椭圆及椭圆弧的绘制

椭圆弧长度的上下界

在不等式研究群里，辽宁医科大学的李明老师提到“去年开不等式会，江苏师范大学张晗方教授跟我说，椭圆弧难算，寻求椭圆弧的初等、简洁的、高精度的表达式有一定的学术意义”！基于这个考虑，笔者应用比较初等的方法，研究了椭圆弧的近似计算问题，得到了椭圆弧长的上、下界. 并由此得出了椭圆周长的上、下界.

为此，笔者先给出椭圆弧L的参数方程：

sincosxayb， 其中()(), 0.ab ①

将其弧长记为(,)L，也可简记为.L

为得到长度L近似计算公式，我们有:

引理1. 对于,,q,,xpR 成立不等式222cos|sinsin()|.ppqqpxqx

证明： 2222cos[sinsin()]ppqqpxqx

2222(1sin)2[cos()sinsin()][1sin()]pxpqxxxxqx

22222cos2coscos()cos()[coscos()]0,pxpqxxqxpxqx

于是引理得证. .由它不难得到222cossinsin()ppqqpxqx ②

引理2. 方程①确定的椭圆的弧长bd

引理3. 方程①确定的椭圆弧长222212cos,2Luuvvd

其中,.22ababuv

证明：在由引理2中设,,auvbuv 即,.22ababuv

于是有L22222222()cos()sin2(cossin),uvuvduuvvd

可见222cos2,Luuvvd 作积分换元2,t 得到

数学中常⽤⼏何画板绘制椭圆

圆锥曲线是⾼中数学的重点和难点，也是历来⾼考的必考内容，所以对于⾼中⽣来说，弄懂圆锥曲线这块难啃的⾻头，是很有必要的。其中要熟练掌握的圆锥曲线之⼀就是椭圆，它是圆锥与平⾯的截线，其实要想画出椭圆，其⽅法不⽌⼀种，下⾯就⼀起来通过学学椭圆的五种画法。

⽅法⼀、利⽤椭圆第⼀定义构造椭圆

椭圆第⼀定义：平⾯内到两个定点的距离之和等于定长2a（a>0）的点的轨迹就是椭圆，按照此定义可画出椭圆，具体步骤如下：1.单击“圆⼯具”，在画板的适当位置任意画⼀个圆，将圆⼼的标签改为F1。单击“点⼯具”，在圆上任意画⼀点C，同时选中点F1和点C，执⾏“构造”-“线段”命令，构造出线段F1C。单击“点⼯具”，在线段F1C任意画⼀点F2。2.在圆上任意画⼀点E，并构造线段EF1和线段EF2。选中线段EF2，执⾏“构造”-“中点”命令，构造线段EF2的中点F。

3.选中线段EF2和点F，执⾏“构造”-“垂线”命令，构造出线段EF2的垂直平分线j。同时选中线段EF1和直线j，选择“构造”-“交点”命令，构造线段EF1和直线j的交点G。4.选中点G和点E（把点E称做是点G的相关点，改变G点的位置，点E的位置也跟着改变），选择“构造”-“轨迹”命令，可画出椭圆。拖动点B和点F2可改变椭圆的形状。

⽅法⼆、利⽤椭圆第⼆定义画椭圆

椭圆的第⼆定义：设动点M（x， y）与定点F(c, 0)的距离和它到定直线l： x＝a2/c的距离的⽐是常数（a>c>0），则点M的轨迹是椭圆。点F是椭圆的⼀个焦点，直线l是椭圆中对应于焦点F的准线，常数e＝c/a（0

步骤⼀ 打开⼏何画板，使⽤“点⼯具”画任意⼀点F，使⽤“线⼯具”画直线L（点F不在L上）。过点F作⼀条直线，在直线上取⼀点P；步骤⼆选中点F、P执⾏“度量”--“距离”命令，度量FP的长度；选中点F和度量的FP的长度，执⾏“构造”--“以圆⼼和半径绘圆”构造以点F为圆⼼，FP为半径的圆。新建参数e=0.8（可改为其他⼩于1的正数），计算FP/e的值；步骤三 过点P作直线L的垂线，交直线L与点M；以M为圆⼼，FP/e的值为半径作圆，交垂线于N点，过N作直线L的平⾏线，交圆F于A、B两点；步骤四 选中A、B两点，执⾏“显⽰”--“追踪交点”命令，⿏标选中点P并拖动点P在直线PF上任意移动可得椭圆⽅程，也就得到了椭圆，如下图所⽰。⽅法三、利⽤椭圆参数⽅程画椭圆

