面积之和，也就等于DEF ∆与扇形BED 的面积之和，为：211(106)6π63924-⨯⨯+⨯⨯=．【答案】39【例 14】 如图，ABC 是等腰直角三角形，D 是半圆周的中点，BC 是半圆的直径．已知10AB BC ==，那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)DD【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接PD 、AP 、BD ，如图，PD 平行于AB ，则在梯形ABDP 中，对角线交于M 点，那么ABD ∆与ABP ∆面积相等，则阴影部分的面积转化为ABP ∆与圆内的小弓形的面积和．ABP ∆的面积为：()10102225⨯÷÷=； 弓形面积： 3.145545527.125⨯⨯÷-⨯÷=； 阴影部分面积为：257.12532.125+=．【答案】32.125【例 15】 图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，按图中所给长度阴影部分面积为 ；(π 3.14=)A【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 连接小正方形AC ,有图可见 ACD ABC S S S S =+-△△阴影扇形∵211144222AC ⨯=⨯⨯ ∴232AC =同理272CE =，∴48AC CE ⨯=∴148242ACD S =⨯=△290π412.56360S =⨯=扇形，14482ABC S =⨯⨯=△∴2412.56828.56S =+-=阴影【答案】28.56【例 16】 如图，图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的6条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 假设最小圆的半径为r ，则三种半圆曲线的半径分别为4r ，3r 和r ．阴影部分的面积为：()()22222111π4π3ππ5π222r r r r r -++=，空白部分的面积为：()222π45π11πr r r -=， 则阴影部分面积与空白部分面积的比为5:11． 【答案】5:11【例 17】 (西城实验考题)奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直径为8厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．(π 3.14=)【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 ⑴每个圆环的面积为：22π4π37π21.98⨯-⨯==(平方厘米)； ⑵五个圆环的面积和为：21.985109.9⨯=(平方厘米)； ⑶八个阴影的面积为：109.977.132.8-=(平方厘米)； ⑷每个阴影的面积为：32.88 4.1÷=(平方厘米)． 【答案】4.1【例 18】 已知正方形ABCD 的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线连擎起来得右图．那么，图中阴影部分的总面积等于______方厘米．(π 3.14=)【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 39.25 【答案】39.25【例 19】 如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB 、BC 、CD 、DA 分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．(π取3)DCBAaDCBAa【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 这道题目是很常见的面积计算问题．阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了．如图，这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形，我们可以求得，()4S S S =⨯-阴影半圆三角形21142222a a a π⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212a =【答案】12a【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为4厘米，分别以B 、D 为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆．求阴影部分面积．(π取3) D BA DB【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积．解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分．则阴影部分的面积为=21π44482⋅⋅-⨯=；解法二：连接AC ，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积，所以阴影部分面积=212π444284⨯⋅⋅-⨯÷=（）．【答案】8【例 20】 (四中考题)已知三角形ABC 是直角三角形，4cm AC =，2cm BC =，求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 从图中可以看出，阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形ABC 的面积之差，所以阴影部分的面积为：2214121ππ42 2.5π4 3.8522222⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2cm )． 【答案】3.85【例 21】 （奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米.那么图中3个阴影部分的面积的和 是平方厘米.【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 根据容斥原理得1003242144S ⨯--⨯=阴影，所以100314424272S =⨯--⨯=阴影（平方厘米）【答案】72【例 22】 如图所示，ABCD 是一边长为4cm 的正方形，E 是AD 的中点，而F 是BC 的中点．以C 为圆心、半径为4cm 的四分之一圆的圆弧交EF 于G ，以F 为圆心、半径为2cm 的四分之一圆的圆弧交EF 于H 点，若图中1S 和2S 两块面积之差为2π(cm )m n -(其中m 、n 为正整数)，请问m n +之值为何？S 2S 1G HFE DC B AS图1S 2S 1G HF E DC B A【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】国际小学数学竞赛【解析】 (法1)2248cm FCDE S =⨯=，21π44π4BCD S =⨯⨯=扇形2(cm )，21π2π4BFH S =⨯⨯=扇形2(cm )，而124ππ8FCDE BCD BFH S S S S S -=--=--扇形扇形3π8=-2(cm )，所以3m =，8n =，3811m n +=+=．(法2)如右上图，1S S +=BFEA BFH S S -=扇形2422π48π⨯-⨯⨯÷=-2(cm )， 24444π4164πABCD BCD S S S S +=-=⨯-⨯⨯÷=-扇形2(cm )，所以，12(8π)(164π)3π8S S -=---=-2(cm )，故3811m n +=+=． 【答案】11【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形．则为：ππ4422423 3.148 1.4244⨯⨯-⨯⨯-⨯=⨯-=． 【答案】1.42【例 23】 如图，矩形ABCD 中，AB =6厘米，BC =4厘米，扇形ABE 半径AE =6厘米，扇形CBF 的半径CB =4厘米，求阴影部分的面积．(π取3)CB A【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不规则的空白部分ABFD 在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键． 我们先确定ABFD 的面积，因为不规则部分ABFD 与扇形BCF 共同构成长方形ABCD ，所以不规则部分ABFD 的面积为2164π4124⨯-⨯⨯=(平方厘米)，再从扇形ABE 中考虑，让扇形ABE 减去ABFD 的面积，则有阴影部分面积为21π612154⨯⨯-=(平方厘米)．方法二：利用容斥原理2211π6π4461544EAB BCF ABCD S S S S =+-=⨯+⨯-⨯=阴影扇形扇形长方形(平方厘米)【答案】15【巩固】求图中阴影部分的面积．【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 阴影部分面积=半圆面积+扇形面积-三角形面积22211211π()π121241.042282=⨯+⨯-⨯=． 【答案】41.04【巩固】如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米，(π 3.14=)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 观察可知阴影部分是被以AD 为半径的扇形、以AB 为直径的半圆形和对角线BD 分割出来的，分头求各小块阴影部分面积明显不是很方便，我们发现如果能求出左下边空白部分的面积，就很容易求出阴影部分的面积了，我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形ABD 的面积减去扇形ADE 的面积，那么我们的思路就很清楚了． 因为45ADB ∠=︒，所以扇形ADE 的面积为：224545π 3.1459.8125360360AD ⨯⨯=⨯⨯=(平方厘米)，那么左下边空白的面积为：1559.8125 2.68752⨯⨯-=(平方厘米)，又因为半圆面积为：215π9.812522⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭(平方厘米)，所以阴影部分面积为：9.8125 2.68757.125-=(平方厘米)． 【答案】7.125【例 24】 如图所示，阴影部分的面积为多少？(圆周率取3)33B A33A1.51.51.545︒45︒B33【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 图中A 、B 两部分的面积分别等于右边两幅图中的A 、B 的面积．所以()()229271.5π 1.5343π3328498416A B S S +=-⨯÷+-⨯⨯÷=÷+÷=．【答案】2716【巩固】图中阴影部分的面积是 ．(π取3.14)333【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空【解析】 如右上图，虚线将阴影部分分成两部分，分别计算这两部分的面积，再相加即可得到阴影部分的面积．所分成的弓形的面积为：22131199π3π2242168⎡⎤⎛⎫⨯-⨯⨯=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；另一部分的面积为：221199π33π8484⨯-⨯=-；所以阴影部分面积为：99992727πππ 1.92375 1.9216884168-+-==-=≈．【答案】1.92【例 25】 已知右图中正方形的边长为20厘米，中间的三段圆弧分别以1O 、2O 、3O 为圆心，求阴影部分的面积．(π3=)OO 3B【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 图中两块阴影部分的面积相等，可以先求出其中一块的面积．而这一块的面积，等于大正方形的面积减去一个90︒扇形的面积，再减去角上的小空白部分的面积，为：()()()2142020π202020100π4754S S S S ⎡⎤---÷=⨯-⨯-⨯-÷=⎡⎤⎣⎦⎣⎦圆正方形正方形扇形(平方厘米)，所以阴影部分的面积为752150⨯=(平方厘米)． 【答案】150【例 26】 一个长方形的长为9，宽为6，一个半径为l 的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法运动到的部分，面积的和是_____．(π取3)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 方法一：圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角，而圆在角处运动时的情况如左下图，圆无法运动到的部分是图中阴影部分，那么我们可以先求出阴影部分面积，四个角的情况都相似，我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍．阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积，所以我们可以得到：每个角阴影部分面积为290111π13604⨯-⨯⨯=；那么圆无法运动到的部分面积为 1414⨯=方法二：如果把四个角拼起来，则阴影如右上图所示，则阴影面积为222311⨯-⨯=【答案】1【例 27】 已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部分的面积．(π 3.14=)B【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于阴影部分是一个不规则图形，所以要设法把它转化成规则图形来计算．从图中可以看出，阴影部分的面积是一个45°的扇形与一个等腰直角三角形的面积差．由于半圆的面积为62.8平方厘米，所以262.8 3.1420OA =÷=． 因此：22210AOB S OA OB OA =⨯÷=÷=△(平方厘米)．由于AOB ∆是等腰直角三角形，所以220240AB =⨯=．因此：扇形ABC 的面积24545ππ4015.7360360AB =⨯⨯=⨯⨯=(平方厘米)．所以，阴影部分的面积等于：15.710 5.7-=(平方厘米)． 【答案】5.7【例 28】 如图，等腰直角三角形ABC 的腰为10；以A 为圆心，EF 为圆弧，组成扇形AEF ；两个阴影部分的面积相等．求扇形所在的圆面积．【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 题目已经明确告诉我们ABC 是等腰直角三角形，AEF 是扇形，所以看似没有关系的两个阴影部分通过空白部分联系起来．等腰直角三角形的角A 为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍．而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即11010502S =⨯⨯=扇形，则圆的面积为508400⨯= 【答案】400【例 29】 如图，直角三角形ABC 中，AB 是圆的直径，且20AB =，阴影甲的面积比阴影乙的面积大7，求BC 长．(π 3.14=)乙甲CBA【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为两块阴影部分都是不规则图形，单独对待它们无法运用面积公式进行处理，而解题的关键就是如何把它们联系起来，我们发现把两块阴影加上中间的一块，则变成1个半圆和1个直角三角形，这个时候我们就可以利用面积公式来求解了．因为阴影甲比阴影乙面积大7，也就是半圆面积比直角三角形面积大7．半圆面积为：21π101572⨯⨯=，则直角三角形的面积为157-7=150，可得BC =2⨯150÷20=15． 【答案】15【巩固】三角形ABC 是直角三角形，阴影I 的面积比阴影II 的面积小225cm ，8cm AB =，求BC 的长度．I IAB C I【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于阴影I 的面积比阴影II 的面积小225cm ，根据差不变原理，直角三角形ABC面积减去半圆面积为225cm ，则直角三角形ABC 面积为218π258π2522⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭(2cm )， BC 的长度为()8π25282π 6.2512.53+⨯÷=+=(cm )．【答案】12.53【巩固】 如图，三角形ABC 是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，AB 长40厘米．求BC 的长度？(π取3.14)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答【解析】 图中半圆的直径为AB ，所以其面积为2120π200 3.146282⨯⨯≈⨯=．有空白部分③与①的面积和为628，又②-①28=，所以②、③部分的面积和62828656+=．有直角三角形ABC 的面积为12AB BC ⨯⨯=1406562BC ⨯⨯=．所以32.8BC =厘米．【答案】32.8【例 30】 图中的长方形的长与宽的比为8:3，求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】十三分，入学测试题 【解析】 如下图，设半圆的圆心为O ，连接OC ．从图中可以看出，20OC =，20416OB =-=，根据勾股定理可得12BC =． 阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，为：21π20(162)12200π3842442⨯⨯-⨯⨯=-=．【答案】244【例 31】 如图，求阴影部分的面积．(π取3)【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如图，图中阴影部分为月牙儿状，月牙儿形状与扇形和弓形都不相同，目前我们还不能直接求出 它们的面积，那么我们应该怎么来解决呢？首先，我们分析下月牙儿状是怎么产生的，观察发现月牙儿形是两条圆弧所夹部分，再分析可以知道，两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分，那么我们就找到了解决问题的方法了．阴影部分面积=12小圆面积+12中圆面积+三角形面积-12大圆面积=2221111π3π434π52222⋅⋅+⋅⋅+⨯⨯-⋅⋅ =6【答案】6【例 32】如图，直角三角形的三条边长度为6,8,10，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积为多少？68【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】S S S=-阴影直角三角形半圆，设半圆半径为r，直角三角形面积用r表示为：6108 22r rr ⨯⨯+=又因为三角形直角边都已知，所以它的面积为168242⨯⨯=，所以824r=，3r=所以1249π=24 4.5π2S=-⨯-阴影【答案】24 4.5π-【例 33】大圆半径为R，小圆半径为r，两个同心圆构成一个环形．以圆心O为顶点，半径R为边长作一个正方形：再以O为顶点，以r为边长作一个小正方形．图中阴影部分的面积为50平方厘米，求环形面积．(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】华校第一学期，期中测试，第6题【解析】环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能．题中已知阴影部分的面积，也就是2250R r-=平方厘米，那么环形的面积为：2222πππ()π50=157R r R r-=-=⨯(平方厘米)．【答案】157【巩固】图中阴影部分的面积是225cm，求圆环的面积．【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设大圆半径为R ，小圆半径为r ，依题有222522R r -=，即2250R r -=．则圆环面积为：22222πππ()50π157(cm )R r R r -=-==．【答案】157【例 34】 已知图中正方形的面积是20平方厘米，则图中里外两个圆的面积之和是 ．(π取3.14)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】101中学，考题 【解析】 设图中大圆的半径为r ，正方形的边长为a ，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为2a，大圆的直径2r 等于正方形的对角线长，即222(2)r a a =+，得222ar =．所以，大圆的面积与正方形的面积之比为：22π:π:2r a =，所以大圆面积为：202π10π÷⨯=；小圆的面积与正方形的面积之比为：22π():π:42aa =，所以小圆的面积为：204π5π÷⨯=；两个圆的面积之和为：10π5π15π15 3.1447.1+==⨯=(平方厘米)． 【答案】47.1【巩固】图中小圆的面积是30平方厘米，则大圆的面积是 平方厘米．(π取3.14)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设图中大圆的半径为r ，正方形的边长为a ，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为2a，大圆的直径2r 等于正方形的对角线长，即222(2)r a a =+，得222a r =．所以，大圆的面积与小圆的面积之比为：222222π:π()::2:12424a a a a r r ===， 即大圆的面积是小圆面积的2倍，大圆的面积为30260⨯=(平方厘米)． 【答案】60【巩固】(2008年四中考题)图中大正方形边长为a ，小正方形的面积是 ．【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设图中小正方形的边长为b ，由于圆的直径等于大正方形的边长，所以圆的直径为a ，而从图中可以看出，圆的直径等于小正方形的对角线长，所以22222a b b b =+=，故2212b a =，即小正方形的面积为212a ．【答案】212a【巩固】一些正方形内接于一些同心圆，如图所示．已知最小圆的半径为1cm ，请问阴影部分的面积为多少平方厘米？(取22π7=)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】台湾小学数学竞赛选拔，复赛 【解析】 我们将阴影部分的面积分为内圈、中圈、外圈三部分来计算． 内圈等于内圆面积减去内部正方形的面积，也就是2π1222π2⨯-⨯÷=-．内圆的直径为中部正方形的边长，即为2，中部正方形的对角线等于中圆的直径，于是中圈阴影部分面积是22π(22)4222π4⨯+÷-⨯=-．中圆的直径的平方即为外部正方形的面积，即为22228+=，外部正方形的对角线的平方即为外圆的直径的平方，即为8216⨯=，所以外圈阴影部分的面积是π16484π8⨯÷-=-．所以阴影部分的面积是227π1471487-=⨯-=(平方厘米)．【答案】8【例 35】 图中大正方形边长为6，将其每条边进行三等分，连出四条虚线，再将虚线的中点连出一个正方形(如图)，在这个正方形中画出一个最大的圆，则圆的面积是多少？(π 3.14=)。

第二讲 几何之圆与扇形教学目标组合图形的面积计算，除了直线型面积计算“五大模型”，跟圆有关的曲线型面积也是得别重要的组成部分。

其中，尤以结合情境的曲线形面积计算为最常见考点。

教师版答案提示：纸的厚度为：(206)27-÷=（厘米），那么有70.04175÷=圈纸，中心的卷轴到纸用完时大约会转175圈；圆环的面积为：2210391ππ⨯（-）=，因为纸的厚度为0.4毫米，即0.04厘米，所以纸展开后的长度约为：910.0422757143.5ππ÷=≈厘米.利用“加、减”思想解答问题想挑 战 吗 ？ 卷筒软纸中的数学右图为一圈“心相印”圈纸的截面图，纸卷直径 为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴，若纸的 厚度为0.4毫米，问：中心的卷轴到纸用完时大约会 转多少圈？这卷纸展开后大约有多长？（π取3.14）【例1】 如图，一个“月牙”形屏幕在屏幕上随意平行移动（不许发生转动也不越过屏幕边界），已知线段AB 是月牙外半圆弧的直径，长为2厘米。

初始时，A 、B 两点在矩形屏幕的一条边上。

屏幕的长和宽分别为30厘米和20厘米。

问：屏幕上“月牙”擦不到的部分的面积是多少平方厘米？（π取3）分析：由于“月牙”形屏幕在屏幕上只能平行移动（不许发生转动也不越过屏幕边界），所以它擦不到的地方只是屏幕的右上角和右下角两部分，如右下图中斜线所示区域，其面积为0.5平方厘米。

［前铺］如右图所示，等腰直角三角形ABC 的高AD=4厘米，以AD 为直径作圆分别交AB 、AC 与E 、F ，求阴影部分的面积。

（π取3） 分析：连接EF ，那么有BED ABD EOD S S S =-阴影三角形扇形，计算可得阴影部分面积为6平方厘米。

［巩固］一个长方形的长为9，宽为6，一个半径为l 的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法运动到的部分，面积的和是多少？(π取3)分析：圆无法运动到的部分是右下图中角处的阴影部分面积的4倍，114111π⨯⨯-⨯⨯=［拓展］如右图所示，用一块面积为36平方厘米铝板下料，可裁出七个同样大小的圆铝板。

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．圆的面积2πr =；扇形的面积2π360nr =⨯；圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360nr =⨯．一、跟曲线有关的图形元素：①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n．比如：扇形的面积=所在圆的面积360n⨯；扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n⨯扇形的周长=所在圆的周长+360n⨯2⨯半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)③”弯角”：如图：弯角的面积=正方形-扇形④”谷子”：如图：“谷子”的面积=弓形面积2⨯二、常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块一 平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用【例 1】 如图，圆O 的直径AB 与CD 互相垂直，AB =10厘米，以C 为圆心，CA 为半径画弧。

