2020-2021学年福建省莆田市高一上期末考试数学试卷及答案解析

第 1 页 共 15 页 2020-2021学年福建省莆田市高一上期末考试数学试卷

一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x||x|＜3}，则A∪B＝（ ）

A．（﹣3，5] B．[3，5] C．（﹣∞，5] D．[0，3]

2．已知x＞0，y＞0，且，则x+y的最小值为（ ）

A．4 B． C． D．

3．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）

A．y＝3﹣x B．y＝logx C．y＝ D．y＝

4．函数f（x）＝lgx﹣的零点所在的区间是（ ）

A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

5．已知，则＝（ ）

A． B． C． D．

6．今有一组实验数据如表：

x 2.0 3.0 4.0 5.1 6.1

y 1.5 4.1 7.5 12 18.1

现准备用下列函数中一个近似地表示这些数据满足的规律，比较恰当的一个是（ ）

A．y＝log2x B．y＝ C．y＝ D．y＝2x﹣1

7．要得到函数的图象只需将函数的图象（ ）

A．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度

B．.先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度

C．.先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度

D．.先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度

8．已知函数f（x）＝cos2x•cosφ﹣sin（2x+π）•sinφ在处取得最小值，则函数f（x）的一个单减区间为（ ）

第 2 页 共 15 页 A． B． C． D．

二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）

9．若，则下列不等式中正确的是（ ）

A．a+b＜ab B． C．ab＞b2 D．a2＞b2

10．若函数f（x）同时满足：（1）对于定义域内的任意x，有f（x）+f（﹣x）＝0；（2）对于定义域内的任意x1，x2，当x1≠x2时，有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（ ）

A．f（x）＝x2

B．f（x）＝﹣x3

C．f（x）＝x﹣

D．f（x）＝

11．函数f（x）＝Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0）的部分图象如图所示，则（ ）

A．f（x）＝cos（）

B．f（x）＝sin（2x）

C．f（x）的对称轴为x＝kπ，k∈Z

D．f（x）的递减区间为[]，k∈Z

12．下列条件能使loga3＜logb3成立的有（ ）

A．b＞a＞0 B．1＞a＞b＞0 C．b＞＞1 D．1＞＞＞0

三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

第 3 页 共 15 页 13．已知x，y∈R，x2﹣xy+9y2＝1，则x+3y的最大值为

．

14．设函数f（x）对x≠0的一切实数都有f（x）+2f（）＝3x，则f（x）＝ ．

15．函数y＝ax+2﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，若P∈{（x，y）|mx+ny+1＝0，mn＞0}，则的最小值 ．

16．将函数y＝f（x）图象右移个单位，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin（x﹣），则f（）＝ ．

四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）

17．已知p：A＝{x|x2﹣5x+6≤0}，q：B＝{x|x2﹣（a+a2）x+a3≤0，a＞1}，

（1）若a＝2，求集合B；

（2）如果q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

18．已知函数f（x）＝（a+1）x2+（a﹣1）x+（a2﹣1），其中a∈R．

（1）当f（x）是奇函数时，求实数a的值；

（2）当函数f（x）在[2，+∞）上单调递增时，求实数a的取值范围．

19．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当x∈[0，16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16，40]时，曲线是函数y＝80+log0.8（x+a）图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”．

（1）求函数y＝f（x）的解析式；

（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）

20．已知函数f（x）＝2cosxsin（x﹣）+sin2x+sinxcosx．

第 4 页 共 15 页 （Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）若f（α）＝且0＜α＜，求cos2α的值．

21．已知函数．

（Ⅰ）设α∈[0，2π]，且f（α）＝1，求α的值；

（Ⅱ）将函数y＝f（2x）的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象．当时，求满足g（x）≤2的实数x的集合．

22．某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放a（0＜a≤4，a∈R）亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间x（天）的变化的函数关系式近似为y＝，其中f（x）＝，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和．

（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%；

（2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m的最小值．

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2020-2021学年福建省莆田市高一上期末考试数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x||x|＜3}，则A∪B＝（ ）

A．（﹣3，5] B．[3，5] C．（﹣∞，5] D．[0，3]

【解答】解：∵A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，

∴A∪B＝（﹣3，5]．

故选：A．

2．已知x＞0，y＞0，且，则x+y的最小值为（ ）

A．4 B． C． D．

【解答】解：x＞0，y＞0，且，则x+y＝（x+y）（+）＝3++≥3+2＝3+2，

当且仅当＝，即x＝1+，y＝2+时取等号，

故选：D．

3．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）

A．y＝3﹣x B．y＝logx C．y＝ D．y＝

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，y＝3﹣x＝（）x，为指数函数，在R上为减函数，不符合题意；

对于B，y＝logx，为对数函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；

对于C，y＝＝，为幂函数，在（0，+∞）上为增函数，符合题意；

对于D，y＝，为反比例函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；

故选：C．

4．函数f（x）＝lgx﹣的零点所在的区间是（ ）

A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

第 6 页 共 15 页 【解答】解：易知函数f（x）＝lgx﹣在定义域上是连续增函数，

f（1）＝0﹣1＜0，

f（2）＝lg2﹣＝lg＞0，

故函数f（x）＝lgx﹣的零点所在的区间为（1，2）；

故选：B．

5．已知，则＝（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：∵，

∴＝cos[﹣（2）]＝cos（2θ﹣）＝1﹣2sin2（）＝1﹣2×＝．

故选：D．

6．今有一组实验数据如表：

x 2.0 3.0 4.0 5.1 6.1

y 1.5 4.1 7.5 12 18.1

现准备用下列函数中一个近似地表示这些数据满足的规律，比较恰当的一个是（ ）

A．y＝log2x B．y＝ C．y＝ D．y＝2x﹣1

【解答】解：由表格数据可知y随x的增大而增大，且增加速度越来越快，排除A，B，

又由表格数据可知，每当x增加1，y的值不到原来的2倍，排除D，

故选：C．

7．要得到函数的图象只需将函数的图象（ ）

A．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度

B．.先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度

C．.先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度

第 7 页 共 15 页 D．.先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度

【解答】解：由函数＝sin2（x+）+2，

所以函数＝sin2x的图象，

先向左平移个单位长度，得y＝sin2（x+）＝sin（2x+）的图象，

再向上平移2个单位长度，得y＝sin（2x+）+2的图象．

故选：B．

8．已知函数f（x）＝cos2x•cosφ﹣sin（2x+π）•sinφ在处取得最小值，则函数f（x）的一个单减区间为（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：函数f（x）＝cos2x•cosφ﹣sin（2x+π）•sinφ＝cos2x•cosφ﹣sin2x•sinφ＝cos（2x+φ），

由f（x）在处取得最小值，可得cos（+φ）＝﹣1，

即+φ＝2kπ+π，k∈Z，可得φ＝2kπ+，k∈Z，

则f（x）＝cos（2x+），

由2kπ≤2x+≤2kπ+π，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，

当k＝0时，﹣≤x≤，

可得函数f（x）的一个单减区间为[﹣，]，

故选：D．

二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）

9．若，则下列不等式中正确的是（ ）

A．a+b＜ab B． C．ab＞b2 D．a2＞b2

【解答】解：∵，∴b＜a＜0，

∴a+b＜0，ab＞0，

∴a+b＜ab，即选项A正确；