平面的基本性质

平面、平面的基本性质及应用

一、平面的基本性质回顾：包括三个公理、三个推论、其中公理3，推论1，推论2，推论3分别提供了构造平面的四种：

（1）选不共线的三点 （2）选一条直线与直线外一点

（3）选两条相交直线 （4）选两条平行直线

二、证明共面的两种方法：

1、构造一个平面，证相关元素在这个平面内；2、构造两个平面，证能确定平面的元素同在这两个平面内（同一法）。

例1．已知a//b, A∈a, B∈b, C∈b.

求证：a,b及直线AB，AC共面。

思路（1）：由a//b可确定平面α，再证ABα，ACα；

思路（2）：由a//b可确定平面α，由直线AB，AC可确定平面β。因为α，β都经过不共线的三点A、B、C，所以α，β重合。

思路（3）：在思路（2）中的平面β，还可以由不共线的A，B，C三点来构造，或者由点A与直线b来构造。

另外，同学们在书写证明过程的时候，一定要把公理及推论的题设交待清楚，建议同学们书写时注明理由，如下所示：

写法（一）：

证明：∵ a//b（已知） ∴ a,b确定一个平面α（推论3） ∵ A∈a, b∈b, c∈b（已知） ∴ A∈α，B∈α，C∈α ∴ 直线ABα，直线ACα（公理1）∴ a,b,AB,AC共面。

写法（二）：

证明：∵ a//b（知）∵ a,b确定一个平面α（推3） ∴ A∈α，B∈b, C∈b（已知）∴

a经过A，B，C三点，

∵ AB∩AC=A ∴ 直线AB，AC确定一个平面β（推论2） ∴ β经过A，B，C三点，

∵ A∈a,B∈b, C∈b, a//b（已知） ∴ A，B，C不共线 ∴ α与β重合（公理3） ∴ a, b，AB，AC共面。

关于同一法证题的思路，请同学们再看一道例题。

例2．如果三条互相平行的直线和同一条直线相交，求证：这四条直线共面。

1 平面、平面的基本性质及应用

一、平面的基本性质回顾

平面的基本性质包括三个公理、三个推论、其中公理3，推论1，推论2，推论3分别提供了构造平面的四种方法：

（1）选不共线的三点

（2）选一条直线与直线外一点

（3）选两条相交直线

（4）选两条平行直线

二、证明共面的两种方法：

1、构造一个平面，证相关元素在这个平面内；2、构造两个平面，证能确定平面的元素同在这两个平面内（同一法）。

下面我们来分析两道例题：

例1．已知a//b, A∈a, B∈b, C∈b.

求证：a,b及直线AB，AC共面。

思路（1）：由a//b可确定平面α，再证ABα，ACα；

思路（2）：由a//b可确定平面α，由直线AB，AC可确定平面β。因为α，β都经过不共线的三点A、B、C，所以α，β重合。

思路（3）：在思路（2）中的平面β，还可以由不共线的A，B，C三点来构造，或者由点A与直线b来构造。

另外，同学们在书写证明过程的时候，一定要把公理及推论的题设交待清楚，建议同学们书写时注明理由，如下所示：

写法（一）：

证明：

∵ a//b（已知）

∴ a,b确定一个平面α（推论3）

∵ A∈a, b∈b, c∈b（已知）

∴ A∈α，B∈α，C∈α，

∴ 直线ABα，直线ACα（公理1）

∴ a,b,AB,AC共面。

写法（二）：

证明：

∵ a//b（已知）

∵ a,b确定一个平面α（推论3）

∴ A∈α，B∈b, C∈b（已知）

∴ a经过A，B，C三点， 2 ∵ AB∩AC=A

∴ 直线AB，AC确定一个平面β（推论2）

∴ β经过A，B，C三点，

∵ A∈a,B∈b, C∈b, a//b（已知）

∴ A，B，C不共线，

平面的基本性质

一、知识梳理

一）平面

1．特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） ，平面是抽象出来的，只能描述，如平静的湖面，不能定义.一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分.

2．表示：一般用一个希腊字母、、……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如：平面，平面AC等.

3．画法：通常画平行四边形来表示平面

(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的2倍长，如图1（1）.

(2)直线与平面相交，如图1（2）、（3），：

（3）两个相交平面：画两个相交平面时，先定位，后交线，邻边依次添，若一个平面的一部分被另

一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2）.

4.点、线、面的基本位置关系如下表所示：

图形 符号语言 文字语言（读法）

Aa Aa 点A在直线a上.

Aa Aa 点A不在直线a上.

A A 点A在平面内.

A A 点A不在平面内.

baA abA 直线a、b交于A点. aβαBAβBAαβBAααβa图 2ABDCα lAα（1（2laβα（3a a 直线a在平面内.

a a 直线a与平面无公共点.

aA aA 直线a与平面交于点A.

l 平面、相交于直线l.

点可看成元素，直线和平面可看成集合，符号“∈”只能用于点与直线，点与平面的关系，“”和“”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言.

例1、将下列符号语言转化为图形语言：

（1）A，B，Al，Bl； （2）a，b，//ac，bcp，c.

说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）.

例2、将下列文字语言转化为符号语言：

（1）点A在平面内，但不在平面内；

（2）直线a经过平面外一点M；

《平面的基本性质与推论》学案

一、基本概念与定理

1、平面的画法，交叉平面的画法:

2、点、线、面关系的集合语言

A_____ D_____ FB______ FB______

______

练习：下列叙述及符号运用正确的是（ ）

A. PQQP B. PQQP

C. CDABDABCAB D. ABABAB

3、平面的基本性质1：

文字语言：如果一条直线上有______在同一平面内，则这条直线上的________都在该平面内。

图形语言：

练习：如图DCBA,,,四点在平面内，点FE,分别是直线BDAC,上的点，判断直线EF是否在平面内，并用符号语言写出证明。

4、平面的基本性质2：

文字语言：经过_______一条直线上的____点，有且只有一个平面。

图形语言：

推论1：文字语言：经过一条直线和直线_____的___点，有且只有一个平面。

图形语言：

推论2：文字语言：经过__________直线，有且只有一个平面。

图形语言： 推论3：文字语言：经过_____________直线，有且只有一个平面。

图形语言：

5、平面的基本性质3：

文字语言：如果不重合的两个平面有____个公共点，那么它们有_____条过这个点的________.

图形语言：

二、练习：1、如图，已知空间四边形ABCD，FE,分别是ADAB,的中点，HG,分别是CDBC,上的一点，且2HCDHGCBG，求证：ACFHEG,,相交于于同一点P。

2、如图，已知ABC的三个顶点都不在平面内，它的三边ACBCAB,,延长线后分别交平面于点RQP,,，求证：点RQP,,在同一直线上。