求月牙形ADBEA （阴影部分）的面积。

例题精讲圆与扇形D【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，决赛，第9题，10分【解析】 ①月牙形ADBEA (阴影部分)的面积＝半圆的面积+△ABC 的面积－扇形CAEBC 的面积②月牙形ADBEA 的面积＝211π525π502524⨯⨯+-⨯⨯=（平方厘米）,所以月牙形ADBEA 的面积是25平方厘米。

数学圆扇形圆环试题答案及解析1.直径是圆内最长的一条（）A.线段B.直线C.射线【答案】A【解析】根据直线、线段、射线的意义：直线没有端点，可以向两方无限延长；线段有两个端点，射线只有一个端点，可以向一方无限延长．据此解答．解：直径是圆内最长的一条线段．故选：A．点评：此题考查的目的是理解掌握直线、线段、射线的意义，及它们之间的联系与区别．2.在下面关于π的叙述中，错误的是（）①π是一个无限小数②π=3.14③π＞④π是圆周长与它半径的比值⑤π＜31.42%A．②④⑤B．①②④C．①③D．②④【答案】D【解析】（1）无限不循环小数是指小数点后有无限个数位，但没有周期性的重复，圆周率π=3.1415926…，就是无限不循环小数，因为它的小数点后面没有出现循环的数字，并且它的数位是无限的．（2）据圆周率的意义可知，圆周率大于3.14，是无限不循环小数．（3）因为=3.14，所以π＞．（4）π是圆周长与它直径的比值．（5）因为π在3.1415926和3.1415926之间，所以π＜31.42%．解：据分析可知：①π是一个无限小数，是正确的；②π=3.14，是错误的；③π＞，是正确的；④π是圆周长与它半径的比值，是错误的；⑤π＜31.42%，是正确的；故选：D．点评：此题主要考查对圆周率的认识与判定．3.下面几种说法中正确的是（）A.圆周率表示圆的周长B.圆周率表示圆的周长与它直径的比的比值C.圆周率表示π保留两位小数的近似值【答案】B【解析】根据圆周率的含义：圆的周长和它的直径的比值，叫做圆周率，用π表示，π取近似值3.14；根据题意，对各题进行依次分析、进而得出结论．解：根据圆周率的含义可知：A、圆周率表示圆的周长，说法错误；B、圆周率表示圆的周长与它直径的比的比值，说法正确；C、圆周率表示π保留两位小数的近似值，说法错误；故选：B．点评：此题考查的是圆周率的意义，应注意基础知识的积累．4.下面错误的是（）A.通过一个圆的圆心的线段，一定是这个圆的直径B.圆的半径扩大3倍，它的面积扩大9倍C.2πr和πr2所表示的意思相同【答案】A C【解析】从定义上看，A不对；从表示意义上讲C不对；圆的面积等于圆周率乘半径再乘半径，B对．解：只有通过圆心，两端都在圆上的线段才为直径；2πr表示2×π×r，πr2表示π×r×r；故选：A，C．点评：此题考查对圆的直径、半径、面积的意义和关系．5.下列说法正确的是（）A.任何数都有倒数B.π的大小与圆的大小无关C.半径的长等于直径的一半【答案】B【解析】根据题意，对各题进行依次分析、进而得出结论．解：A、任何数都有倒数，说法错误，0就没有倒数；B、π的大小与圆的大小无关，说法正确，因为圆周率π是圆的周长和它直径的比值，它不随圆的周长和直径的改变而改变；C、半径的长等于直径的一半，说法错误，前提是必须是在“同圆或等圆中”；故选：B．点评：此题涉及的知识点较多，但都比较简单，属于基础题，只要认真，容易完成，注意平时基础知识的积累．6.圆的大小与圆的（）无关．A．半径B．直径C．周长D．圆心【答案】D【解析】因为圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，圆的直径大，半径就大，圆的面积就大；同理圆的周长大，圆的半径就大，则圆的面积就大；所以圆的大小和圆的半径、直径和周长有关，和圆心无关；据此解答．解：半径决定圆的大小，圆心决定圆的位置，在A，B，C三个答案中都与半径r的大小有关，选项D，圆心的位置只能确定圆的位置，与圆的面积无关，故选：D．点评：解答此题应明确：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．7.（2010•泸县模拟）圆周率π（）3.14．A.大于B.等于C.小于【答案】A【解析】圆周率π是个固定的值，它是无限不循环小数，3.14是我们取的近似值．解：因为π=3.1415926…，所以π大于3.14；故选：A．点评：此题考查圆周率．8.画一个长4厘米、宽3厘米的长方形，并在里面画面积最大的圆．【答案】如图【解析】在长方形中最大的圆是以宽为直径的圆，依据圆的画法就能画出符合要求的圆，由此即可解决问题．解：以这个长方形的对角线的交点为圆心，以3÷2=1.5厘米为半径，画圆如下：．点评：解答此题的关键是明白：在长方形中最大的圆是以宽为直径的圆．9.填表．【答案】如图【解析】根据圆的公式C=2πr和C=πd以及在同一圆内直径为半径的2倍，据此解答后再填表即可得到答案．解：半径为1.5厘米，直径：1.5×2=3（厘米），周长：3.14×2×1.5=9.42（厘米）；直径为4分米，半径：4÷2=2（分米），周长：3.14×4=12.56（分米）；周长为15.7厘米，直径：15.7÷3.14=5（厘米）；半径：5÷2=2.5（厘米）；直径3.6厘米，半径：3.6÷2=1.8（厘米），周长：3.14×3.6=11.304（厘米）；半径为100厘（，直径：100×2=200（厘米），周长：3.14×2×100=628（厘米）；周长为78.5米，直径：78.5÷3.14=25（米），半径：25÷2=12.5（米）；填表．半径r 1.5厘米 2分米 2.5厘米 1.8厘米 100厘米 12.5米直径d 3厘米 4分米 5厘米 3.6厘米 200厘米 25米周长C 9.42厘米 12.56分米 15.7厘米 11.304厘米 628厘米 78.5米点评：此题主要考查的是圆的周长公式、在同一圆内半径和直径的关系这两个知识点．10.画一个直径是3厘米的半圆形，并画出它的对称轴．【答案】如图【解析】先画一条3厘米的线段，再以这条线段的中点为圆心，以这条线段长度的一半为半径，即可画出符合要求的半圆；依据轴对称图形的意义，即在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可画出这个半圆的对称轴．解：依据分析，画图如下：点评：本题考查了圆及对称轴的画法．确定好圆心和半径，就能画出半圆，再据轴对称图形的意义，就能画出这个半圆的对称轴．11.画一画，想一想．（1）以点O为圆心画一个半径是1.5厘米的圆．（2）分别以A、B两点为圆心，以A、B两点间的距离为半径，画两个圆．【答案】如图【解析】（1）紧扣圆的画法，即确定好圆心的位置和半径的长度，用圆规即可解决问题．（2）依据圆的基本画法，分别以A、B两点为圆心，以A、B两点间的距离为半径，即可画出符合要求的圆．解：（1）根据题意，以O为圆心，以1.5厘米为半径，画圆如图所示：（2）分别以A、B两点为圆心，以A、B两点间的距离为半径画圆如下：点评：此题考查了圆的画法．抓住圆的两大要素：圆心和半径，即可解决此类问题．12.在边长为2cm的正方形内画一个最大的圆．怎样确定它的圆心和半径？【答案】如图【解析】正方形内最大圆的直径是这个正方形的边长，圆心就是这个正方形的中心，由此可以画图．解：以正方形的对角线的交点为圆心，以正方形的边长的一半（2÷2=1厘米）为半径，画圆如下：点评：此题考查了圆的画法的灵活应用，抓住正方形内最大圆的特点，是解决本题的关键．13.画一个半径1cm的圆，并用字母O、r、d标出它的圆心、半径和直径．【答案】如图【解析】根据“直径=半径×2”，代入数字，求出直径；圆心用字母“o”表示；半径用字母“r”表示；直径用字母“d”表示．解：直径=1×2=2（厘米）；作图如下：点评：此类题只要先根据圆中直径和半径的关系，求出直径，然后根据半径即可画出圆．14.连线．【答案】如图【解析】根据直径和半径的含义：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径；连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径；由此可知：在同一个圆内，直径的长度都是半径长度的2倍，半径的长度是直径的一半；据此连线．解：根据分析连线如下：点评：此题主要考查在同一个圆中半径与直径的关系．15.画图：（1）请你用圆规画出一个圆；用O标注它的圆心；（2）请画出这个圆的半径；并标注出半径r，（3）请画出这个圆的直径，用d标注．【答案】如图【解析】由题意知，用圆规画一个任意大小的圆，可先确定圆心，然后再依据画圆的方法画一个圆，并用字母标出它的圆心O、半径r和直径d即可．解：如图所示：点评：此题主要考查的是用圆规画圆的方法．16.以上面右边的A点为圆心，画一个直径2厘米的圆．【答案】如图【解析】利用圆规按照画圆的步骤画出即可．解：①把圆规有针尖的一只脚固定在A点上作为圆心；②把圆规的两脚分开，定好两脚之间的距离为1（2÷2=1）厘米作为半径；③让装有铅笔的一只脚旋转一周．这样直径2厘米的圆就画好了．点评：此题考查用圆规画出指定的圆．17.在下面的正方形里面画一个最大的圆，用字母标明圆心、半径、直径，并完成有关的计算．（1）求出所画圆的周长和面积．（2）剪去最大的圆，剩下部分的面积是多少？【答案】周长是12.56厘米，面积是12.56平方厘米，剩余面积是3.44平方厘米【解析】由题意可知：所画圆的直径应等于正方形的边长，从而可以画出符合要求的圆；根据圆的周长公式和面积公式计算出圆的周长和面积即可；可用正方形的面积减去圆的面积即是剩余的面积．解：作图如下：（1）圆的周长：3.14×4=12.56（厘米），圆的面积：3.14×（4÷2）2=12.56（平方厘米）；答：圆的周长是12.56厘米，面积是12.56平方厘米；（2）4×4﹣12.56=16﹣12.56，=3.44（平方厘米），答：剩余面积是3.44平方厘米．点评：解答此题的关键是明白：所画圆的直径应等于正方形的边长．18.以O为圆心，以OB为半径画一个圆．【答案】如图【解析】紧扣圆的画法步骤，先固定圆规有针的一脚在o点，两个脚之间的距离等于OB的长度，另一个脚旋转一周，画圆即可解决问题．解：由分析作图如下：．点评：此题考查了圆的画法．抓住圆的两大要素：圆心和半径．即可解决此类问题．19.（1）画一个长6厘米，宽3厘米的长方形．（2）在长方形内画一个最大的半圆，并求出半圆的周长和面积．（3）画出半圆的对称轴．【答案】如图，15.42厘米，14.13平方厘米【解析】（1）先画两条垂线，以垂足为端点，分别截取6厘米和3厘米线段作为长和宽，再过这两个端点作已知长和宽的平行线，即可画出长是6厘米，宽是3厘米的长方形．（2）在长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的直径等于长方形的长6厘米；再分别求出半圆的周长和面积．（3）这个半圆有一条对称轴，对称轴垂直于这个半圆的直径且过圆心．解：（1）画图如下：（2）3.14×6÷2+6=18.84÷2+6=9.42+6=15.42（厘米）；3.14×32÷2=3.14×9÷2=14.13（平方厘米）；（3）画图如下：故答案为：，15.42厘米，14.13平方厘米．点评：本题考查的知识点有：根据指定长宽画长方形、根据指定直径（或半径）画半圆、画轴对称图形的对称轴等．注意半圆的周长等于半圆的弧长加直径．20.按要求做一做．①在右面的长方形中画一个最大的半圆．②画出这个组合图形的对称轴．③计算这个半圆的周长．【答案】如图，周长是10.28厘米【解析】（1）根据长方形的边长特点可得，这个最大的半圆的半径为2厘米，那么它的直径为4厘米，要使它与已知的长方形组合成的组合图形是轴对称图形，那么半圆的圆心应该在长方形的长边的中点上，由此即可画出这个以长边的中点为圆心，以2厘米长为半径的半圆；（2）过圆心O做平行宽边的直线即为这个组合图形的对称轴，（3）利用半圆的周长=圆的周长的一半+直径的长度，代入数据即可解决问题．解：（1）（2）根据题干分析可得：圆心是长边的中点，半径长度2厘米，由此即可画出这个半圆如下图所示：（3）3.14×4÷2+4，=6.28+4，=10.28（厘米），答：这个半圆的周长是10.28厘米．点评：（1）此题考查了画圆的两大要素为：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，根据长方形内最大半圆的特点及轴对称图形的性质即可得出半圆的圆心与半径；（2）此题也考查了利用圆的周长公式计算半圆的周长的方法，这里要注意不要忘记加直径的长度．21.画一个r=3cm的圆．【答案】如图【解析】由题意可知：可以以任意一点为圆心，3厘米为半径即可画出符合要求的圆．解：如图所示，即为所要求画的圆：．点评：此题主要考查圆的基本画法，确定好圆心的位置和半径的长度，即可画出符合要求的圆．22.在长方形内画一个最大的圆，并标出圆心和半径（保留作图痕迹）【答案】如图【解析】长方形内最大的圆的直径等于这个长方形的最短边长，由此以长方形的中心为圆心，以长方形的宽的一半为半径即可画圆．解：根据题干分析，画图如下：点评：此题考查了长方形内最大的圆的画法．23.画一个d=8cm的圆．【答案】如图【解析】先定出圆心，再以（8÷2）厘米为半径，即可画出符合要求的圆．解：圆的半径：8÷2=4（厘米），如图所示，即为所要求画的圆：点评：此题主要考查圆的基本画法，关键是要明白：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小．24.画一个周长是9.42cm的圆，并求在这个圆外画出的最小正方形的周长．【答案】如图，周长是12厘米【解析】利用周长公式可得：圆的半径=周长÷π÷2，由此代入数据计算即可求出圆的半径，从而画出符合要求的圆；再以圆的直径为边长画一个正方形，根据正方形的周长公式C=4a求出它的周长．解：9.42÷3.14÷2=1.5（厘米），以任意一点O为圆心，以1.5厘米长的线段为半径，画图如下：正方形的周长：1.5×2×4=12（厘米），答：最小正方形的周长是12厘米．点评：此题考查了圆的画法，抓住圆的两大要素：圆心和半径即可画圆．25.先画一个长为3厘米，宽为2厘米的长方形，然后在长方形内画一个最大的圆．如果剪去这个圆，剩下部分的面积是多少？【答案】如图，剩下部分的面积是2.86平方厘米【解析】根据长方形的特征，长方形的四个角都是直角，长方形的对边平行且相等，用三角板即可画出这个长为3厘米，宽为2厘米的长方形；在这个长方形内画一个直径是长方形宽（即2厘米）的圆，就是一个最大的圆；算出长方形的面积，再算出圆的面积，二者相减就是剩下部分的面积．解：根据分析画图如下：3×2﹣3.14×（）2=3×2﹣3.14×1=6﹣3.14=2.86（平方厘米）答：剩下部分的面积是2.86平方厘米；故答案为：，2.86平方厘米．点评：本题是考查指定条件画长方形及计算长方形的面积及圆的面积等，只有所画的圆的直径和长方形的宽相等时，画出的圆最大．26.（1）在正方形中画一个最大的圆．（2）如果把画好的圆剪下来，剩下部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）【答案】如图，剩下部分的面积是3.44平方厘米．【解析】正方形内最大的圆，直径等于正方形的边长，由此即可解决问题；剩下部分的面积=正方形的面积﹣圆的面积，代入数据即可求解．解：如图所示，以正方形的对角线的交点O为圆心，以正方形的边长的一半4÷2=2厘米为半径，即可画出符合要求的圆：剩下部分的面积为：4×4﹣3.14×（4÷2）2，=16﹣12.56，=3.44（平方厘米）；答：剩下部分的面积是3.44平方厘米．点评：抓住最大圆的直径与正方形的边长相等解决问题．27.为迎接新年，六、1班打算用五色小圆片布置教室．李兰有一张长5厘米，宽3厘米的长方形蜡光纸，你能帮她用圆规在长方形内画一个面积最大的圆吗？试一试．并计算这个圆的周长和剩下的面积．【答案】如图，周长是9.42厘米，剩下得面积是7.935平方厘米【解析】（1）由题意可知：这个最大圆的直径应该等于长方形的宽，长方形的宽已知，于是可以画出这个圆．（2）因为圆的直径等于长方形的宽，利用圆的周长C=πd，即可求出这个圆的周长，又因剩下的面积=长方形的面积﹣圆的面积，分别利用圆的面积S=πr2，长方形的面积S=ab，即可求出剩下的面积．解：（1）如图所示，以长方形内一点为圆心，3÷2=1.5（厘米）为半径，即可画出符合要求的圆．（2）圆的周长：3.14×3=9.42（厘米）；剩下的面积：5×3﹣3.14×1.52，=15﹣3.14×2.25，=15﹣7.065，=7.935（平方厘米）；答：这个圆的周长是9.42厘米，剩下得面积是7.935平方厘米．点评：（1）确定好圆心的位置和半径的长度，即可画出符合要求的圆．（2）此题主要考查圆的周长和长方形以及圆的面积的计算方法．28.想一想，画一画．边长为8cm的正方形，里面是一个圆（如图）．求圆的面积。

第8讲圆与扇形知识网络圆是所有几何图形中最完美的。

当一条线段绕着它的一个端点O在平面上旋转时一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫圆（也叫圆周），O点称为这个圆的圆心。

