- 1 - - 2 - 绝密★启用前 2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 全国II卷 （全卷共12页） (适用地区：贵州,甘肃,青海,西藏,黑龙江,吉林,辽宁,宁夏,新疆,内蒙古,云南,重庆,陕西,海南) 注意事项： 1． 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。 2． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4． 考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。 第I卷 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 （1） 已知immz)1()3(−++=在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是 （A）（3−,1） （B）（1−,3） （C）（1,+） （D）（−,3−） （2） 已知集合3,2,1=A，ZxxxxB−+=，0)2)(1(，则=BA （A）1 （B）2,1 （C）3,2,1,0 （D）3,2,1,0,1− （3） 已知向量),1(ma=，)2,3(−=b且bba⊥+)(，则=m （A）8− （B）6− （C）6 （D）8 （4） 圆0138222=+−−+yxyx的圆心到直线01=−+yax的距离为1，则=a （A）34− （B）43− （C）3 （D）2 （5） 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （A）24 （B）18 （C）12 （D）9 - 3 - - 4 - （6） 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A）20π （B）24π （C）28π （D）32π （7） 若将函数xy2sin2=的图像向左平移12个单位长度，则平移后图像的对称轴为 （A）)(62Zkkx−= （B）)(62Zkkx+= （C）)(122Zkkx−= （D）)(122Zkkx+= （8） 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2=x，2=n,依次输入的a为2，2，5，则输出的=s （A）7 （B）12 （C）17 （D）34 （9） 若53)4cos(=−，则=2sin （A）257 （B）51 （C）51− （D）257− （10） 以从区间1,0随机抽取n2个数nnyyyxxx，,,,,,,2121，构成n个数对),(),,(),,(2211nnyxyxyx，，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 （A）mn4 （B）mn2 （C）nm4 （D）nm2 否 是 0,0==sk nk 输入nx, 输出s 开始 结束 输入a 1+=+=kkaxss - 5 - - 6 - （11） 已知21,FF是双曲线E：12222=−byax的左,右焦点，点M在E上，1MF与x轴垂直，31sin12=FMF，则E的离心率为 （A）2 （B）23 （C）3 （D）2 （12） 已知函数))((Rxxf满足)(2)(xfxf−=−，若函数xxy1+=与)(xfy=图像的交点为),(,),,(),,(2211mmyxyxyx，则=+=miiiyx1)( （A）0 （B）m （C）m2 （D）m4 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)～(21)题为必考题，每个试题都必须作答。第(22)～(24)题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。 （13） ABC△的内角CBA,,的对边分别为cba,,，若1,135cos,54cos===aCA，则=b ． （14） ,是两个平面，nm,是两条直线，有下列四个命题： ①如果nm⊥，⊥m，//n，那么⊥． ②如果⊥m，//n，那么nm⊥． ③如果//，m，那么//m． ④如果nm//，//，//n，那么m与所成的角和n与所成的角相等． 其中正确的命题有 ．（填写所有正确命题的编号） （15） 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ． （16） 若直线bkxy+=是曲线2ln+=xy的切线，也是曲线2ln+=xy的切线，则=b ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分12分） nS为等差数列na的前n项和，且28,171==Sa．记nnablg=，其中x表示不超过x的最大整数，如09.0=，199lg=. （Ⅰ）求101111,,bbb； （Ⅱ）求数列nb的前1000项和. - 7 - - 8 - （18） （本小题满分12分） 某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续 保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 保 费 a85.0 a a25.1 a5.1 a75.1 a2 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 0 1 2 3 4 5 概 率 30.0 15.0 20.0 20.0 10.0 05.0 （Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； （Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． （19） （本小题满分12分） 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，5=AB，6=AC，点FE,分别在CDAD,上，45==CFAE，EF交BD于点H.