第五课时 ----圆、圆弧、椭圆、椭圆弧

本课重点与难点：

圆的绘制及绘制的几种形式。

圆弧的绘制。

椭圆与椭圆弧的绘制。

一、圆命令（C）

2.在绘图菜单下单击圆命令

3.直接在命令中输入快捷键C

绘制圆的几种形式

通过指定圆心和半径或直径绘制圆的步骤：在命令栏中输入快捷键 为C，指定圆心，指定半径或直径

创建与两个对象相切的圆的步骤：选择CAD中“切点”对象捕捉模式 在命令栏中输入快捷键 为C，点击T，选择与要绘制的圆相切的第一个对象，选择与要绘制的圆相切的第二个对象，指定圆的半径

三点（3P）通过单击第一点、第二点、第三点确定一个圆。

相切、相切、相切（A）相切三个对象可以画一个圆。

二点（2P）两点确定一个圆

在“绘图”菜单中提供了6种画圆方法

二、圆弧命令（A）

绘制方式：1.直接在绘图工具栏上点击圆弧按纽

2.在绘图菜单下单击圆弧命令

3.直接在命令中输入快捷键A

绘制弧的几种形式:绘图菜单中提供了11种方式.

通过指定三点的绘制圆弧方法：确定弧的起点位置，确定第二点的位置，确定第三点的位置

通过指定起点，圆心，端点绘制圆弧方法

己知起点，中心点和端点，可以通过首先指定起点或中心点来绘制圆弧，中心点是指圆弧所在圆的圆心

通过指定起点，圆心，角度绘制圆弧方法，如果存在可以捕捉到的起点和圆心点，并且己知包含角度，使用“起点，圆心，角度”或“圆心，起点，角度”选项

如果己知两 个端点但不能捕捉到圆心，可以使用“使用，端点，角度”法

通过指定起点，圆心，长度绘制圆弧方法“，如果可以捕捉到的起点和中心点，并且己知弦长，可使用”起点，圆心，长度“或圆心，起点，长度”选项（弧的弦长决定包含角度）

三、椭圆命令（EL）

绘制方式: 1.直接在绘图工具栏上点击椭圆按纽

2.在绘图菜单下单击椭圆命令

3.直接在命令中输入快捷键EL

绘制椭圆两种方法

如何在CDR中应用椭圆工具绘制椭圆

在使用椭圆工具组绘制椭圆的过程中，用户可以通过指定高度和宽度来绘制椭圆，并可以在其属性栏上设置其饼形或弧形。

1、选取工具箱中的“椭圆形工具”，或者按“F7”键，在绘图页面的合适位置按住鼠标左键，拖动到合适的位置，释放鼠标左键即可绘制椭圆图形。

2、在绘制椭圆过程中，按住“CTRL”键的同时所绘制的是正圆。

3、按住“shift”键的同时所绘制的是以起点为中心的椭圆；按住“CTRL

shift”组合键的同时所绘制的是以起始点为中心的圆形。

4、在椭圆绘制过程中，选取工具箱中的形状工具，单击其中的一个节点拖曳，如果鼠标指针在饼形内拖曳，则只是改变饼形的角度。

5、在椭圆绘制过程中，选取工具箱中的形状工具，单击其中的一个节点拖曳，如果鼠标指针在饼形外拖曳，则是将饼形转换为弧形，并一起改变弧形的角度。

6、选取工具箱中的“椭圆形工具”或按“F7”键，在绘图页面的合适位置按住鼠标左键并拖曳绘制一个椭圆，释放鼠标左键，在其属性栏上单击“饼形”按钮，可以将椭圆转换为饼形。然后在其属性栏上单击“弧形按钮”。可以饼形转换为弧形。

7、选取工具箱中的“椭圆形工具”，选取绘图页面中的饼形，在其属性栏中的“起始角度”和“结束角度”两个微调框中，“起始角度”微调框用来调整起始角度，“结束角度”微调框用来调整结束角度，饼形的起始角度和结束角度发生改变。弧形也可以同样操作来调整角度。