连接一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径，圆的半径通常用字母r表示。

连接圆上任意两点的线段叫做圆的弦。

过圆心的弦叫做圆的直径，圆的直径通常用字母d表示，显然d=2r。

圆的周长（用字母C表示）与直径的比，叫做圆周率。

圆周率用字母表示，它是一个无限不循环的小数，一般取近似值3.14。

圆的周长。

利用等分圆周拼成近似长方形的方法可知圆的面积。

顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆周上任意两点间的部分叫做弧。

扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形。

如果扇形的半径为r，弧所对圆心角的度数为n，那么弧的长度。

从而扇形的周长，扇形的面积。

重点·难点本讲的难点在于求圆或扇形与其他平面图形组成的组合图形的面积。

一般这类组合图形是不规则的，很难直接用公式计算它们的面积。

这时候，可以利用分、合、移、补等方法将其转化为若干个基本几何图形的组合，然后再分别计算这若干个基本图形的面积，分析整体与各部分的和、差关系，问题就会迎刃而解。

学法指导在解圆或扇形的周长与面积等有关问题时，一般要先求出半径r，因为半径r是连接周长与面积的纽带。

经典例题[例1]一只饥饿的猛虎紧紧地追赶着一只小狗。

就在猛虎要抓住小狗的时候，小狗逃到了一个圆形的池塘边。

小狗连忙纵身往水里一跳，猛虎抓了个空。

猛虎舍不得这顿即将到口的美餐，于是盯住小狗，在池边跟着小狗跑动，打算在小狗爬上岸的时候再抓住它。

已知猛虎奔跑的速度是小狗游水速度的2.5倍。

请问：小狗如何才能逃出虎口？思路剖析如果小狗在圆形池塘中沿着圆周游动，那末无论它游到哪里，都会被猛虎牢牢盯死。

而如果小狗跳下池塘后就沿着直径笔直往前游，那么猛虎就要跑半个圆周。

由于半圆周长是直径的，而猛虎的速度是小狗的2.5倍，因此猛虎还是能够抓住小狗的。

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．圆的面积2πr =；扇形的面积2π360nr =⨯；圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360nr =⨯．一、 跟曲线有关的图形元素： ①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n．比如：扇形的面积=所在圆的面积360n⨯；扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n⨯扇形的周长=所在圆的周长360n⨯+2⨯半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)③”弯角”：如图：弯角的面积=正方形-扇形④”谷子”：如图：“谷子”的面积=弓形面积2⨯二、 常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块、曲线型旋转问题【例 1】 正三角形ABC 的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A 点再次落在这条直线上，那么A 点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形例题精讲圆与扇形面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(结果保留π)【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图所示，A 点在翻滚过程中经过的路线为两段120︒的圆弧，所以路线的总长度为：1202π628π360⨯⨯⨯=厘米；三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个120︒的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积为：2120π621524π15360⨯⨯⨯+=+平方厘米．【答案】24π15+【巩固】直角三角形ABC 放在一条直线上，斜边AC 长20厘米，直角边BC 长10厘米．如下图所示，三角形由位置Ⅰ绕A 点转动，到达位置Ⅱ，此时B ，C 点分别到达1B ，1C 点；再绕1B 点转动，到达位置Ⅲ，此时A ，1C 点分别到达2A ，2C 点．求C 点经1C 到2C 走过的路径的长．60︒30︒B 1C 1C 2A 2CB AⅢⅡⅠ【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由于BC 为AC 的一半，所以30CAB ∠=︒，则弧1CC 为大圆周长的18030536012︒-︒=︒，弧12C C 为小圆周长的14，而112C C CC +即为C 点经1C 到2C 的路径，所以C 点经1C 到2C 走过的路径的长为5150652π202π10π5ππ12433⨯⨯+⨯⨯=+=(厘米)．【答案】65π3【巩固】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4cm 和3cm 的长方形Ⅰ．它的对角线长恰好是5cm ．让这个长方形绕顶点B 顺时针旋转90°后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点A 到达点E 的位置．求点A 走过的路程的长．ⅣⅢⅡⅠEDCBA【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为长方形旋转了三次，所以A 点在整个运动过程中也走了三段路程(如右上图所示)．这三段路程分别是：第1段是弧1AA ，它的长度是12π44⨯⨯⨯(cm )；第2段是弧12A A ，它的长度是12π54⨯⨯⨯(cm )；第3段是弧2A E ，它的长度是12π34⨯⨯⨯(cm )；所以A 点走过的路程长为：1112π42π52π36π444⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=(cm )．【答案】6π【例 2】 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见如图)．问：这只羊能够活动的范围有多大？(圆周率取3.14)【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如图所示，羊活动的范围可以分为A ，B ，C 三部分，其中A 是半径30米的34个圆，B ，C 分别是半径为20米和10米的14个圆． 所以羊活动的范围是222311π30π20π10444⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯222311π302010444⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭2512=．【答案】2512【巩固】一只狗被拴在底座为边长3m 的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是4m ，求狗所能到的地方的总面积．(圆周率按3.14计算)3【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图所示，羊活动的范围是一个半径4m ，圆心角300°的扇形与两个半径1m ，圆心角120°的扇形之和．所以答案是243.96m ．【答案】43.96【例 3】 如图是一个直径为3cm 的半圆，让这个半圆以A 点为轴沿逆时针方向旋转60︒，此时B 点移动到'B 点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为cm ，圆周率按3计算)．BA【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 面积=圆心角为60︒的扇形面积+半圆-空白部分面积(也是半圆)=圆心角为60︒的扇形面积22603π3π 4.5(cm )3602=⨯⨯==．【答案】4.5【例 4】 如图所示，直角三角形ABC 的斜边AB 长为10厘米，60ABC ∠=︒，此时BC 长5厘米．以点B 为中心，将ABC ∆顺时针旋转120︒，点A 、C 分别到达点E 、D 的位置．求AC 边扫过的图形即图中阴影部分的面积．(π取3)E【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 注意分割、平移、补齐．E DB A如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置， 因为60EBD ∠=︒，那么120ABE ∠=︒，则阴影部分为一圆环的13．所以阴影部分面积为()221π753AB BC ⨯⨯-=(平方厘米)．【答案】75【巩固】如右图，以OA 为斜边的直角三角形的面积是24平方厘米，斜边长10厘米，将它以O 点为中心旋转90︒，问：三角形扫过的面积是多少？(π取3)【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 从图中可以看出，直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积，等于一个三角形的面积与四分之一圆的面积之和．圆的半径就是直角三角形的斜边OA ．因此可以求得，三角形扫过的面积为：124π10102425π994+⨯⨯⨯=+=(平方厘米)．【答案】99【巩固】(“学而思杯”数学试题)如图，直角三角形ABC 中，B ∠为直角，且2BC =厘米，4AC = 厘米，则在将ABC ∆绕C 点顺时针旋转120︒的过程中，AB 边扫过图形的面积为 ．(π 3.14=)C B AB'A'C B A【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如右上图所示，假设ABC ∆旋转120︒到达''A B C ∆的位置．阴影部分为AB 边扫过的图形．从图中可以看出，阴影部分面积等于整个图形的总面积减去空白部分面积，而整个图形总面积等于扇形'ACA 的面积与ABC ∆的面积之和，空白部分面积等于扇形'BCB 的面积与''A B C ∆的面积，由于ABC ∆的面积与''A B C ∆的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形'ACA 与扇形'BCB 的面积之差，为22120120π4π24π12.56360360⨯⨯-⨯⨯==(平方厘米)．【答案】12.56【例 5】 如下图，△ABC 是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米。

小学圆的面积奥数题100道及答案(完整版)题目1一个圆的半径是3 厘米，它的面积是多少平方厘米？答案：圆的面积= π×半径×半径，即3.14×3×3 = 28.26（平方厘米）题目2圆的直径是8 分米，求面积。

答案：半径= 8÷2 = 4 分米，面积= 3.14×4×4 = 50.24（平方分米）题目3一个圆的周长是18.84 米，求其面积。

答案：周长= 2×π×半径，所以半径= 18.84÷（2×3.14）= 3 米，面积= 3.14×3×3 = 28.26（平方米）题目4圆的面积是12.56 平方厘米，求半径。

答案：3.14×半径×半径= 12.56，半径×半径= 4，半径= 2 厘米题目5直径为10 厘米的圆，面积比半径为6 厘米的圆的面积小多少？答案：直径10 厘米的圆半径为5 厘米，面积为 3.14×5×5 = 78.5 平方厘米；半径6 厘米的圆面积为3.14×6×6 = 113.04 平方厘米，小113.04 - 78.5 = 34.54 平方厘米题目6一个圆的半径扩大3 倍，面积扩大多少倍？答案：原来面积= π×半径×半径，半径扩大3 倍后，面积= π×（3×半径）×（3×半径）= 9×π×半径×半径，面积扩大9 倍题目7两个圆的半径分别是2 厘米和3 厘米，它们面积的和是多少？答案：面积分别为3.14×2×2 = 12.56 平方厘米，3.14×3×3 = 28.26 平方厘米，和为12.56 + 28.26 = 40.82 平方厘米题目8一个圆的面积是50.24 平方分米，在里面画一个最大的正方形，正方形的面积是多少？答案：圆的半径= √（50.24÷3.14）= 4 分米，正方形的对角线是圆的直径为8 分米，正方形面积= 对角线×对角线÷2 = 8×8÷2 = 32 平方分米题目9圆的半径由4 厘米增加到6 厘米，面积增加了多少平方厘米？答案：原来面积= 3.14×4×4 = 50.24 平方厘米，新面积= 3.14×6×6 = 113.04 平方厘米，增加了113.04 - 50.24 = 62.8 平方厘米题目10在一个边长为8 厘米的正方形中画一个最大的圆，圆的面积是多少？答案：圆的直径= 8 厘米，半径= 4 厘米，面积= 3.14×4×4 = 50.24 平方厘米题目11已知圆的面积是28.26 平方米，求周长。

第11讲圆与扇形进阶一、知识点圆与正方形是两个最基本的图形，在计算面积时，圆与正方形也有很大的关系.关于正方形和圆，有以下的关系：方中圆：正方形的边长等于圆的直径；圆中方：圆的直径等于正方形的对角线.利用边长与直径的关系，我们可以得到它们面积的关系.在计算一些不规则图形的面积时，我们可以利用割补的方法，而对于一些比较特殊的图形，我们可以把它看成是一些基本图形的重叠部分,利用基本图形的面积求出它们的面积.二、典型例题.3）例1 （1）图中（1）正方形的面积是8，那么圆的面积是多少？（π取14.3）（2）图中（2）正方形的面积是16，那么圆的面积是多少？（π取14（1）（2）.3）练习1 如图，已知正方形的边长是2，求大圆及小圆的面积.（π取14.3）例2 计算下面各图中阴影部分的面积，并比较大小.（π取14.3）练习2 已知长方形的面积是12，则图中阴影部分的面积是多少？（π取14.3）例3 如图，求下图中各阴影部分的面积.（π取14例4 图中正方形的边长是4厘米，圆的半径是1厘米.当圆绕正方形顺时针滚动一周又回到.3）原来位置时，扫过的面积有多大？（π取14.3）例5 如图，求阴影部分的面积.（π取14例6 （1）如图（1），一只小狗被拴在一个边长是4米的正方形的建筑物的顶点A处，四周都是空地.绳长8米.则小狗的活动范围是多少平方米？（2）如图（2），如果小狗不是拴在A处,而是在一边的中点B处，那么小狗的活动范围是多少平方米？三、课后练习1、已知下图中正方形的面积是,16那么阴影部分的面积是多少？（π取14.3）2、如图，正方形的边长是2厘米，圆形的半径是1厘米.当圆形绕正方形顺时针滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取14.3）3、如图，求阴影部分的面积.。

