历届全国大学生数学竞赛数学类试卷及解析

全国大学生数学竞赛初赛试卷（非数学类）

2021年 第一届全国大学生数学竞赛初赛试卷（非数学类）

一、填空题（每小题5分，共20分）

1．计算()ln(1)dd1Dyxyxxyxy____________，其中区域D由直线1yx与两坐标轴所围成三角形区域.

2．设)(xf是持续函数，且知足220()3()d2fxxfxx，则()fx____________.

3．曲面2222xzy平行平面022zyx的切平面方程是__________.

4．设函数)(xyy由方程29ln)(yyfexe肯定，其中f具有二阶导数，且1f，则22ddxy________________.

二、（5分）求极限xenxxxxneee)(lim20，其中n是给定的正整数.

三、（15分）设函数)(xf持续，10()()gxfxtdt，且Axxfx)(lim0，A为常数，求()gx并讨论)(xg在0x处的持续性.

四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(yxyxD，L为D的正向边界，试证：

（1）LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin；

（2）2sinsin25ddLyyxyeyxe.

五、（10分）已知xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

六、（10分）设抛物线cbxaxyln22过原点.当10x时，0y，又已知该抛物线与x轴及直线1x所围图形的面积为31.试肯定cba,,，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.

七、（15分）已知)(xun知足1()()1,2,nxnnuxuxxen，且neun)1(，求函数项级数1)(nnxu之和.

八、（10分）求1x时，与02nnx等价的无穷大量.

关于组织学生参加“2013年第五届全国大学生数学竞赛”通知

为了培养人才，服务教学，促进数学类课程的改革和建设，增加大学生学习数学的兴趣，培养他们分析问题、解决问题的能力，发现和选拔数学创新人才，中国数学会从2009年开始恢复全国大学生数学竞赛活动。

在校各级领导和相关部门的大力支持与关心下，2009年开始我校组织学生参加了全国大学生数学竞赛湖北赛区比赛，数统学院作为组织单位，成立了辅导教师组，利用节假日对学生进行培训辅导。四年来已获得一等奖2项，二等奖8项，三等奖10项的好成绩，并荣获优秀组织单位奖，很好地提高了学校的知名度。

2013年第五届全国大学生数学竞赛湖北分赛区比赛定于2013年10月26日(星期六)上午9：00—11：30在武汉大学举行。今年我校准备组织专业组和非专业组两个队参赛（应物电、计科、化学、生物等学院要求，今年第一次组织非专业组。）数统学院及相关学院，目前已开始选拔成绩优秀的学生组队，下学期开学前10天开始培训辅导，并准备从武汉聘请数学竞赛方面有资深经验的专家来校讲座，指导学生参加2013年度数学竞赛。

请各班有一定数学基础的同学积极报名，并了解比赛内容，做好前期复习，准备参加开学前培训与考试，争取在比赛中取得好的成绩。

专业：

年级：

线

所在院校：

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密

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第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷

（非数学类，2010）

考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.

题 号 一 二 三 四 五 六 总分

满 分 25 15 15 15 15 15 100

得 分

注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.

2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.

3、如当题空白不够，可写在当页背面，并标明题号.

一、（本题共5小题，每小题各5分，共25分）计算下列

各题（要求写出重要步骤）.

(1) 设2(1)(1)(1)nn2xaaa=+⋅++"，其中，求. 1<|a|nnx∞→lim

(2) 求 limxxxex−→∞⎛⎞+⎜⎟⎝⎠211.

(3) 设，求0s>0sxnnIexdx+∞−=∫(1,2,n)=".

(4) 设函数f ( t )有二阶连续导数，22rxy=+，1(,)gxyfr⎛⎞⎟⎜=⎟⎜⎟⎜⎝⎠，求22

22g

g

xy∂∂+∂∂.

(5) 求直线 与直线10:0xylz−=⎧⎨=⎩221:42xyzl3

1−−−==−−的距离.

得 分

评阅人

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二、（本题共15分）设函数在)(xf)(+∞−∞,上具有二阶导数，

并且()0,lim()xfxfx0α→+∞′′′>=>lim()fx，0xβ→−∞′=<，且存在一

点，使得. 证明：方程0x0)(0

评阅人

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三、（本题共15分）设函数由参数方程()yfx=

22

()xtt

ytψ⎧=+⎨=⎩(t>−1)所确定. 且2

2dy

dx=3

4(1)t+，其中()tψ具有

二阶导数，曲线)(tyψ=与2

1tuye−∫23

2due=+在1=t处相切. 求函数()tψ.

得 分

评阅人

第 3 页（ 共 6 页）

1 / 2 （二）中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：

一、函数、极限、连续

1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.

2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.

4．数列极限及函数极限的定义及其性质、函数的左极限及右极限.

5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.

6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.

7．函数的连续性（含左连续及右连续）、函数间断点的类型.

8．连续函数的性质和初等函数的连续性.

9． 闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).

二、一元函数微分学

1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性及连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.

2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.

3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.

4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.

5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.

6. 洛必达(L’Hospital)法则及求未定式极限.

7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.

8. 函数最大值和最小值及其简单应用.

9. 弧微分、曲率、曲率半径.

三、一元函数积分学

1. 原函数和不定积分的概念.

2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.

3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.

4. 不定积分和定积分的换元积分法及分部积分法.

5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.