将DEF△沿EF折到EFD△的位置，10=DO. （Ⅰ）证明：⊥HD平面ABCD； （Ⅱ）求二面角CADB−−的正弦值． OHDFABCED′- 9 - - 10 - （20） （本小题满分12分） 已知A是椭圆E：1322=+ytx的左顶点，斜率为)0(kk的直线交E于MA,两点，点N在E上，NAMA⊥. （Ⅰ）当4=t，ANAM=时，求AMN△的面积； （Ⅱ）当ANAM=2时，求k的取值范围. （21） （本小题满分12分） （Ⅰ）讨论函数xexxxf22)(+−=的单调性，并证明当0x时， 02)2(++−xexx； （Ⅱ）证明：当)1,0[a时，函数)0()(2−−=xxaaxexgx有最小 值．设)(xg的最小值为)(ah，求函数)(ah的值域． - 11 - - 12 - 请考生在第（22）～（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 （22） （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，在正方形ABCD中，GE,分别在边DCDA,上（不与端点重 合），且DGDE=,过D点作CEDF⊥,垂足为F. （Ⅰ）证明：FGCB,,,四点共圆； （Ⅱ）若1=AB，E为DA的中点，求四边形BCGF的面 （23） （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为25)6(22=++yx. （Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐 标方程； （Ⅱ）直线l的参数方程是==,sin,costytx（t为参数），l与C交于BA,两 点，10=AB，求l的斜率. FEBCDAG- 13 - - 14 - （24） （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数2121)(++−=xxxf，M为不等式2)(xf的解集. （Ⅰ）求M； （Ⅱ）证明：当Mba,时，abba++1. - 15 - - 16 - 2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 全国II卷 试题答案 一、选择题： （1）A （2）C （3）D （4）A （5）B （6）C （7）B （8）C （9）D （10）C （11）A （12）C 二、填空题 (13) 2113 (14) ②③④ （15）1和3 （16）1ln2− 三、解答题 （17）（本题满分12分） （Ⅰ）设{}na的公差为d，据已知有72128d+=，学.科.网解得1.d= 所以{}na的通项公式为.nan= 111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101]2.bbb====== （Ⅱ）因为0,110,1,10100,2,1001000,3,1000.nnnbnn== 所以数列{}nb的前1000项和为1902900311893.++= （18）（本题满分12分） （Ⅰ）设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55.PA=+++= （Ⅱ）设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15.PB=+= 又()()PABPB=，故()()0.153(|).()()0.5511PABPBPBAPAPA==== 因此所求概率为3.11 （Ⅲ）记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为 X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 0.850.300.151.250.201.50.201.750.1020.051.23EXaaaaaaa=+++++= 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23 （19）（本小题满分12分） （I）由已知得ACBD⊥，ADCD=，又由AECF=得AECFADCD=，故//ACEF. 因此EFHD⊥，从而'EFDH⊥.由5AB=,6AC=得2204DOBABAO==−=. - 17 - - 18 - 由//EFAC得14OHAEDOAD==.所以1OH=，'3DHDH==. 于是1OH=，'222'23110DHOHDO+=+==， 故'DHOH⊥. 又'DHEF⊥，而OHEFH=， 所以'DHABCD⊥平面. （II）如图，以H为坐标原点，HF的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系Hxyz−，则()0,0,0H，()3,2,0A−−，()0,5,0B−，()3,1,0C−，()'0,0,3D，(3,4,0)AB=−，()6,0,0AC=，()'3,1,3AD=.设()111,,mxyz=是平面'ABD的法向量，则'00mABmAD==，即11111340330xyxyz−=++=，所以可以取()4,3,5m=−.设()222,,nxyz=是平面'ACD的法向量，则'00nACnAD==，即222260330xxyz=++=，所以可以取()0,3,1n=−.于是1475cos,255010mnmnmn−====， 295sin,25mn=.因此二面角'BDAC−−的正弦值是29525. （20）（本小题满分12分） （I）设()11,Mxy，则由题意知10y，当4t=时，E的方程为22143xy+=，()2,0A−. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为4.因此直线AM的方程为2yx=+. 将2xy=−代入22143xy+=得27120yy−=.解得0y=或127y=，所以1127y=. 因此AMN的面积11212144227749==. （II）由题意3t，0k，(),0At−.