数学圆扇形圆环试题答案及解析1.下列说法正确的是（）A.任何数都有倒数B.π的大小与圆的大小无关C.半径的长等于直径的一半【答案】B【解析】根据题意，对各题进行依次分析、进而得出结论．解：A、任何数都有倒数，说法错误，0就没有倒数；B、π的大小与圆的大小无关，说法正确，因为圆周率π是圆的周长和它直径的比值，它不随圆的周长和直径的改变而改变；C、半径的长等于直径的一半，说法错误，前提是必须是在“同圆或等圆中”；故选：B．点评：此题涉及的知识点较多，但都比较简单，属于基础题，只要认真，容易完成，注意平时基础知识的积累．2.同圆或等圆内，半径是直径的（）A. B.2倍 C.π倍【答案】A【解析】由条件“同圆或等圆内”，可知直径是半径的2倍．半径是直径的，判定即可．解：同圆或等圆内，半径是直径的．故答案为：A．点评：此题主要考查在同圆或等圆内，半径与直径的关系．3.下列说法错误的是（）A.半径一定比直径短B.圆具有对称性C.圆是曲线图形【答案】A【解析】根据题意，对各题进行依次分析、进而得出结论．解：A、半径一定比直径短，说法错误，如一个圆的半径是5厘米，另一个圆的直径是4，前提是必须是在同圆或等圆中，半径一定比直径短；B、圆是轴对称图形，具有对称性，故B说法正确；C、圆是曲线图形，说法正确；故选：A．点评：此题考查圆的认识的基础知识的理解，平时应注意基础知识的积累．4.如图，该图的一半，再一半，结果是（）A. B. C.【答案】C【解析】将这个圆当做单位“1”，根据分数的意义可知，它的一半是原来的，所以它的一半的一半是原为的×=．解：×=；故选：C．点评：完成本题的依据是分数的意义，即将单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数为分数．5.明明把一个圆形纸片至少对折（）次，才可以确定圆心．A.2B.3C.无数【答案】A【解析】圆中心的那个点即圆心，所有直径都相交于圆心，将一个圆形纸片最少要对折两次，才能找到两条折痕相交的那个点，即圆心．解：明明把一个圆形纸片至少对折2次，才可以确定圆心；故选：A．点评：本题考查了确定圆心的方法．6.（2012•中山模拟）在一圆中画一最大的正方形，再在正方形中画一最大的圆，那么这三个图形面积的比是（从外到内）（）A．π：2：1B．2π：π：2C．2π：4：πD．4：π：2【答案】C【解析】（1）在圆中画的最大正方形可以用对角线平均分为两个等腰直角三角形，三角形的底是圆的直径，高是圆的半径．（2）在一个正方形中画的最大的圆的直径是大正方形的边长；据此可以分别求出两个圆和正方形的面积，接着求出比即可．．解：设小圆的半径为r，则正方形的边长为2r，小圆的面积：πr2，正方形的面积：2r×2r=4r2，大圆的面积：π×（r2+r2）=2πr2，所以大圆的面积：正方形的面积：小圆的面积=2πr2：4r2：πr2=2π：4：π．故选：C．点评：解决本题主要是将正方形的边长和大圆的半径转化为用小圆的半径来表示，再进一步求出面积及面积比．7.我国伟大的数学家祖冲之，早在约一千五百多年前经过精密计算，就发现圆周率是一个（）A.有限小数B.无限不循环小数C.无限循环小数【答案】B【解析】根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，圆周率用“π”表示，π是一个无限不循环小数；据此解答即可．解：我国伟大的数学家祖冲之，早在约一千五百多年前经过精密计算，就发现圆周率是一个无限不循环小数；故选：B．点评：此题考查的是圆周率的知识，应多注意基础知识的理解和掌握．8.画一个长5厘米、宽3厘米的长方形，在它里面画一个面积最大的半圆．【答案】如图【解析】先画出一个长5厘米、宽3厘米的长方形；然后根据题干分析可得，这个长方形内最大的半圆的直径是5厘米，由此画出直径为5厘米的半圆即可．解：半径为：5÷2=2.5（厘米），如图：点评：此题考查了长方形内最大半圆的特点以及半圆的画法．9.用圆规可以画出许多美丽的图案．请仔细观察如图1的图案，想一想它们是怎样用圆规画出来的．你还能画出其他的图案吗？这些图案有什么特点？在方格纸上（如图2）试着画一画．【答案】如图【解析】图1中的第一个图形是先画一个大圆，再把圆周平均分为4份，再顺次连接4个点，得到一个正方形，中以正方形的边长为直径画圆；图1中的第二个图形是先画一个大圆，再把圆周平均分为4份，相对的两个点连接，再以连出的半径为直径画圆，最后以半径的一半为为直径画圆；如下图：画出三个同心圆，且从内到外的圆的半径依次增加1倍，即可得出一个图形．解：图1中的第一个图形是先画一个大圆，再把圆周平均分为4份，再顺次连接4个点，得到一个正方形，中以正方形的边长为直径画圆；图1中的第二个图形是先画一个大圆，再把圆周平均分为4份，相对的两个点连接，再以连出的半径为直径画圆，最后以半径的一半为为直径画圆；画出三个同心圆，且从内到外的圆的半径依次增加1倍，即可得出一个图形．点评：此题主要考查组合图形的画法，关键是明确这个图形是由哪几个图形组合而成的．10.在图形内画一个周长是6.28厘米的圆．【答案】如图【解析】根据圆的周长公式可得，这个圆的半径是：6.28÷3.14÷2=1（厘米）；那么以这个正方形的中心为圆心，以1厘米为半径即可画出这个圆．解：圆的半径是：6.28÷3.14÷2=1（厘米）；根据画圆的方法，以O为圆心，以1厘米长为半径画圆，如图所示：点评：圆心确定位置，半径确定大小，由此即可画圆．11.画出一个环形，并计算面积．R=3厘米 r=2厘米．【答案】如图，环形的面积是15.7平方厘米【解析】如图所示，环形的面积=π×（R2﹣r2），据此代入数据即可求解．解：如图所示，环形的面积是：3.14×（32﹣22），=3.14×（9﹣4），=3.14×5，=15.7（平方厘米）；答：环形的面积是15.7平方厘米．点评：此题主要考查环形的面积的计算方法．12.看图填空0为，OA为，用字母表示．BC为，用字母表示．DE为．【答案】圆心，半径，r，直径，d，弦．【解析】根据圆的半径和直径的含义及圆的特征：圆中心的一点叫做圆心，圆心用o表示，从圆心到圆上任意一点的线段叫半径，半径用字母r表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径，直径用字母d表示；连接圆中任意两点间的线段，叫做弦；据此解答．解：0为圆心，OA为半径，用字母r表示．BC为直径，用字母d表示．DE为弦；故答案为：圆心，半径，r，直径，d，弦．点评：此题考查了圆的半径、直径、弦的含义及圆的特征，应注意理解和掌握．13.动手实践．在日常生活中，哪些物体的形状是圆形的？你能测量出它们的直径和周长吗？填写下表．圆形物体名称直径周长周长与直径的比值我的发现：．【答案】圆的周长与直径的比值是3.14．【解析】生活中物体是圆形的有：车轮的形状，转盘的形状及圆桌的面等等；分别测出它们的直径和周长，用周长除以直径求出比值完成下表．解：填表如下：圆形物体名称直径周长周长与直径的比值车轮 4分米 12.55分米 3.14转盘 3分米 9.43分米 3.14发现：圆的周长与直径的比值是3.14；故答案为：圆的周长与直径的比值是3.14．点评：本题主要考查的是通过实际的操作，测量，得出圆的周长与直径的关系．14.下面哪些图形是围成的图形？（在是围成的图形下面画“√”）【答案】如图【解析】由线段或曲线顺次连接所围成的封闭图形，即为围成的图形，据此即可判断．解：据分析解答如下：点评：解：解答此题的主要依据是：由线段或曲线顺次连接所围成的封闭图形15.用圆规画一个直径为4cm的圆，并标出圆心，半径和直径．【答案】如图【解析】由题意知，要画一个直径是4厘米的圆，首先确定圆的半径为4÷2=2厘米，再依据画圆的方法画一个圆，并用字母标出它的圆心O、半径r和直径d即可．解：半径为：4÷2=2（厘米），如图所示：点评：解答此题要明确半径是1.5厘米，即画圆时圆规两脚叉开的距离为1.5厘米．16.以点O为圆心，画两个d为4cm，r为3cm的两个同心圆．【答案】如图【解析】分别以点O为圆心，以4÷2=2厘米和3厘米为半径，即可画出符合要求的圆．解：据分析画图如下：点评：此题主要考查圆的基本画法，即确定好了圆心的位置和半径的大小，即可画圆．17.用下面的线段作直径画圆．【答案】如图【解析】以线段的中点为圆心，以线段的长度为直径，即可画出这个圆．解：以线段的中点O为圆心，以线段的长度为直径，即可画出这个圆，如图所示；点评：此题考查了画圆的两大要素是：圆心与半径．18.在下面的线段上画两个半径为1厘米的圆，并使两个圆心相距为2厘米．【答案】如图【解析】在线段上截取2厘米的线段，分别以线段的两个端点为圆心，以1厘米为半径，即可画出符合要求的圆．解：画圆如下：点评：确定好了圆心的位置，以及半径的大小，即可画圆．19.以点A为圆心画一个d为4cm的圆．【答案】如图【解析】依据圆的画法可知：以点O为圆心，以4÷2=2厘米的线段为半径即可画出符合要求的圆．解：以任意点O为圆心，以4÷2=2厘米的线段为半径画圆，画出符合题意的圆如下图所示：点评：此题主要考查圆的基本画法．20.（1）在如图中分别描出下列各点．A（2，7）B（8.7）C（8.1）D （2.1）（2）按顺序依次连成封闭图形．（3）在连接的图形里面两出一个最大的圆．给圆涂上阴影，（4）计算这个圆的面积是多少？（1小格边长1cm）【答案】如图，面积是28.26平方厘米【解析】（1）数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此在平面图中标出各点的位置；（2）依次连接四个顶点得到的封闭图形是一个正方形；（3）正方形内最大的圆的直径等于这个正方形的边长6厘米，所以圆的半径是6÷2=3厘米，据此以正方形的中心为圆心，以3厘米为半径画圆；（4）利用圆的面积公式计算即可解答．解：（1）（2）（3）根据题干分析，在平面图中标出各点并连接起来得出正方形ABCD，并画出这个正方形内最大的圆，如下图所示：（4）这个圆的面积是：3.14×（6÷2）2，=3.14×9，=28.26（平方厘米），答：这个圆的面积是28.26平方厘米．点评：此题是考查了数对表示位置的方法正方形内最大的圆的特点以及圆的面积公式的计算应用，是基础题目．21.下面是正方形，在它的内部画一个最大的圆．【答案】如图【解析】正方形内最大的圆，直径等于正方形的边长，由此即可解决问题．解：作图如下所示．点评：抓住最大圆的直径与正方形的边长相等解决问题．22.画一个半径1.5厘米的圆，标出圆心O和半径r．【答案】如图【解析】画一条长1.5厘米的线段，以这条线段的一个端点为圆心，以圆规的另一个脚到线段另一个端点的长为半径画圆即可．解：根据分析画图如下：点评：本题考查了学生画圆的作图能力．23.画一个直径3厘米的圆，并画出互相垂直的直径．【答案】如图【解析】根据圆中半径和直径的关系，即d=2r，先求出半径，然后画出圆即可．解：以任意一点为圆心，以3÷2=1.5厘米为半径，即可画出符合要求的圆，再画出两条互相垂直的直径，如下图所示：．点评：此类题只要先根据圆中直径和半径的关系，求出半径，然后根据半径即可画出圆．24.以O点为圆心，画一个直径是4厘米的圆和一条半径r．【答案】如图【解析】画圆时固定的一点叫做圆心，圆心决定圆的位置，从圆心到圆上任意一点的线段叫做半径，半径决定圆的大小；由此画圆．解：以点O为圆心，以半径为4÷2=2厘米画圆即可．点评：此题主要考查圆的画法，明确半径决定圆的大小，圆心决定圆的位置．25.在图中先找出圆心O（5，3）的位置，再画半径长度是三格的圆，并画出圆互相垂直的一条半径和一条直径．【答案】如图【解析】根据题意，可利用数对与位置确定圆的位置，然后再取3格的长度进行作圆，最后再通过圆心作一条直径和半径，且直径垂直于半径即可．解：作图如下：点评：解答此题的关键是确定圆心的位置，然后再作圆，根据垂直的含义作要求的直径和半径即可．26.操作题．（1）在图中分别描出下面各点．A（3，8）B（8，8）C（8，3）D（3，3）（2）按顺序连接A、B、C、D、A．（3）在连接的图形中画出一个最大的半圆．（4）计算出这个半圆的周长和面积．【答案】如图，周长是12.85cm，面积是9.8125cm2【解析】（1）数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此即可描出各点的位置；（2）按要求作图即可；（3）圆或半圆的大小是由半径的大小决定的．由上一问可知，连接而成的图形是一个正方形，在正方形内画一个最大的半圆，只要以正方形的边长为直径画圆即可；（3）半圆的周长=πr+2r；半圆的面积=πr2÷2，据此计算即可解答．解：（1）（2）（3）根据题干分析画图如下：（4）观察图形可知，每一格的长度是1cm，则半圆的直径就是5cm，半径是2.5cm，所以半圆的周长是：3.14×5÷2+5，=7.85+5，=12.85（cm），面积是：3.14×2.52÷2，=3.14×6.25÷2，=9.8125（cm2），答：这个半圆的周长是12.85cm，面积是9.8125cm2．点评：此题主要考查数对表示位置的方法以及正方形内最大的半圆的特点和半圆的周长、面积公式的计算方法．27.（1）在下面的方格图（每个方格的边长表示1厘米）中画一个圆，圆心o的位置是（3，4），圆的半径是2厘米．（2）画出把这个圆向右移动四格后的图形，圆心的位置是．（3）画出移动后图形与原图形所组成图形的所有对称轴．【答案】如图，7、4【解析】（1）先确定圆心的位置，再画出半径是2厘米的圆；（2）将圆心的位置相右移动四个格子，为（7，4），再以此点为圆心，画出半径是2厘米的圆；（3）根据对称图形的特点，画出两个圆的对称轴即可．解：如下图：故答案为：7、4．点评：本题主要考查了画圆及做平移后的图形与画出两个图形的对称轴．28.按要求进行以下操作：①先在右面的正方形中画一个最大的圆．②度量有关数据，求出这个圆的面积．③画出这个图形所有的对称轴．【答案】如图，面积为19.625平方厘米【解析】①要在正方形中画一个最大的圆，可先测量出正方形的边长即圆的直径是多少，再连接正方形的两条对角线，以对角线的交点O为圆心、以测量的直径的一半为半径画圆即可；②直接利用圆面积公式S=πr2解答即可；③由于正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴，所以这个组合图形共有4条对称轴，据此画出即可．解：①连接正方形的两条对角线，以对角线的交点O为圆心、以测量的直径的一半为半径画圆，如下图；②测量得出圆的直径是5厘米，则半径为2.5厘米，面积：3.14×2.52=19.625（平方厘米）；③正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴，所以这个组合图形共有4条对称轴，如下图：点评：解答此题要注意两点：①以对角线的交点为圆心来画圆，②该组合图形的对称轴只有4条．29.用圆规画一个直径为4厘米的圆．【答案】如图【解析】先确定圆心，用圆规有针的一脚固定在圆心，然后以圆规两脚之间的距离为4÷2=2厘米进行旋转一周，得到的图形就是我们要画的圆．解：先确定圆心，用圆规有针的一脚固定在圆心，然后以圆规两脚之间的距离为4÷2=2厘米进行旋转一周，如下图所示：点评：此题考查了用圆规画圆的方法．30.下面每个小方格表示1平方厘米，按要求在方格纸上画出半径为3厘米的圆．【答案】如图【解析】画圆的两大要素是圆心与半径，据此以点O为圆心，以3厘米长为半径画圆即可．解：根据题干分析画图如下：点评：此题主要考查圆的画法．31.画一个半径是4厘米的半圆，再计算它的周长和面积．【答案】如图，周长是20.56厘米，面积是25.12平方厘米【解析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此即可画出这个半圆，半圆的周长=πd+d；半圆的面积=πr2÷2，由此代入数据即可解答．解：以点O为圆心，以4厘米为半径画这个半圆如图所示：所以这个半圆的周长是：3.14×4×2÷2+4×2，=12.56+8，=20.56（厘米）；半圆的面积是：3.14×42÷2，=3.14×16÷2，=25.12（平方厘米）；答：这个半圆的周长是20.56厘米，面积是25.12平方厘米．点评：此题考查了半圆的画法以及半圆的周长和面积的计算方法．32.在左边长为4厘米的正方形里画一个最大的圆．要求：①要标明圆心．②要标明半径是多少．③要计算出这个圆周长是多少厘米．周长厘米．【答案】如图，周长12.56厘米【解析】要画的圆的圆心在正方形的对角线的交点上，半径为正方形的边长的一半，然后利用圆的周长公式c=πd计算周长即可．解：圆的周长C=πd=3.14×4=12.56（厘米）．故答案为：12.56．点评：此题考查画指定的圆以及圆的周长的计算方法，要明确正方形内最大的圆的直径就是正方形的边长．33.画一个直径是6厘米的圆并计算它的周长和面积．【答案】如图，周长是18.84厘米，面积是28.26平方厘米【解析】直径已知，于是可以依据d=2r，求出半径的长度，再以任意一点为圆心，即可画出这个圆；利用圆的周长C=πd，面积S=πr2即可分别求出再过圆的周长和面积．解：6÷2=3（厘米），所画圆如下图所示：；圆的周长：3.14×6=18.84（厘米）；圆的面积：3.14×32=28.26（平方厘米）；答：圆的周长是18.84厘米，面积是28.26平方厘米．点评：确定好圆心的位置和半径的长度就能画出符合要求的圆，再利用圆的周长和面积公式即可求其周长和面积．34.已知d=3厘米，以o为圆心画一个圆．【答案】如图【解析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此以点O为圆心，以3÷2=1.5厘米为半径画圆即可．解：以点O为圆心，以3÷2=1.5厘米为半径画圆，如图所示：点评：此题考查了利用圆的两大要素：圆心与半径画圆的方法．35.某家具厂要在一块边长2米的正方形木板上，锯一个最大的圆板用来做餐桌面，请画出这个圆形餐桌面示意图并求出面积．你知道为什么设计成圆形桌面吗？【答案】如图，面积是3.14平方米，在同样的周长条件下（可以坐同样多的人），圆的面积最大（可以摆放最多的菜），并且桌边任意一点到桌子中心的距离相等．【解析】（1）根据正方形内最大圆的特点可知：这个最大的桌面是以正方形木板的中心为圆心，以正方形的边长2米为直径的圆，由此即可画出这个圆形桌面示意图，并利用圆的面积公式求出它的面积即可．（2）利用圆的性质，桌边任意一点到桌子中心的距离相等．解：（1）以正方形木板的中心为圆心，以正方形的边长2米为直径的圆，画出这个圆形桌面示意图如下：则这个桌面的面积是：3.14×=3.14（平方米），答：这个桌面的面积是3.14平方米．（2）在同样的周长条件下（可以坐同样多的人），圆的面积最大（可以摆放最多的菜），并且桌边任意一点到桌子中心的距离相等．点评：此题考查了圆的画法以及圆的面积=πr2的计算应用．36.根据要求操作．（1）在方格图中（每个方格的边长表示1厘米）画一个圆，圆心O的位置是（5，3）圆的半径是3厘米．（2）在圆里画一条直径，使直径的一个端点在（8，x）处，这条直径的两个端点用数对表示为、．（3）求出这个圆的面积．【答案】（1）如图，（2）（8，3），（2，3）（3）面积是28.26平方厘米【解析】（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此以点O（5，3）为圆心，以3厘米为半径即可在平面图中画出这个圆；（2）根据数对表示位置的方法可知：（8，x）是圆与第8列纵轴的切点，由此即可画出这个圆的符合题意的直径，观察图可知表示两个端点的数对；（3）根据圆的面积=πr2，代入数据即可解答．解：（1）以点O（5，3）为圆心，以3厘米为半径即可在方格图中画出这个圆，如图所示：（2）观察上图可知，直径的一个端点是（8，3），一个端点是（2，3），由此即可画出这条直径如下图所示；（3）圆的面积是：3.14×32=3.14×9=28.26（平方厘米），答：这个圆的周长是18.84厘米，面积是28.26平方厘米．点评：此题考查了数对表示位置的方法的灵活应用以及圆的画法和圆的面积公式的计算应用．37.画一个直径4厘米的圆，并在这个圆上画出它的一条对称轴．求这个圆的面积．【答案】如图，面积是12.56平方厘米【解析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．然后利用圆的面积公式即可求得它的面积．解：根据圆的画法可以画出直径为4厘米的圆，圆的对称轴是经过圆心的直线，有无数条，并画出它的一条对称轴，如图：3.14×，=3.14×4，=12.56（平方厘米），答：这个圆的面积是12.56平方厘米．点评：此题考查了圆的画法以及圆的面积公式的应用．38.（2012•哈尔滨模拟）按要求画图：（1）把三角形ABC向右平移5格，新的三角形3个顶点分别用A1、B1和C1表示．（2）以A1为圆心，以A1C1半径，画一个圆．【答案】如图【解析】（1）找出三角形的三个顶点A、B、C，然后向右数出5格，表出三角形的三个顶点的对应点，然后连接画出平移的三角形，最后标上用A1、B1和C1；（2）找出顶点A1定位圆心，然后以以A1C1半径，画一个圆即可．解：画图如下：点评：本题主要考查图形的平移和画圆，注意平移要找出对应点和平移的格数，画圆要找准圆心和半径．39.按要求作图、填空．（如图：o为圆心．A为圆周上一点）（1）以A点为圆心，画一个与已知圆同样大小的圆．（2）画出这两个圆所组成的图形的所有对称轴．【答案】如图【解析】（1）圆的两大要素是：圆心与半径，由此以点A为圆心，以OA长度为半径画圆；（2）根据轴对称图形的定义可知：这两个圆所组成的图形的对称轴有2条，分别是经过圆心O、A的直线和两个圆的公共弦所在的直线；解：（1）由此以点A为圆心，以OA长度1.5厘米为半径画圆，如图所示；（2）这两个圆所组成的图形的对称轴有2条，分别是经过圆心O、A的直线和两个圆的公共弦所在的直线，在图中画出来如下图所示；．点评：此题考查了圆的画法以及利用轴对称图形的定义确定组合图形的对称轴的方法的灵活应用．40.画一画．（1）在正方形中画一个最大圆．（2）在圆中画一个最大正方形．【答案】如图【解析】（1）正方形内最大的圆，直径等于正方形的边长，先连接两条对角线得到圆心，再以正方形的边长的一半为半径画圆，由此即可解决问题．（2）由题意可知：这个最大正方形的对角线应等于圆的直径，因此可以画两条互相垂直的直径，依次连接两条直径的4个端点，即可完成作图．解：（1）由分析作图如下所示：（2）如图所示，即为所要求画的正方形：点评：（1）问抓住最大圆的直径与正方形的边长相等解决问题．（2）问解答的关键是明白：这个最大正方形的对角线应等于圆的直径，据此即可画出符合要求的正方形．41.画一个周长9.42厘米的圆，并标出圆心及半径．①量一量：图中小玲家到学校的距离 cm；小玲家到体育馆的距离cm；②小玲家到学校的实际距离，小玲从学校到体育馆，每分钟步行100米，应花分钟．【答案】2，4，40，1.2【解析】（1）根据圆的周长公式，先求出圆的半径，再画圆．（2）①用直尺量出图上距离，②根据实际距离=图上距离÷比例尺，求出实际距离，再用从学校到体育馆的实际距离除以小玲的步行速度．就是应花的时间．据此解答．解：（1）圆的半径是：9.42÷3.14÷2，=3÷2，=1.5（厘米），画图如下：（2）①量得图中小玲家到学校的距离2cm；小玲家到体育馆的距离4cm，②小玲家到学校的实际距离：2÷=4000（厘米）=40米，小玲到体育馆的实际距离：4=8000（厘米）=80米，（40+80）÷100，=120÷100，=1.2（分钟）．答：应花1.2分钟．故答案为：2，4，40，1.2．点评：本题主要考查了学生通过测量，然后计算的能力．42.画一个周长为12.56厘米的圆．并用字母标出圆心，半径和直径．【答案】如图【解析】要画出圆，必须求出半径；根据圆的周长计算公式“c=2πr”，得出r=c÷π÷2，代入数值，求出半径，然后画圆即可．解：12.56÷3.14÷2=2（厘米）；作图如下：点评：此题做题的关键是先求出半径，根据圆的周长、半径的关系，求出即可．43.（2009•游仙区模拟）按要求作图并填空．（如图：O为圆心，A为圆周上一点．）。

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．圆的面积2πr =；扇形的面积2π360nr =⨯；圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360nr =⨯．一、跟曲线有关的图形元素：①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n．比如：扇形的面积=所在圆的面积360n⨯；扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n⨯扇形的周长=所在圆的周长360n⨯+2⨯半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)③”弯角”：如图：弯角的面积=正方形-扇形④”谷子”：如图：“谷子”的面积=弓形面积2⨯二、常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块一 平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用【例 1】 下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？例题精讲圆与扇形【解析】 割补法．如右图，格线部分的面积是36平方厘米．【巩固】下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？【解析】 割补法．如右图，格线部分的面积是36平方厘米．【例 2】 如图，在18⨯8的方格纸上，画有1，9，9，8四个数字．那么，图中的阴影面积占整个方格纸面积的几分之几？【解析】 我们数出阴影部分中完整的小正方形有8+15+15+16=54个，其中部分有6+6+8=20个，部分有6+6+8=20(个)，而1个 和1个 正好组成一个完整的小正方形，所以阴影部分共包含54+20=74(个)完整小正方形，而整个方格纸包含8⨯18=144(个)完整小正方形．所以图中阴影面积占整个方格纸面积的74144，即3772．【巩固】在4×7的方格纸板上面有如阴影所示的”6”字，阴影边缘是线段或圆弧．问阴影面积占纸板面积的几分之几？【解析】 矩形纸板共28个小正方格，其中弧线都是14圆周，非阴影部分有3个完整的小正方形，其余部分可拼成6个小正方格．因此阴影部分共28－6－3=19个小正方格．所以，阴影面积占纸板面积的1928．【例 3】 (2019年西城实验考题)在一个边长为2厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的面积为 平方厘米．【解析】 采用割补法．如果将阴影半圆中的2个弓形移到下面的等腰直角三角形中，那么就形成两个相同的等腰直角三角形，所以阴影部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积和，即正方形面积的一半，所以阴影部分的面积等于21222⨯=平方厘米．【巩固】如图，在一个边长为4的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆．求阴影部分的面积．【解析】 阴影部分经过切割平移变成了一个面积为正方形一半的长方形，则阴影部分面积为 4428⨯÷=．【例 4】 (人大附中分班考试题)如图，正方形边长为1，正方形的4个顶点和4条边分别为4个圆的圆心和半径，求阴影部分面积．(π取3.14)【解析】 把中间正方形里面的4个小阴影向外平移，得到如右图所示的图形，可见，阴影部分的面积等于四个正方形面积与四个90︒的扇形的面积之和，所以，221444441π14π7.14S S S S S =⨯+⨯=⨯+=⨯+⨯=+=圆阴影圆．【例 5】 图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？【解析】 如下图所示：可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正方形，每个正方形的面积为11240.542⨯÷⨯=⨯=（）（平方厘米），所以阴影部分的总面积为248⨯=（平方厘米）．【巩固】如图所示，四个全等的圆每个半径均为2m，阴影部分的面积是．或【解析】我们虽没有学过圆或者圆弧的面积公式，但做一定的割补后我们发现其实我们并不需要知道这些公式也可以求出阴影部分面积．如图，割补后阴影部分的面积与正方形的面积相等，等于222216m⨯=（）（）．【例6】如右图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．则花瓣图形的面积是多少平方厘米？ (π取3)【解析】本题直接计算不方便，可以利用分割移动凑成规则图形来求解．如右上图，连接顶角上的4个圆心，可得到一个边长为4的正方形．可以看出，与原图相比，正方形的每一条边上都多了一个半圆，所以可以把原花瓣图形的每个角上分割出一个半圆来补在这些地方，这样得到一个正方形，还剩下4个14圆，合起来恰好是一个圆，所以花瓣图形的面积为224π119+⨯=(平方厘米)．【总结】在求不规则图形的面积时，我们一般要对原图进行切割、移动、补齐，使原图变成一个规则的图形，从而利用面积公式进行求解．这个切割、移动、补齐的过程实际上是整个解题过程的关键，我们需要多多练习，这样才能快速找到切割拼补的方法、【例7】如图中三个圆的半径都是5cm，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆周率取3.14)【解析】将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为255 3.14239.25(cm)⨯⨯÷=【巩固】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为1S，空白部分面积为2S，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)【解析】 如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形．设大圆半径为r ，则222S r =，221π2S r r =-，所以()12: 3.142:257:100S S =-=．移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．【例 8】 计算图中阴影部分的面积(单位：分米)．A A【解析】 将右边的扇形向左平移，如图所示．两个阴影部分拼成—个直角梯形． ()5105275237.5+⨯÷=÷=(平方分米)．【巩固】如图，阴影部分的面积是多少？224【解析】 首先观察阴影部分，我们发现阴影部分形如一个号角，但是我们并没有学习过如何求号角的面积，那么我们要怎么办呢？阴影部分我们找不到出路，那么我们不妨考虑下除了阴影部分之外的部分吧！观察发现，阴影部分左侧是一个扇形，而阴影部分右边的空白部分恰好与左边的扇形构成一个边长为4的正方形，那么阴影部分的面积就等于大的矩形面积减去正方形面积．则阴影部分面积(222)4(22)48++⨯-+⨯=【例 9】 请计算图中阴影部分的面积．【解析】 法一：为了求得阴影部分的面积，可以从下图的整体面积中扣掉一个圆的面积，就是要求的面积了．=-要扣掉圆的面积，如果按照下图把圆切成两半后，从两端去扣掉也是一样．如此一来，就会出现一个长方形的面积．半圆半圆-=因此，所求的面积为210330cm ⨯=（）．法二：由于原来的月牙形很难直接计算，我们可以尝试构造下面的辅助图形：如左上图所示，我们也可以这样来思考，让图形往右侧平移3cm 就会得到右上图中的组合图形，而这个组合图形中右端的月牙形正是我们要求的面积．显然图中右侧延伸出了多少面积，左侧就会缩进多少面积．因此，所求的面积是210330cm ⨯=（）．【例 10】 求图中阴影部分的面积．12CB12CB【解析】 如图，连接BD ，可知阴影部分的面积与三角形BCD 的面积相等，即为1112123622⨯⨯⨯=．【例 11】 求如图中阴影部分的面积．(圆周率取3.14)【解析】 可将左下橄榄型的阴影部分剖开，两部分分别顺逆时针90︒，则阴影部分转化为四分之一圆减去一个等腰直角三角形，所以阴影部分的面积为211π444 4.5642⨯⨯-⨯⨯=．【巩固】如图，四分之一大圆的半径为7，求阴影部分的面积，其中圆周率π取近似值227．【解析】 原题图中的左边部分可以割补至如右上图位置，这样只用先求出四分之一大圆的面积，再减去其内的等腰直角三角形面积即为所求．因为四分之一大圆的半径为7，所以其面积为： 2211227π738.5447⨯⨯≈⨯⨯=． 四分之一大圆内的等腰直角三角形ABC 的面积为17724.52⨯⨯=，所以阴影部分的面积为38.524.514-=．【例 12】 求下列各图中阴影部分的面积．(1)1010(2)ba【解析】 在图(1)中，阴影部分经过切割平移变成了一个底为10，高为5的三角形，利用三角形面积公式可以求得110102522S =⨯⨯=阴影；在图(2)中，阴影部分经过切割平移变成了一个长为b ，宽为a 的长方形，利用长方形面积公式可以求得S a b ab =⨯=阴影．【巩固】求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为cm ，圆周率按3计算)：⑴3⑵4⑶111⑷2⑸2⑹【解析】 ⑴4.5 ⑵4 ⑶1 ⑷2 ⑸1.5 ⑹4.5【例 13】 如图，ABCD 是正方形，且1FA AD D E ===，求阴影部分的面积．(取π3=)【解析】 方法一：两个分割开的阴影部分给我们求面积造成了很大的麻烦，那么我们把它们通过切割、移动、补齐，使两块阴影部分连接在一起，这个时候我们再来考虑，可能会有新的发现． 由于对称性，我们可以发现，弓形BMF 的面积和弓形BND 的面积是相等的，因此，阴影部分面积就等于不规则图形BDWC 的面积．因为ABCD 是正方形，且F A =AD =DE =1，则有CD =DE ．那么四边形BDEC 为平行四边形，且∠E =45°．我们再在平行四边形BDEC 中来讨论，可以发现不规则图形BDWC 和扇形WDE 共同构成这个平行四边形，由此，我们可以知道阴影部分面积=平行四边形BDEC -扇形DEW 245511π13608=⨯-⨯⨯=．方法二：先看总的面积为14的圆，加上一个正方形，加上一个等腰直角三角形，在则阴影面积为总面积扣除一个等腰直角三角形，一个14圆，一个45︒的扇形．那么最终效果等于一个正方形扣除一个45︒的扇形．面积为215113188⨯-⨯⨯=．【巩固】求图中阴影部分的面积(单位：cm )．2【解析】 从图中可以看出，两部分阴影的面积之和恰好是梯形的面积，所以阴影部分面积为21(24)39cm 2⨯+⨯=．【例 14】 如图，长方形ABCD 的长是8cm ，则阴影部分的面积是 2cm ．(π 3.14=)【解析】 阴影部分的面积实际上是右上图阴影部分面积的一半，所以求出右上图中阴影部分面积再除以2即可．长方形的长等于两个圆直径，宽等于1个圆直径，所以右图的阴影部分的面积等于：()2882822π2 6.88⨯÷-÷÷⨯⨯=所以左图阴影部分的面积等于6.882 3.44÷=平方厘米．【例 15】 (2019年西城实验期末考试题)如图所示，在半径为4cm 的图中有两条互相垂直的线段，阴影部分面积A 与其它部分面积B 之差(大减小)是 2cm ．【解析】 如图，将圆对称分割后，B 与A 中的部分区域能对应，B 仅比A 少了一块矩形，所以两部分的面积差为：()()222128cm ⨯⨯⨯=．【巩固】一块圆形稀有金属板平分给甲、乙二人．但此金属板事先已被两条互相垂直的弦切割成如图所示尺寸的四块．现甲取②、③两块，乙取①、④两块．如果这种金属板每平方厘米价值1000元，问：甲应偿付给乙多少元？5cm 7.5cm3cm 2cm ④③②①【解析】 如右上图所示，④的面积与Ⅰ的面积相等，①的面积等于②与Ⅱ的面积之和．可见甲比乙多拿的部分为中间的长方形，所以甲比乙多拿的面积为：2537.522 5.511cm -⨯-=⨯=（）（）（），而原本应是两人平分，所以甲应付给乙：11100055002⨯=(元)．【例16】求右图中阴影部分的面积．(π取3)【解析】看到这道题，一下就会知道解决方法就是求出空白部分的面积，再通过作差来求出阴影部分面积，因为阴影部分非常不规则，无法入手．这样，平移和旋转就成了我们首选的方法．(法1)我们只用将两个半径为10厘米的四分之一圆减去空白的①、②部分面积之和即可，其中①、②面积相等．易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角边AB的长度未知．单独求①部分面积不易，于是我们将①、②部分平移至一起，如右下图所示，则①、②部分变为一个以AC 为直角边的等腰直角三角形，而AC为四分之一圆的半径，所以有AC=10．两个四分之一圆的面积和为150，而①、②部分的面积和为11010502⨯⨯=，所以阴影部分的面积为15050100-=(平方厘米)．(法2)欲求图①中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从而构成如右图②的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积．所以阴影部分面积为21110101010022π⨯⨯-⨯⨯=(平方厘米)．A【例17】(第四届走美决赛试题)如图，边长为3的两个正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC 为边向内侧作等边三角形，分别以B、C为圆心，BK、CK为半径画弧．求阴影部分面积．(π 3.14=)EE【解析】 根据题意可知扇形的半径r 恰是正方形的对角线，所以223218r =⨯=，如右图将左边的阴影翻转右边阴影下部，S S S =-阴影扇形柳叶1118π2(18π33)34=⨯-⨯-⨯183π8.58=-=板块二 曲线型面积计算【例 18】 如图，已知扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的34倍，则角CAB 的度数是________． DCBA【解析】 设半圆ADB 的半径为1，则半圆面积为21ππ122⨯=，扇形BAC 的面积为π42π233⨯=．因为扇形BAC的面积为2π360n r ⨯，所以，22ππ23603n ⨯⨯=，得到60n =，即角CAB 的度数是60度．【例 19】 如下图，直角三角形ABC 的两条直角边分别长6和7，分别以,B C 为圆心，2为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是17，那么角A 是多少度(π3=)【解析】 167212ABC S =⨯⨯=△,三角形ABC 内两扇形面积和为21174-=，根据扇形面积公式两扇形面积和为2π24360B C∠+∠⨯⨯=°,所以120B C ∠+∠=°,60A ∠=°.【例 20】 如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的415，是小圆面积的35．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？【解析】 小圆的面积为2π525π⨯=，则大小圆相交部分面积为325π15π5⨯=,那么大圆的面积为422515ππ154÷=，而2251515422=⨯，所以大圆半径为7.5厘米．【例 21】 有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少厘米？(π取3)CBA【解析】 由右图知，绳长等于6个线段AB 与6个BC 弧长之和．将图中与BC 弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补，可得到6个角的和是360︒， 所以BC 弧所对的圆心角是60︒，6个BC 弧合起来等于直径5厘米的圆的周长． 而线段AB 等于塑料管的直径，由此知绳长为：565π45⨯+=(厘米)．【例 22】 如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧，请问：中间阴影部分的周长是多少？(π 3.14=)【解析】 如图，点C 是在以B 为中心的扇形上，所以AB CB =，同理CB AC =，则ABC ∆是正三角形，同理，有CDE ∆是正三角形．有60ACB ECD ∠=∠=，正五边形的一个内角是1803605108-÷=，因此60210812ECA ∠=⨯-=，也就是说圆弧AE 的长度是半径为12厘米的圆周的一部分，这样相同的圆弧有5个，所以中间阴影部分的周长是()122 3.1412512.56cm 360⨯⨯⨯⨯=．【例 23】 如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积________灰色部分面积．【解析】 图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的14，则4个小圆的面积之和等于大圆的面积．而4个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等．【例 24】 如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为1S ，空白部分面积为2S ，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)【解析】 如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形．设大圆半径为r ，则222S r =，2212S r r π=-，所以()12: 3.142:257:100S S =-=．移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．【例 25】 用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？【解析】 大圆直径是小圆的3倍，半径也是3倍，小圆面积∶大圆面积22π:π1:9r R ==，小圆面积13649=⨯=，7个小圆总面积4728=⨯=，边角料面积36288=-=(平方厘米)．【例 26】 如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．【解析】 由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形．由右图可见，阴影部分面积等于16大圆面积减去一个小圆面积，再加上120︒的小扇形面积(即13小圆面积)，所以相当于16大圆面积减去23小圆面积．而大圆的半径为小圆的3倍，所以其面积为小圆的239=倍，那么阴影部分面积为21259π1π 2.5636⎛⎫⨯-⨯⨯== ⎪⎝⎭．【例 27】 如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形．(圆周率取3.14)CA【解析】 所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知，现在关键是小扇形面积如何求，有扇形面积公式2π360n R S =扇．可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60°，那么120AOC ∠=︒，又知四边形A B C O 是平行四边形，所以120ABC ∠=︒，这样就可求出扇形的面积和为21206π10628360⨯⨯⨯=(平方厘米)，阴影部分的面积1040628412=-=(平方厘米)．【例 28】 (09年第十四届华杯赛初赛)如下图所示，AB 是半圆的直径，O 是圆心，AC CD DB ==，M 是CD 的中点，H 是弦CD 的中点．若N 是OB 上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米．【解析】 如下图所示，连接OC 、OD 、OH ．本题中由于C 、D 是半圆的两个三等分点，M 是CD 的中点，H 是弦CD 的中点，可见这个图形是对称的，由对称性可知CD 与AB 平行．由此可得CHN ∆的面积与CHO ∆的面积相等，所以阴影部分面积等于扇形COD 面积的一半，而扇形COD 的面积又等于半圆面积的13，所以阴影部分面积等于半圆面积的16，为11226⨯=平方厘米．【巩固】如图，C 、D 是以AB 为直径的半圆的三等分点，O 是圆心，且半径为6．求图中阴影部分的面积．【解析】如图，连接OC、OD、CD．由于C、D是半圆的三等分点，所以AOC∆和COD∆都是正三角形，那么CD与AO是平行的．所以ACD∆的面积与OCD∆的面积相等，那么阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，为21π618.846⨯⨯=．【例29】如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部分的面积之差．(π取3)O【解析】本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分别求出两块阴影部分的面积，再计算它们的差，但是这样较为繁琐．由于是要求面积之差，可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同的图形，再求剩余图形的面积．如右图所示，可知弓形BC或CD均与弓形AB相同，所以不妨割去弓形BC．剩下的图形中，容易看出来AB与CD是平行的，所以BCD∆与ACD∆的面积相等，所以剩余图形的面积与扇形ACD的面积相等，而扇形ACD的面积为260π10.5360⨯⨯=，所以图中两块阴影部分的面积之差为0.5．【例30】如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14)AFEAFE【解析】方法一：设小正方形的边长为a，则三角形ABF与梯形ABCD的面积均为()122a a+⨯÷．阴影部分为：大正方形+梯形-三角形ABF-右上角不规则部分=大正方形-右上角不规则部分=14圆．因此阴影部分面积为：3.1412124113.04⨯⨯÷=．方法二：连接AC、DF，设AF与CD的交点为M，由于四边形ACDF是梯形，根据梯形蝴蝶定理有ADM CMFS S=△△，所以DCFS S=阴影扇形3.1412124113.04=⨯⨯÷=【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积．(π取3)【解析】 (法1)观察可知阴影部分面积等于三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积，那么求出月牙BCD 的面积就成了解题的关键．月牙BCD 的面积为正方形BCDE 的面积减去四分之一圆：166π6694⨯-⨯⨯⨯=；则阴影部分的面积为三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积，为：()110669392S =⨯+⨯-=阴影．(法2)观察可知AF 和BD 是平行的，于是连接AF 、BD 、DF ． 则ABD ∆与BDF ∆面积相等，那么阴影部分面积等于BDF ∆与小弓形的面积之和，也就等于DEF ∆与扇形BED 的面积之和，为：211(106)6π63924-⨯⨯+⨯⨯=．【例 31】 如图，ABC 是等腰直角三角形，D 是半圆周的中点，BC 是半圆的直径．已知10AB BC ==，那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)DD【解析】 连接PD 、AP 、BD ，如图，PD 平行于AB ，则在梯形ABDP 中，对角线交于M 点，那么ABD ∆与ABP ∆面积相等，则阴影部分的面积转化为ABP ∆与圆内的小弓形的面积和． ABP ∆的面积为：()10102225⨯÷÷=；弓形面积： 3.145545527.125⨯⨯÷-⨯÷=； 阴影部分面积为：257.12532.125+=．【例 32】 图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，按图中所给长度阴影部分面积为 ；(π3.14=)A【解析】 连接小正方形AC ,有图可见 ACD ABC S S S S =+-△△阴影扇形∵211144222AC ⨯=⨯⨯ ∴232AC =同理272CE =，∴48AC CE ⨯=∴148242ACD S =⨯=△290π412.56360S =⨯=扇形，14482ABC S =⨯⨯=△ ∴2412.56828.56S =+-=阴影【例 33】 如图，图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的6条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？【解析】 假设最小圆的半径为r ，则三种半圆曲线的半径分别为4r ，3r 和r ．阴影部分的面积为：()()22222111π4π3ππ5π222r r r r r -++=，空白部分的面积为：()222π45π11πr r r -=，则阴影部分面积与空白部分面积的比为5:11．【例 34】 (2019年西城实验考题)奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直径为8厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．(π 3.14=)【解析】 ⑴每个圆环的面积为：22π4π37π21.98⨯-⨯==(平方厘米)；⑵五个圆环的面积和为：21.985109.9⨯=(平方厘米)； ⑶八个阴影的面积为：109.977.132.8-=(平方厘米)； ⑷每个阴影的面积为：32.88 4.1÷=(平方厘米)．【例 35】 已知正方形ABCD 的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线连擎起来得右图．那么，图中阴影部分的总面积等于______方厘米．(π 3.14=)【解析】39.25【例 36】 如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB 、BC 、CD 、DA 分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．(π取3)D CBAaDCBA a【解析】 这道题目是很常见的面积计算问题．阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了．如图，这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形，我们可以求得，()4S S S =⨯-阴影半圆三角形 21142222a a a π⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212a =【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为4厘米，分别以B 、D 为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆．求阴影部分面积．(π取3)D BA DB【解析】 由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积．解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分．则阴影部分的面积为=21π44482⋅⋅-⨯=；解法二：连接AC ，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积，所以阴影部分面积=212π444284⨯⋅⋅-⨯÷=（）．【例 37】 (2019年四中考题)已知三角形ABC 是直角三角形，4cm AC =，2cm BC =，求阴影部分的面积．【解析】 从图中可以看出，阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形ABC 的面积之差，所以阴影部分的面积为：2214121ππ42 2.5π4 3.8522222⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2cm )．【例 38】 （奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米.那么图中3个阴影部分的面积的和 是平方厘米.【解析】 根据容斥原理得1003242144S ⨯--⨯=阴影，所以100314424272S =⨯--⨯=阴影（平方厘米）【例 39】 (2019年国际小学数学竞赛)如图所示，ABCD 是一边长为4cm 的正方形，E 是AD 的中点，而F 是BC 的中点．以C 为圆心、半径为4cm 的四分之一圆的圆弧交EF 于G ，以F 为圆心、半径为2cm 的四分之一圆的圆弧交EF 于H 点，若图中1S 和2S 两块面积之差为2π(cm )m n -(其中m 、n 为正整数)，请问m n +之值为何？S 2S 1G HFE DCBAS图1S 2S 1G HF E DCB A【解析】 (法1)2248cm FCDES=⨯=，21π44π4BCD S =⨯⨯=扇形2(cm )，21π2π4BFH S =⨯⨯=扇形2(cm )，而124ππ8FCDE BCD BFH S S S S S -=--=--扇形扇形3π8=-2(cm )，所以3m =，8n =，3811m n +=+=．(法2)如右上图，1S S +=BFEA BFH S S -=扇形2422π48π⨯-⨯⨯÷=-2(cm )， 24444π4164πABCD BCD S S S S +=-=⨯-⨯⨯÷=-扇形2(cm )，所以，12(8π)(164π)3π8S S -=---=-2(cm )，故3811m n +=+=．【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．(圆周率取3.14)【解析】 我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形．则为：ππ4422423 3.148 1.4244⨯⨯-⨯⨯-⨯=⨯-=．【例 40】 如图，矩形ABCD 中，AB =6厘米，BC =4厘米，扇形ABE 半径AE =6厘米，扇形CBF 的半径CB =4厘米，求阴影部分的面积．(π取3)。

圆形与扇形的奥数练习以及答案圆形与扇形的奥数练习以及答案圆形与扇形的奥数练习题及答案参考1.扇形所在圆的半径是9dm,圆心角是120°,求它的周长2.已知扇形的外半径是12cm,内半径是6cm,圆心角是60°,求它的面积3.如图,△ABC的三条边长都是12cm,分别以A、B、C三点1.扇形所在圆的半径是9dm,圆心角是120°,求它的周长2.已知扇形的外半径是12cm,内半径是6cm,圆心角是60°,求它的面积3.ABC的.三条边长都是12cm,分别以A、B、C三点为圆心,12cm 为半径画弧,求三段弧长的和4.两个正方形边长分别是10厘米和6厘米,求阴影部分的面积n为圆心角的度数,R为圆的半径题1：L=2r+l=2r+(n/360°)2πR=9*2+(120°/360°)*2*3.14*9=36.84(dm)题2：S扇=(n/360)π(R-r)=(60°/360°)*3.14*(12-6)=56.52(cm)题3：L=3l=3*(n/360°)2πR=3*(60°/360°)*2*3.14*12=37.68(cm)题4：注,O为AD和EB的交点S阴影=S△AOB+S扇BDE-S△DOE因为,S△AOB与S△DOE是相似三角形所以,ED:AB=EO:BO=6:10=3:5因为,BE=6所以,EO=6*3/8=2.25,BO=6*5/8=3.75所以,S阴影=1/2*BO*AB+(90°/360°)*3.14*6-1/2*EO*ED =0.5*3.75*10+0.25*3.14*36-0.5*2.25*6=40.26(cm)以上就是为大家提供的圆形与扇形的奥数练习题及答案。

数学圆扇形圆环试题答案及解析1.用圆规画圆时，圆的周长是圆规两脚间距离的（）倍．A.2B.πC.2π【答案】C【解析】圆规两脚间的距离是圆的半径，因为圆的周长是它直径的π倍，所以圆的周长是圆规两脚间距离（半径）的2π倍；据此解答．解：2πr÷r=2π，答：用圆规画圆时，圆的周长是圆规两脚间距离的2π倍；故选：C．点评：此题应根据圆的周长和半径之间的关系进行解答．2.大圆周长和直径的比（）小圆周长和直径的比．A．大于B．小于C．等于D．不确定【答案】C【解析】根据圆周率的含义“圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率”可知：圆周率是定值，不随圆的大小的变化而变化；进而解答即可．解：根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率”可知：大圆的圆周率等于小圆的圆周率，即：大圆周长和直径的比等于小圆周长和直径的比；故选：C．点评：此题考查了圆周率的含义．3.第一个把圆周率的值精确到7位小数的人是中国伟大的数学家和天文学家（）A.刘微B.阿基米德C.祖冲之【答案】C【解析】祖冲之是世界上第一次把圆周率精确到小数点后第七位数字的人，比外国早了近一千年，他推算出圆周率的数值在3.1415926到3.1415927之间，也就是精确到小数点后第七位．解：第一个把圆周率的值精确到7位小数的人是中国伟大的数学家和天文学家祖冲之；故选：C．点评：此题考查关于圆周率的历史，让学生记住祖冲之这位了不起的数学大师，增强民族自豪感．4.（2010•泸县模拟）圆周率π（）3.14．A.大于B.等于C.小于【答案】A【解析】圆周率π是个固定的值，它是无限不循环小数，3.14是我们取的近似值．解：因为π=3.1415926…，所以π大于3.14；故选：A．点评：此题考查圆周率．5.（）确定圆的位置，（）确定圆的大小．A.直径B.半径C.圆心【答案】C B【解析】抓住圆规画圆的方法，即可得出圆的两大要素即：圆心和半径．解：由圆规画圆的方法可以得知，圆心可以确定圆的位置，半径决定圆的大小，半径越大，画出的圆就越大，故选：C，B．点评：此题考查了确定圆的位置和大小的两大要素即：圆心和半径．6.一个圆的周长与直径的比值等于（）A．3.14B．3C．πD．不确定【答案】C【解析】根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母“π”表示，π是一个无限不循环小数，近似值为3.14；进而得出结论．解：根据圆周率的含义可知：一个圆的周长与直径的比值等于π；故选：C．点评：此题考查了圆周率的含义．7.一张长方形纸板长12厘米，宽8厘米，在这张长方形纸板中剪一个最大的圆，这个圆的半径是（）厘米．A．8B．12C．6D．4【答案】D【解析】要求所画圆的半径，先应明确在此长方形中，画的圆最大是直径和长方形的宽相等，即直径等于8厘米，然后根据“半径=直径÷2”，代入计算得出；解：8÷2=4（厘米）；故选：D．点评：此类题解答时应明确：在长方形中画一个最大的圆，最大圆的直径等于长方形的宽．8.用圆规画一个周长是12.56厘米的圆，圆规两脚之间的距离是（）A．2厘米B．3厘米C．4厘米D．6厘米【答案】A【解析】求圆规两脚之间的距离，即求圆规的半径，根据“r=C÷π÷2”进行解答即可．解：12.56÷3.14÷2，=4÷2，=2（厘米）；答：圆规两脚之间的距离是2厘米；故选：A．点评：解答此题用到的知识点：圆的周长、半径和圆周率三者之间的关系．9.画一个长5厘米、宽3厘米的长方形，在它里面画一个面积最大的半圆．【答案】如图【解析】先画出一个长5厘米、宽3厘米的长方形；然后根据题干分析可得，这个长方形内最大的半圆的直径是5厘米，由此画出直径为5厘米的半圆即可．解：半径为：5÷2=2.5（厘米），如图：点评：此题考查了长方形内最大半圆的特点以及半圆的画法．10.请你画一个面积大约是12.56平方厘米的圆，标明圆心O，标出半径r的长度．【答案】如图【解析】圆心确定圆的位置；半径确定圆的大小，先利用周长公式求出这个圆的半径，即可画出符合题意的圆，再利用圆的面积公式即可解答问题．解：12.56÷3.14÷2=2（厘米），由此以点O为圆心，以2厘米为半径画圆，如图所示：点评：此题考查了圆的两大要素：圆心与半径，以及圆的周长公式的计算应用．11.在一张边长是18厘米的正方形纸上，画半径是1.5厘米的圆，最多可以画几个？（正反面都可以画）【答案】72个【解析】圆的半径是1.5厘米，那么直径则是3厘米，根据正方形的边长是18厘米，可以求出每条边分别可以画多少个圆，最后再相乘就是所求的答案，因为反正面画的圆数相等，再乘2即可解答．解：18÷（1.5×2）=6（个），6×6×2=72（个）；答：最多可以画72个．点评：此题主要考查的是正方形的面积公式的应用以及正方形内画等圆的方法．12.在下面的长方形中，有三个大小相等的圆，这个长方形的周长是24厘米，求图中每个圆的半径．【答案】图中每个圆的半径是1.5厘米【解析】先根据图形得出长方形的周长等于圆的直径的8倍，从而求出每个圆的直径，再除以2，即可求出每个圆的半径．解：24÷8÷2，=3÷2，=1.5（厘米）．答：图中每个圆的半径是1.5厘米．点评：考查了长方形的周长，圆的计算，本题得出长方形的周长等于圆的直径的8倍是解题的关键．13.学校要建一个直径是10米的圆形花坛，你能用什么方法画出这个圆？【答案】如图【解析】根据圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小可知，可先确定圆形花坛的位置，然后再用半径为10÷2=5米的绳子（或其它工具）围绕圆心旋转一周即可得到所求的图形．解：花坛的半径：10÷2=5（米），作图如下：点评：此题主要考查的是圆的画法的应用．14.①画一个只有一条对称轴的图形．②画一个有无数条对称轴的图形．③以一条长3厘米的线段的两端为圆心，作半径分别是2厘米和1厘米的两个圆．【答案】如图【解析】①根据等腰三角形的特征，等腰三角形（非正三角形）只一条对称轴，就是过顶点与底边中点的连线所在的直线．②根据圆的特征，圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是圆的对称轴．③先画一条长3厘米的线段AB，再分别以这条线段的两个端点A、B为圆心，以2厘米、1厘米为半径画圆即可，这两圆外切．解：根据分析画图如下：故答案为：点评：本题主要是考查作轴对称图形、画圆．作轴对称图形时要根据轴对称图形的特征，沿某条直线对折，两边能完全重合；画圆时圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小．15.图中，圆的半径是多少厘米？圆的直径是多少厘米？【答案】半径是4厘米，圆的直径是8厘米【解析】由图可知：圆的3条半径的和是12厘米，用“12÷3”即可求出圆的半径的长度，求直径：根据：d=2r，解答即可．解：12÷3=4（厘米）；4×2=8（厘米）；答：圆的半径是4厘米，圆的直径是8厘米．点评：解答此题应结合题意，明确圆的3条半径的和是12厘米，是解答此题的关键．16.填表后熟记下面π的倍数．【答案】如图【解析】根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值叫圆周率，它是一个无限不循环小数，用π表示，π≈3.14；据此解答．解：π2π3π4π5π6π7π8π9π3.14 6.28 9.42 12.56 15.7 18.84 21.98 25.12 28.26点评：此题主要考查对圆周率的理解，应明确其意义，并知道圆周率一个无限不循环小数，3.14只是取它的近似值．17.填一填．（1）在下面各圆中，用红色笔描出直径，用蓝色笔描出半径，并量出它们的长度．（2）从到任意一点的线段叫做半径，同一个圆中半径有条．（3）通过并且都在的线段叫做直径，在同一个圆中直径是半径的，半径是直径的．（4）用圆规画一个直径为10厘米的圆，圆规两脚之间的距离是厘米．【答案】圆心，圆上，无数；圆心，两端，圆上，2倍，一半；5．【解析】（1）根据直径和半径的含义：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径；连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，在图中描出即可；（2）从圆心到圆上任意一点的线段叫做半径，同一个圆中半径有无数条．（3）通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，在同一个圆中直径是半径的2倍，半径是直径的一半．（4）用圆规画一个直径为10厘米的圆，圆规两脚之间的距离是10÷2=5厘米．解：（1）如图：（2）从圆心到圆上任意一点的线段叫做半径，同一个圆中半径有无数条．（3）通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，在同一个圆中直径是半径的2倍，半径是直径的一半．（4）用圆规画一个直径为10厘米的圆，圆规两脚之间的距离是10÷2=5（厘米），故答案为：圆心，圆上，无数；圆心，两端，圆上，2倍，一半；5．点评：本题主要考查了圆的有关知识．18.圆有无数条对称轴，且长度相等．．【答案】×【解析】根据对称轴的定义来判断即可．解：对称轴是直线，圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，直线不能测量长度，所以说法错误．故答案为：×．点评：本题主要考查对称轴定义的理解，特别应弄清对称轴是直线，不是线段．19.在下面的线段上画两个半径为1厘米的圆，并使两个圆心相距为2厘米．【答案】如图【解析】在线段上截取2厘米的线段，分别以线段的两个端点为圆心，以1厘米为半径，即可画出符合要求的圆．解：画圆如下：点评：确定好了圆心的位置，以及半径的大小，即可画圆．20.画一画．（1）画一个85°的角．（2）画一个半径为20mm的圆．（3）过点A、B画直线．【答案】如图【解析】（1）画一条射线，用量角器的中心点和射线的端点重合，0刻度线和射线重合，在量角器85度的刻度上点上点，过射线的端点和刚作的点，画射线即可．（2）因为20mm=2厘米，然后紧扣圆的画法步骤，首先确定圆心O，然后以O点为圆心，以2厘米为半径画圆，即可解决问题．（3）因为直线没有端点，可以无限延伸，所以连接两个点，再延长即可．解：如图所示：．点评：此题主要考查了学生作图的能力．要紧扣作图步骤完成．21.判断：①在同一圆中，圆的周长总是直径的3倍多一些．；②π=3.14．；③在同一圆中，半径、直径、周长的比是1：2：π．．【答案】①√，②×，③×．【解析】①同一圆中，圆的周长总是直径的3倍多一些，叫它圆周率；②π是一个无限不循环的小数；③在同一圆中，半径、直径、周长的比是 r：2r：2πr，进一步化简．解：①在同一个圆中，=3倍多一些，即圆周率；②π是一个无限不循环的小数，3.14是取得近似值；③同一圆中，半径、直径、周长的比是 r：2r：2πr=1：2：2π．故答案为：①√，②×，③×．点评：此题考查在同一个圆中，半径、直径、周长、圆周率间的关系．22.以O为圆心，以OB为半径画一个圆．【答案】如图【解析】紧扣圆的画法步骤，先固定圆规有针的一脚在o点，两个脚之间的距离等于OB的长度，另一个脚旋转一周，画圆即可解决问题．解：由分析作图如下：．点评：此题考查了圆的画法．抓住圆的两大要素：圆心和半径．即可解决此类问题．23.用圆规画图：（1）半径是1.5厘米（2）直径是4厘米．【答案】如图【解析】（1）画一条长1.5厘米的线段，以这条线段的一个端点为圆心，以这条线段的长为半径画圆．（2）画一条长4厘米的线段，以这条线段的中点为圆心，以这条线段的长的一半2厘米为半径画圆．据此画图解答．解：画图如下：点评：本是考查了学生绘制圆的基本能力．关键是确定圆心和找出半径的长度．24.（1）量出右图线段的长是厘米．（取整厘米数）（2）在线段AB上取一点O，使AO=AB．（3）以O为圆心，以OB为半径画一个圆．（4）计算这个圆的面积．【答案】（1）3 （2）（3）如图，（4）4.5216平方厘米【解析】（1）经测量，右图线段的长是3厘米；（2）3×=1.8（厘米），从A点向右量1.8厘米即为O点，即AO=AB；（3）以OB为半径画圆，OB=3﹣1.8=1.2（厘米）；（4）据圆的面积公式：S=πR2可知，这个圆的面积为1.22×3.14．解：（1）经测量，右图线段的长是3厘米；（2）3×=1.8（厘米），从A点向右量1.8厘米即为O点，即AO=AB，如图：（3）以O为圆心，以OB为半径画的圆为：（4）OB=3﹣1.8=1.2（厘米），这个圆的面积为：1.22×3.14=4.5216（平方厘米）；故答案为：3．点评：完成本题要认真的进行实际测量．25.在右面方格图中画一个圆，圆心O的位置为（4，4）圆的周长是18.84cm，圆的半径是cm，圆的面积是cm2．【答案】3，28.26．【解析】根据圆的周长公式可求圆的半径，以（4，4）为圆心，所求半径作出圆，再根据圆的面积公式求出圆的面积．解：圆的半径是18.84÷3.14÷2=3（cm）；画圆为：圆的面积是：3.14×32，=3.14×9，=28.26（cm2）．答：圆的半径是3cm，圆的面积是28.26cm2．故答案为：3，28.26．点评：考查了画圆、圆的周长和面积，关键是得到圆的半径，综合性较强，但难度不大．26.画一个d=50mm的圆．【答案】如图【解析】由题意可知：可以以任意一点为圆心，50毫米（5厘米）为半径即可画出符合要求的圆．解：50毫米=5厘米，如图所示，即为所要求画的圆：点评：此题主要考查圆的基本画法，确定好圆心的位置和半径的长度，即可画出符合要求的圆．27.（1）画一个直径为3厘米的半圆形．（2）计算半圆形图的周长．【答案】如图，周长是7.71厘米【解析】（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此以点O为圆心，以3÷2=1.5厘米为半径，画出这个半圆即可；（2）根据半圆的周长=它所在的圆的周长的一半+直径即可解答．解：（1）以点O为圆心，以3÷2=1.5厘米为半径，画出这个半圆，如图所示：（2）半圆的周长是：3.14×3÷2+3，=4.71+3，=7.71（厘米）；答：这个半圆的周长是7.71厘米．点评：此题考查了半圆的画法以及半圆的周长的计算方法．28.画一个半径为2厘米的圆，标出半径的长度，再计算出它的周长和面积．【答案】如图，周长是12.56厘米；面积是12.56平方厘米【解析】由题意可知：可以以任意一点为圆心，2厘米为半径即可画出符合要求的圆；半径已知，利用圆的周长和面积公式即可求出这个圆的周长和面积．解：（1）如图所示，即为所要求画的圆：；（2）圆的周长：2×3.14×2，=6.28×2，=12.56（厘米），圆的面积：3.14×22=12.56（平方厘米）；答：这个圆的周长是12.56厘米；面积是12.56平方厘米．点评：此题主要考查圆的基本画法以及圆的周长和面积的计算方法．29.校园要建一个圆形花坛，半径10米．①按1：500的比例尺，画出这个花坛．②在花坛上，要种4棵小树，每棵小树之间的距离相等，请你用小圆点在图上标出来．【答案】如图【解析】（1）实际距离和比例尺已知，依据“图上距离=实际距离×比例尺”即可求出花坛半径的图上距离，从而以此半径为半径，以任意一点为圆心，即可画出这个花坛；（2）作两条互相垂直的直径，在直径的端点栽树，即可满足每棵小树之间的距离相等．解：（1）因为10米=1000厘米，则1000×=2（厘米）；如图所示，即为所画的圆：；（2）如上图所示，作两条互相垂直的直径，在直径的端点栽树，即可满足每棵小树之间的距离相等．点评：此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，关键是明白：两条互相垂直的直径，将圆等分成4份，则在直径的端点栽树，即可满足每棵小树之间的距离相等．30.作图．（1）用圆规画一个圆，r=1.5cm．（2）如图a，过下面任意两点画一条直线．你能画出几条直线？（3）画出如图b所示的角（先用量角器量出度数，然后再画）．此角应是120度，请作一个正确的画上．【答案】如图，过任意两点画一条直线，可以画3条【解析】（1）以任意一点为圆心，以1.5厘米为半径，即可画出符合要求的圆；（2）两点确定一条直线，据此即可画出3条直线；（3）画一条射线，中心点对准射线的端点，0刻度线对准射线（两重合）；对准量角器120°的刻度线点一个点（找点）；把点和射线端点连接，然后标出角的度数．解：（1）以任意一点为圆心，以1.5厘米为半径，画圆如下：（2）如图所示，过任意两点画一条直线，可以画3条：（3）据分析画120°的角如上图所示．点评：（1）此题主要考查圆的基本画法，确定好圆心的位置以及半径的长度，即可画出符合要求的圆；（2）此题主要考查直线的性质：两点确定一条直线．（3）考查了画指定度数的角，步骤为：A．两重合（点点重合、线线重合）；B．找点；C．连线．31.请你以点O为圆心，画一个直径是2cm的半圆面，并求出半圆面的周长．【答案】如图，周长是5.14厘米【解析】（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此即可画出这个半圆；（2）半圆的周长=圆的周长的一半+直径，代入数据即可解答．解：（1）以点O为圆心，以2厘米为直径画出这个半圆如图所示：（2）这个半圆的周长是：3.14×2÷2+2，=3.14+2，=5.14（厘米）；答：这个半圆的周长是5.14厘米．点评：此题考查了半圆的画法以及半圆的周长的计算方法．32.（1）在如图方格纸中画一个圆，圆心的位置是（2，2），圆的半径是2cm（2）将圆向上平移2格，再向右平移4格，画出平移后的图形，并用数对在最后一个平移图上表示圆心的位置．（3）计算出这个圆的周长和面积．【答案】如图，周长是12.56厘米，面积是12.56平方厘米【解析】（1）以（2，2）为圆心，作出半径是2cm的圆；（2）作出圆向上平移2格，再向右平移4格的图形，并用数对表示圆心的位置；（3）根据圆的周长和面积公式计算即可．解：（1）、（2）作图如下，圆心为（6，4）；（3）3.14×2×2=12.56（厘米），3.14×22=12.56（平方厘米）．答：这个圆的周长是12.56厘米，面积是12.56平方厘米．点评：考查了画圆、作平移后的图形、数对与位置、圆的周长和面积，综合性较强，但难度不大．33.先找到并标出下图的圆心，量出有关长度后，再求出圆的周长和面积．量得圆的是．求周长是，求面积是．【答案】直径，5厘米，15.7厘米，19.625平方厘米【解析】利用三角板来确定圆心后，测量出直径，利用周长和面积公式计算．解：把三角板的直角顶点放在圆周上，标出直角的两条边与圆周的2个交点，连接这两个点得到的线段就是圆的直径，线段的中点就是圆心，线段的长就是直径的长，测量得直径是5厘米；C=πd=3.14×5=15.7（厘米）；S=πr2=π×（5÷2）2=19.625（平方厘米）；故答案为：直径，5厘米，15.7厘米，19.625平方厘米．点评：利用直径对的圆周角是直角，反过来确定直径后，再找圆心和直径的长度，从而解决问题．34.列式计算（1）4的倒数的是多少？（2）4减4个，再加上1，和是多少？（3）一个数的53%比这个数的74%少12.6，这个数是多少？（用方程解）（4）以点0为圆心，画一个半径为2厘米的半圆，并求出这个半圆的周长和面积．【答案】（1）（2）2（3）60 （4）半圆的周长是10.28厘米，面积是6.28平方厘米【解析】（1）先求出4的倒数是，求的是多少，据乘法的意义，列示为×；（2）根据乘法的意义求出4个是×4，用4﹣×4+1；（3）数量间的相等关系：这个数的74%﹣一个数的53%=12.6，设这个数为x，列并解方程即可；（4）以点0为圆心，画一个半径为2厘米的半圆，要注意数据取准确，求半圆的周长根据c=2πr，2πr÷2+2r就是半圆的周长，圆的面积s=πr2，πr2÷2就是半圆的面积，代入数据解答即可．解：（1）4的倒数是，×=．答：4的倒数的是．（2）4﹣×4+1，=4﹣3+1，=1+1，=2；（3）设这个数为x，74%x﹣53%x=12.6，（74%﹣53%）x=12.6，0.21x=12.6，0.21x÷0.21=12.6÷0.21，x=60；（4）2×3.14×2÷2+2×2，=6.28+4，=10.28（厘米）；3.14×22÷2=6.28（平方厘米）．答：半圆的周长是10.28厘米，面积是6.28平方厘米．点评：本题组考查的知识点比较多，解答题时，要养成认真分析数量的习惯，确定先算什么，再算什么，然后逐个解答．35.按要求填表．【答案】如图【解析】根据：直径d=2半径r，圆周长C=πd及其变换式子：r=d÷2，d=C÷π进行求解．解：d=2r=8×2=16（米），C=πd=3.14×16=50.24（米）；r=d÷2=1分米÷2=10厘米÷2=5厘米，C=πd=3.14×1分米=3.14分米；d=C÷π=12.56厘米÷3.14=4厘米，r=d÷2=4厘米÷2=2厘米．答案如下：36.画一个半径是2厘米的圆．【答案】如图【解析】紧扣圆的画法步骤，首先确定圆心O，然后以O点为圆心，以2厘米为半径画圆，即可解决问题．解：根据题意，以O为圆心，以2厘米为半径，画圆如下：点评：此题考查了圆的画法．抓住圆的两大要素：圆心和半径．即可解决此类问题．37.作三角形BC边上的高h，并以点A为圆心，以高h为半径画一个圆．并画一条与高h垂直的对称轴．【答案】如图【解析】（1）根据三角形高的意义，在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，再根据过直线外一点画已知条直线的垂线的方法，由此作图即可．（2）以A为圆心，以高h为半径即可画圆，再经过点A画出高h的一条垂线即可．解：根据题干分析画图如下：点评：此题主要考查过一点，画已知直线的垂线的方法．38.（1）量出下图长方形的长是厘米，宽是厘米．（2）如果在长方形里画一个最大的半圆，半圆的直径是厘米．（3）请画出这个半圆．（4）请计算出这个半圆的周长和面积．【答案】（1）10，8，（2）10，（3）如图（4）半圆周长是25.7厘米，面积是39.25平方厘米【解析】（1）先测量出线段的长和宽；（2）在长方形中画最大的半圆时应以10厘米为直径．（3）用圆的周长公式与面积公式计算出这个半圆的周长和面积．解：（1）用直尺测量出长方形的长是10厘米，宽是8厘米；（2）半圆的直径是10厘米；（3）用圆规以10厘米长为直径画出半圆，（如图）：（4）周长：3.14×10÷2+10，=25.7（厘米）．面积：3.14×（10÷2）2÷2，=39.25（平方厘米）．故答案为：（1）10，8，（2）10，半圆周长是25.7厘米，面积是39.25平方厘米．点评：此题考查学生对线段的测量方法、作图能力以及半圆周长和面积的计算方法．39.过A、B两点画一个最小的圆，量出有关数据，计算这个圆的面积和周长．【答案】如图，圆的面积是3.14平方厘米，周长是6.28厘米【解析】（1）根据题意可知，经过点A、B的最小圆，就是以AB为直径的圆，由此即可以AB 的中点为圆心，以AB长度的一半画出这个圆；（2）根据圆的面积和周长的计算方法，利用刻度尺测量出AB的长度即可解答．解：（1）连接AB，以AB的中点O为圆心，以AB长度为半径画出这个圆如图所示：（2）经过测量可知，圆的半径r=1厘米，所以圆的面积是：3.14×12=3.14（平方厘米），圆的周长是：3.14×1×2，=3.14×2，=6.28（厘米）；答：圆的面积是3.14平方厘米，周长是6.28厘米．点评：此题考查了圆的画法以及圆的面积与周长的计算方法．40.请你画出一个正方形和一个圆的组合图，使它们只有四条对称轴．【答案】如图【解析】画一个正方形，再以这个正方形的对角线的交点为圆心，以正方形的边长的一半为半径，所画出的图形就符合要求；或者先画一个圆，再画出这个圆的两条互相垂直的直径，分别连接两条直径与圆的交点，所形成的四边形就是正方形，且这个正方形和这个圆所组成的图形有四条对称轴．解：依据分析画图如下：；或者．点评：此题主要考查圆的画法以及轴对称图形的意义，即在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴．41.画一画．（1）画出下面三角形的对称轴．（2）在下面长方形内画一个最大的圆，并用字母标出圆心和半径．【答案】如图【解析】（1）依据轴对称图形的概念，及在同一个平面内，一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是其对称轴，从而可以得出这个等边三角形一共有3条对称轴，由此画出即可．（2）长方形内最大的圆的直径等于这个长方形的最短边长，由此以长方形的中心为圆心，以长方形的宽为半径即可画圆．解：根据题干分析，画图如下：点评：此题考查了轴对称图形的定义和对称轴条数的确定方法，以及长方形内最大的圆的画法．42.在同一个圆里，最长的线段是．用同样长的绳子围成的图形中的面积最大．【答案】直径，圆【解析】根据直径的含义：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径；由此可知：在圆中，直径最长；根据圆的知识可知：用同样长的绳子围成的图形中圆的面积最大；据此解答．解：在同一个圆里，最长的线段是直径．用同样长的绳子围成的图形中圆的面积最大；故答案为：直径，圆．点评：考查了周长相同的图形在所有图形中，圆的面积最大，是一个经典题型．43.（2009•游仙区模拟）①画一个半径是1厘米的半圆．②求半圆的周长和面积．【答案】如图，周长是5.14厘米，面积是1.57平方厘米．【解析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此即可画出这个半圆，半圆的周长=πd+d；半圆的面积=πr2÷2，由此代入数据即可解答．解：以点O为圆心，以1厘米为半径画这个半圆如图所示：所以这个半圆的周长是：3.14×1×2÷2+1×2，=3.14+2，=5.14（厘米）；半圆的面积是：3.14×12÷2，=3.14÷2，=1.57（平方厘米）；答：这个半圆的周长是5.14厘米，面积是1.57平方厘米．点评：此题考查了半圆的画法以及半圆的周长和面积的计算方法．44.（2009•湛江模拟）画画，量量，算算．①（a）画出左边平行四边形底边上的高，用字母A标出垂足．（b）量出需要的数据，计算出平行四边形的面积．②（a）以左边O点为圆心画一个直径是4厘米的半圆．（b）算出这个图形的周长．。

数学圆扇形圆环试题答案及解析1.关于圆周率π说法正确的是（）A．π是直径和圆周长的比B．圆周长是半径的π倍C．π是一个无限不循环小数D．π=3.14【答案】C【解析】圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母π表示，π是一个无限不循环小数；据此进行分析解答即可．解：A、π是直径和圆周长的比，说法错误，应为π是圆的周长和它直径的比值；B、圆周长是直径的π倍，而不是半径的π倍，故B说法错误；C、π是一个无限不循环小数，说法正确；D、π=3.14，说法错误，因为π的近似值是3.14；故选：C．点评：此题考查了圆周率的含义．2.圆的大小与下面哪个条件无关．（）A.半径B.圆心的位置C.周长【答案】B【解析】根据圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小；进行选择即可．解：圆的大小和半径有关，和圆心无关，圆心决定圆的位置；故选：B．点评：解答此题应根据圆的特征的基础知识进行解答即可．3.大圆周长和直径的比（）小圆周长和直径的比．A．大于B．小于C．等于D．不确定【答案】C【解析】根据圆周率的含义“圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率”可知：圆周率是定值，不随圆的大小的变化而变化；进而解答即可．解：根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率”可知：大圆的圆周率等于小圆的圆周率，即：大圆周长和直径的比等于小圆周长和直径的比；故选：C．点评：此题考查了圆周率的含义．4.两个圆的面积不相等，是因为（）不同．A.圆心的位置B.半径C.圆周率【答案】B【解析】根据“圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小”和“圆的面积=πr2”进行分析，进而得出结论．解：由“圆的面积=πr2”可知：圆的面积和半径、圆周率有关系，因为圆周率不变，所以只与半径有关，即：两个圆的面积不相等，是因为半径不同；故选：B．点评：解答此题应根据圆的面积计算公式进行分析，即可得出结论．5.下面错误的是（）A.通过一个圆的圆心的线段，一定是这个圆的直径B.圆的半径扩大3倍，它的面积扩大9倍C.2πr和πr2所表示的意思相同【答案】A C【解析】从定义上看，A不对；从表示意义上讲C不对；圆的面积等于圆周率乘半径再乘半径，B对．解：只有通过圆心，两端都在圆上的线段才为直径；2πr表示2×π×r，πr2表示π×r×r；故选：A，C．点评：此题考查对圆的直径、半径、面积的意义和关系．6.世界上第一个把圆周率的值精确到六位小数的数学家是（）A.刘徽B.祖冲之C.欧几里德【答案】B【解析】依据教材补充材料即可作答．解：世界上第一个把圆周率的值精确到六位小数的数学家是祖冲之．故答案为：B．点评：此题主要考查对数学历史人物的了解．7.车轮转动一周的路程就是车轮的（）A．周长B．直径C．半径D．面积【答案】A【解析】车轮滚动一周，所行的路程就是这个车轮的周长，可采用化曲为直的方法进行计算．解：车轮滚动一周所行的路程就是车轮一周的长度，即周长．答：车轮滚动一周，所行的路程是求车轮的周长．故选：A．点评：此题主要考查的是利用圆的周长求车轮的所行路程．8.（）确定圆的位置，（）确定圆的大小．A.直径B.半径C.圆心【答案】C B【解析】抓住圆规画圆的方法，即可得出圆的两大要素即：圆心和半径．解：由圆规画圆的方法可以得知，圆心可以确定圆的位置，半径决定圆的大小，半径越大，画出的圆就越大，故选：C，B．点评：此题考查了确定圆的位置和大小的两大要素即：圆心和半径．9.（2011•兴化市模拟）在同一个圆内，圆的周长是半径的（）倍．A．πB．2πC．3.14D．r【答案】B【解析】根据”圆的周长=2πr”可知：圆的周长÷r=2π；可知：圆的周长是它半径的2π倍；由此判断即可．解：在同一个圆内，圆的周长是半径的2π倍；故选：B．点评：解答此题应根据圆的半径、圆周率和圆的周长三者之间的关系．10.下面几何体的截面可能是圆的是（）A．正方体B．圆锥C．长方体D．棱柱【答案】B【解析】根据正方体、圆锥、长方体、棱柱的形状特点判断即可．解：截面可能是圆的是圆锥；正方体、长方体、棱柱无论如何截，截面也不会有弧度不可能是圆，故选：B．点评：本题考查几何体的截面，关键要理解面与面相交得到线，截面是圆，那么该几何体的某个视图中应有圆．11.有一张长方形纸，长6厘米，宽4厘米，在这张纸上剪一个最大的圆，（1）请用圆规和直尺画出这个最大的圆．（2）求出剩下的图形的面积．【答案】如图，剩下的图形的面积是11.44平方厘米．【解析】（1）要求所画圆的半径，先应明确在此长方形中，画的圆最大是直径和长方形的宽相等，即直径等于4厘米，然后根据“半径=直径÷2”，代入计算得出，进而画圆即可；（2）剩下的图形的面积=长方形的面积﹣圆的面积，据此代入数据即可求解．解：（1）以长方形的对角线的交点为圆心，以长方形的宽的一半（4÷=2厘米）为半径，即可画出符合要求的圆：（2）6×4﹣3.14×22，=24﹣12.56，=11.44（平方厘米）；答：剩下的图形的面积是11.44平方厘米．点评：此类题解答时应明确：在长方形中画一个最大的圆，最大圆的直径等于长方形的宽．12. r=2厘米（注明圆心、直径和半径）．【答案】如图【解析】紧扣圆的画法步骤，即可解决问题．解：根据题意，以点o为圆心，以2厘米为半径，画圆如图所示：点评：此题考查了圆的画法．抓住圆的两大要素：圆心和半径．即可解决此类问题．13.一个圆形纸片，若不用圆规和直尺，你能找到它的圆心和对称轴吗？把你的想法写下来．【答案】将一个圆形纸片最少要对折两次，才能找到两条折痕相交的那个点，即圆心；把折痕延长即沿直径的直线就是对称轴【解析】圆中心的那个点即圆心，所有直径都相交于圆心，将一个圆形纸片最少要对折两次，才能找到两条折痕相交的那个点，即圆心；把折痕延长即沿直径的直线就是对称轴．解：将一个圆形纸片最少要对折两次，才能找到两条折痕相交的那个点，即圆心；把折痕延长即沿直径的直线就是对称轴．点评：本题考查了确定圆心的方法．14.圆有无数条对称轴，且长度相等．．【答案】×【解析】根据对称轴的定义来判断即可．解：对称轴是直线，圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，直线不能测量长度，所以说法错误．故答案为：×．点评：本题主要考查对称轴定义的理解，特别应弄清对称轴是直线，不是线段．15.动手实践．在日常生活中，哪些物体的形状是圆形的？你能测量出它们的直径和周长吗？填写下表．圆形物体名称直径周长周长与直径的比值我的发现：．【答案】圆的周长与直径的比值是3.14．【解析】生活中物体是圆形的有：车轮的形状，转盘的形状及圆桌的面等等；分别测出它们的直径和周长，用周长除以直径求出比值完成下表．解：填表如下：圆形物体名称直径周长周长与直径的比值车轮 4分米 12.55分米 3.14转盘 3分米 9.43分米 3.14发现：圆的周长与直径的比值是3.14；故答案为：圆的周长与直径的比值是3.14．点评：本题主要考查的是通过实际的操作，测量，得出圆的周长与直径的关系．16.画一个直径为3cm的圆．（标出圆心、半径、直径）【答案】如图【解析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．要画一个直径为3厘米的圆，首先确定圆的半径为3÷2=1.5厘米，再以任意一点为圆心依据画圆的方法画圆即可，并用字母标出它的圆心O、半径r和直径d．解：以O为圆心，以3÷2=1.5厘米为半径画圆，如下图所示：点评：此题主要考查圆的基本画法，即确定好了圆心的位置和半径的大小，即可画圆．17.动手操作：在一个边长是20厘米的正方形内画一个最大的圆．提问：怎样确定圆心？半径是多少？如果把这个最大的圆剪去，那么剩下部分的面积有多大？【答案】如图，以正方形的对角线的交点为圆心，以正方形的边长的一半（20÷2=10厘米）为半径，剩下部分的面积为86平方厘米【解析】正方形内最大圆的直径是这个正方形的边长，圆心就是这个正方形的中心，由此可以画图．用正方形的面积减去圆的面积就是剩下部分的面积．解：以正方形的对角线的交点为圆心，以正方形的边长的一半（20÷2=10厘米）为半径，画圆如下：20×20﹣3.14×102，=400﹣314，=86（平方厘米）；答：剩下部分的面积为86平方厘米．点评：此题考查了圆的画法的灵活应用，抓住正方形内最大圆的特点，是解决本题的关键．18.选择：圆的大小与下面哪个条件无关．A．半径B．直径C．周长D．圆心的位置．【答案】D【解析】根据圆的大小与圆心的位置无关，与圆的半径有关来解答．解：圆的大小与圆心的位置无关．故选：D．点评：考查了圆的认识，圆的半径确定圆的大小，圆的大小与圆心的位置无关．19.下面是正方形，在它的内部画一个最大的圆．【答案】如图【解析】正方形内最大的圆，直径等于正方形的边长，由此即可解决问题．解：作图如下所示．点评：抓住最大圆的直径与正方形的边长相等解决问题．20.画一个周长是9.42cm的圆，并求在这个圆外画出的最小正方形的周长．【答案】如图，周长是12厘米【解析】利用周长公式可得：圆的半径=周长÷π÷2，由此代入数据计算即可求出圆的半径，从而画出符合要求的圆；再以圆的直径为边长画一个正方形，根据正方形的周长公式C=4a求出它的周长．解：9.42÷3.14÷2=1.5（厘米），以任意一点O为圆心，以1.5厘米长的线段为半径，画图如下：正方形的周长：1.5×2×4=12（厘米），答：最小正方形的周长是12厘米．点评：此题考查了圆的画法，抓住圆的两大要素：圆心和半径即可画圆．21.画一个直径2厘米的圆，用字母标明圆心、半径和直径．【答案】如图【解析】先根据同圆中“半径=直径÷2”求出半径，然后根据圆的画法，进行画圆即可．步骤：（1）定半径，即圆规两脚间的距离：（2）定圆心．（3）旋转一周，画圆．解：2÷2=1（厘米）；点评：此类题只要先根据圆中直径和半径的关系，求出半径，然后根据半径即可画出圆．22.在左边长为4厘米的正方形里画一个最大的圆．要求：①要标明圆心．②要标明半径是多少．③要计算出这个圆周长是多少厘米．周长厘米．【答案】如图，周长12.56厘米【解析】要画的圆的圆心在正方形的对角线的交点上，半径为正方形的边长的一半，然后利用圆的周长公式c=πd计算周长即可．解：圆的周长C=πd=3.14×4=12.56（厘米）．故答案为：12.56．点评：此题考查画指定的圆以及圆的周长的计算方法，要明确正方形内最大的圆的直径就是正方形的边长．23.用圆规画一个圆，d=40mm．【答案】如图【解析】以任意一点为圆心，以40mm为直径即可画出符合要求的圆．解：以O为圆心，以40÷2=20mm为半径，画圆如下图所示：点评：此题主要考查圆的基本画法，即确定好了圆心的位置和半径的大小，即可画圆．24.按要求作图、填空（如图：O为圆心．A为圆周上一点）（1）量一量已知圆的直径是cm．（2）以A点为圆心，画出一个与已知圆同样大小的圆．（3）画出这两个圆所组成的图形的所有对称轴．【答案】（1）3 （2）（3）如图【解析】（1）连接OA，测量出它的长度即可得出这个圆的直径；（2）圆的两大要素是：圆心与半径，由此以点A为圆心，以OA长度为半径画圆；（3）根据轴对称图形的定义可知：这两个圆所组成的图形的对称轴有2条，分别是经过圆心O、A的直线和两个圆的公共弦所在的直线；解：（1）连接OA，测量出它的长度是1.5厘米，即可得出这个圆的直径1.5×2=3厘米；（2）由此以点A为圆心，以OA长度1.5厘米为半径画圆，如图所示；（3）这两个圆所组成的图形的对称轴有2条，分别是经过圆心O、A的直线和两个圆的公共弦所在的直线，在图中画出来如下图所示；故答案为：（1）3．点评：此题考查了圆的画法以及利用轴对称图形的定义确定组合图形的对称轴的方法的灵活应用．25.在正方形内画出一个最大的圆，并画出圆心o、半径r和直径d．【答案】如图【解析】正方形内最大圆的直径是这个正方形的边长，圆心就是这个正方形的中心，由此可以画图．解：根据题干分析，可以画图如下：点评：此题考查了圆的画法的灵活应用，抓住正方形内最大圆的特点，是解决本题的关键．26.根据要求操作．（1）在方格图中（每个方格的边长表示1厘米）画一个圆，圆心O的位置是（5，3）圆的半径是3厘米．（2）在圆里画一条直径，使直径的一个端点在（8，x）处，这条直径的两个端点用数对表示为、．（3）求出这个圆的面积．【答案】（1）如图，（2）（8，3），（2，3）（3）面积是28.26平方厘米【解析】（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此以点O（5，3）为圆心，以3厘米为半径即可在平面图中画出这个圆；（2）根据数对表示位置的方法可知：（8，x）是圆与第8列纵轴的切点，由此即可画出这个圆的符合题意的直径，观察图可知表示两个端点的数对；（3）根据圆的面积=πr2，代入数据即可解答．解：（1）以点O（5，3）为圆心，以3厘米为半径即可在方格图中画出这个圆，如图所示：（2）观察上图可知，直径的一个端点是（8，3），一个端点是（2，3），由此即可画出这条直径如下图所示；（3）圆的面积是：3.14×32=3.14×9=28.26（平方厘米），答：这个圆的周长是18.84厘米，面积是28.26平方厘米．点评：此题考查了数对表示位置的方法的灵活应用以及圆的画法和圆的面积公式的计算应用．27.画一个周长为9.42厘米的圆，并标出圆心、半径和直径．【答案】如图【解析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此利用圆的周长公式先求出这个圆的半径即可画出符合题意的圆．解：半径为：9.42÷3.14÷2=1.5（厘米），以点O为圆心，以1.5厘米为半径画圆：点评：此题考查了圆的两大要素以及圆的周长公式的灵活应用．28.画一个边长3cm的正方形，并且在正方形内画一个最大的圆：①求出所画圆的周长；②如果剪去圆，剩下部分的面积是多少？【答案】如图，周长是9.42厘米，剩下部分的面积是1.935平方厘米【解析】先画出正方形，再依据圆的基本画法，以正方形的对角线为圆心，以正方形的边长的一半为半径，即可画出符合要求的圆，根据题意可知：这个圆的直径就是正方形的边长，再依据圆的周长和面积公式，即可得解．解：据分析解答如下：以正方形的对角线为圆心，以正方形的边长的一半为半径，画图如下：这个圆的周长是：3.14×3=9.42（厘米）；剩余部分的面积是：3×3﹣3.14×（3÷2）2，=9﹣3.14×2.25，=9﹣7.065，=1.935（平方厘米）；答：所画圆的周长是9.42厘米；剩下部分的面积是1.935平方厘米．点评：此题主要考查正方形内接圆的画法以及面积的计算，关键是明确圆的直径即为正方形的边长．29.在下面的长方形里画一个最大的圆，使形成的组合图形只有一条对称轴．【答案】如图【解析】长方形内最大的圆的直径等于长方形的最短边的长度，由此根据轴对称图形的定义，即可在长方形内画出这个圆，使它们的组合图形只有一个对称轴．解：画图如下：点评：只要圆在长方形内，直径为长方形的宽，圆心不在对角线的交点上即可．30.（2012•河池模拟）为了迎接省运人的召开，园林工人在一块长方形的草坪上（如图）设计一最大的半圆形花圃．请在图中画出这个花圃，并算算这个花圃的面积．【答案】如图，面积是2512平方米【解析】根据题意，这个半圆的半径最大为40米，根据圆的面积=πr2可计算出这个半圆所在的圆的面积，用所在圆的面积再除以2即是这个半圆的面积，列式解答即可得到答案．解：所画半圆如下图：半圆的面积：3.14×402÷2=2512（平方米），答：这个半圆形花圃的面积是2512平方米．点评：解答此题要明确长方形的草坪的宽就是这个半圆形花圃的半径，然后再根据圆的面积公式进行计算即可．31.如图是一长方形纸板，请按要求做练习．①在长方形纸板里面画一个最大圆．②把这个纸板做成这个最大圆，减掉的面积是多少？【答案】如图【解析】（1）因为长方形内最大的圆的直径等于长方形的宽3厘米，据此以长方形的中心为圆心，以3÷2=1.5厘米为半径画圆即可；（2）用长方形的面积减去这个最大的圆的面积，就是要剪去的面积．解：（1）根据题干分析画图如下：（2）剪掉的面积是：4×3﹣3.14×（3÷2）2，=12﹣3.14×2.25，=12﹣7.065，=4.935（平方厘米），答：剪掉的面积是4.935平方厘米．点评：解答此题的关键是明确长方形内最大的圆的特征，得出圆的半径即可解答．32.（1）画出图形A以MN为对称轴的另一半．（2）将图形B先向右平移7格，再向上平移2格．（3）用数对表示D，将图形C绕D点顺时针旋转90°，画出图形C按2：1放大后的图形E．（4）以数对（18，4）为O点，画出O点，并以O点为圆心2厘米为半径画一个圆．（一小格为1厘米）【答案】如图，点D的位置是（1，7），【解析】（1）根据轴对称图形的性质：对应点到对称轴的距离相等，即可画出图形A以MN为对称轴的另一半，即图形1．（2）将图形B的各个顶点先向右平移7格，再向上平移2格后，依次连接起来即可得出平移后的图形2．（3）数对表示位置的方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此用数对表示D，再把图形C的另外三个顶点分别绕D点顺时针旋转90°，得出它们的对应点，依次连接起来即可得出旋转后的图形3；根据图形放大的方法：把这个图形的底3格，放大2倍后是6格，高2格，放大2倍后是4格，据此即可画出画出图形C按2：1放大后的图形E．（4）先找出以数对（18，4）表示的O点，画出O点，并以O点为圆心2厘米为半径画一个圆即可．解：根据题干分析可得：点D的位置是（1，7），据此画图如下：点评：此题主要考查利用图形的平移旋转、放大与缩小进行图形变换的方法以及数对表示位置和画圆的方法．33.（2009•游仙区模拟）按要求作图并填空．（如图：O为圆心，A为圆周上一点．）①图上画的圆的周长是cm，面积是．（所需数据测量时取整厘米数．）②以A为圆心，画一个与已知圆同样大的圆．③画出以上两个圆的对称轴．【答案】（1）6.28，3.14平方厘米（2）、（3）如图【解析】（1）根据测量可知，圆的半径为1厘米，然后再根据圆的周长公式和圆的面积公式即可，设圆形花坛的直径是d米，S=πr2进行计算即可；（2）根据要求，以A为圆心，以点O到点A的距离为半径画圆即可；（3）从图形中找到一对对称点，连接对称点，作连线的垂直平分线，此线就是图的对称轴．解：（1）量得圆的半径为1厘米，圆的周长为：2×1×3.14=6.28（厘米）圆的面积为：3.14×12=3.14（平方厘米），（2）、（3）作图如下：故答案为：（1）6.28，3.14平方厘米．点评：解答此题的关键是确定点0到点A的距离，即原来圆的半径，然后再利用圆的周长公式和圆的面积公式、画圆的方法和对称轴的方法进行作图即可．34.（2010•湖北模拟）画一个通过A、B、C三点的圆，并标出o、r、d．【答案】如图【解析】连接AB、BC、AC，分别作三条边的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，以点O 到三点的距离为半径，即可作出符合要求的圆．解：如图所示，即为经过A、B、C三点的圆；．点评：解答此题的关键是：先确定出圆心和半径，从而作出符合要求的圆．35.（2011•北海模拟）圆的直径等于半径的一半．．【答案】×【解析】在同圆或等圆中，直径是它半径的2倍；由此判断即可．解：直径是半径的2倍，前提是在：同圆或等圆中；所有题干说法错误．故答案为：×．点评：此题考查了对圆的基础知识的掌握情况，应注意基础知识的积累和灵活运用．36.（2011•富源县模拟）在图形中画出一个最大的圆，使它只有一条对称轴．（标出0、r）【答案】如图【解析】长方形内最大的圆的直径等于长方形的最短边长，由此根据轴对称图形的性质，即可画出这个圆，并使这个组合图形只有1条对称轴，如图所示．解：作图如下：点评：此题考查了长方形内最大的圆的画法以及利用轴对称图形的性质画对称轴的方法．37.（2011•富源县模拟）学校在一个长方形草坪（如图）里设计一个最大的圆形花坛，使花坛和草坪组成的图形有两条对称轴，并画出对称轴．【答案】如图【解析】这个长方形内最大的圆是以这个长方形的宽为直径的圆，根据轴对称图形的定义可知，圆的对称轴有无数条、长方形的对称轴有2条，要使画出的这个组合图形有2条对称轴，那么这个圆的圆心应在长方形的中心处．解：以长方形的中心为圆心，以长方形的宽为直径画出这个圆，并画出这个图形的2条对称轴如图所示：点评：抓住长方形内最大圆的特点以及组合图形的对称轴的确定方法，是解决此类问题的关键．38.（2011•高邮市模拟）在圆内以所画直径为最长边画一个最大的三角形．【答案】如图【解析】根据三角形面积公式可知所画的一个最大的三角形的另一个顶点是与所画直径垂直的半径的圆上的一点．解：如图所示：圆内三角形即为所求．点评：考查了画圆内指定底边的三角形，本题底边上最长的高为与所画直径垂直的半径．39.（2011•石阡县模拟）先在下面的方格图中，以O为圆心，OA为半径画一个圆，并按要求填空．（1）图中OA线段的端点O的位置是（；），端点A的位置是（；）（2）图中线段OA表示的长度是3厘米，所画圆的周长是厘米，面积是平方厘米．【答案】如图，（1）7，3；10，3；（2）18.84，28.26【解析】（1）数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行，由此即可标出O、A的位置；（2）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此即可以点O为圆心，以OA为半径画一个圆．并利用圆的周长和面积公式求出这个圆的周长和面积．解：（1）根据数对表示位置的方法可知，点O的位置是（7，3）；A的位置是（10，3）；（2）以点O为圆心，以OA=3厘米为半径画一个圆．如图所示：圆的周长是：3.14×3×2=18.84（厘米）；面积是：3.14×32=28.26（平方厘米），答：这个圆的周长是18.84厘米，面积是28.26平方厘米．故答案为：（1）7，3；10，3；（2）18.84，28.26．点评：此题考查了数对表示位置的方法以及圆的画法和圆的周长和面积公式的灵活应用．40.（2012•张掖模拟）先画出一个半径是1厘米的圆；再画出它的两条对称轴，并且使这两条对称轴相互垂直．【答案】如图【解析】紧扣画圆的方法和轴对称图形的性质，即可解决问题．解：①确定圆心o，以1厘米为半径画圆，如图所示．②圆的对称轴是经过圆心的直线，圆有无数条对称轴．根据垂直的定义可画出圆的两条互相垂直的对称轴，如右图．点评：此题考查了圆和它的对称轴的画法．41.（2012•资中县模拟）按要求画图与计算．（1）画出图①关于直线M的对称图形标上②（2）画出图①绕点0逆时针旋转90度后的图形标上③（3）将图①各条边按2：1放大，得到新图形标上④（4）在图形④画一个最大的图，如果每小格的长度是1厘米，那么这个圆的面积是平方厘米．【答案】如图，面积是12.56平方厘米【解析】（1）根据轴对称图形的特点和性质，找出对称点，再顺次用直线连接起来即可作出图①的对称图形②；（2）根据旋转的性质，抓住与旋转中心O相连的两条边，逆时针旋转90°即可得出旋转后的图形③；（3）先数出平行四边形的底和高的格数，然后分别乘以2求出放大后的平行四边形形的底和高，据此画出④．（4）此图底是6格，高是4格，要画最大的圆，直径得以短的长度4厘米，画圆即可．再利用圆的面积公式计算即可．解：（1）、（2）作图如下：（3）原来的底是3格，高是2格，按2：1放大后变成第是6格，高是4格，据此画出，如图，（4）圆的面积：3.14×22=12.56（平方厘米），要画最大的圆，直径得以短的长度4厘米，画圆即可．如图；故答案为：12.56．点评：（1）画其对称图形的关键是，找准对称点；轴对称图形的性质．（2）旋转的意义的灵活应用，这里要抓住旋转的方向以及与旋转中心相连的两条边进行旋转．（3）此题考查了图形的放大与缩小的性质，这里抓住平行四边形的底和高的格数进行放大或缩小即可解决问题．（4）图形里画最大的圆，要以短边为直径画出．42.（2013•华亭县模拟）（1）在图1正方形中画一个最大的圆，并标出圆心和半径．（2）画出上面图形（2、3、4）底边上的高，并用“┐”标出垂足．（3）直线L是图形5A的对称轴，根据对称轴把图画完整．【答案】如图。