2002年全国高中数学联赛试题及详细解析

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说明：

1． 评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设6分的0分两档，填空题只设9分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再啬其他中间档次。

2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。

一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）

1、 函数f(x)=)32(log221xx的单调递增区间是

(A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞)

2、 已知两个实数集合A={a1, a2, … , a100}与B={b1, b2, … , b50}，若从A到B的映射f使得B中的每一个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)，则这样的映射共有

(A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 4999C

3、 由曲线x2=4y, x2= 4y, x=4, x= 4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1，满足x2+y2≤16, x2+(y-2)2≥4, x2+(y+2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则[来源:]

(A) V1=21V2 (B) V1=32V2 (C) V1=V2 (D) V1=2V2

二、 填空题（本题满分54分，每小题9分）

4、 已知复数Z1,Z2满足|Z1|=2, |Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则2121zzzz= 。

5、 将二项式nxx)21(4的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展

2 开式中x的指数是整数的项共有 个。

[来源:Z*xx*]

[来源:Z|xx|]

三、 解答题（本题满分60分，每小题20分）

6、 已知点A(0,2)和抛物线y=x2+4上两点B、C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围。

7、 如图，有一列曲线P0, P1, P2, ……，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作得到的：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,3,…)，记Sn为曲线Pk所围成图形面积。

①求数列{Sn}的通项公式；②求nnSlim。

8、 设二次函数f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R,a≠0)满足条件：

① 当x∈R时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；

② 当x∈(0,2)时，f(x)≤2)21(x P9 P1

P2

P3 P4

P5 P6 P7

P8 P10

P0

P1 P2

3 ③ f(x)在R上的最小值为0。

求最大值m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x

二○○二年全国高中数学联合竞赛加试试题

参考答案及评分标准

说明：

1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分；

2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，可以10分为一个档次，不要再增加其它中间档次。

三、（本题满分50分）

在世界杯足球赛前，F国教练为了考察A1,A2,…,A7这七名，准备让他们在三场训练比赛(每场90分钟)都上场，假设在比赛的任何时刻，这些中有且仅有一人在场上，并且A1,A2,A3,A4每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除，如果每场换人次数不限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况。

4 2002全国高中数学联赛答案 一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1、函数f(x)=)32(log221xx的单调递增区间是

(A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D)

(3，+∞)

【答案】A

【解析】由x2-2x-3>0x<-1或x>3，令f(x)=u21log, u= x2-2x-3，故选A

2、 函数f(x)=221xxx

(A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数

(C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数[来源:学科网]

【答案】A

【解析】直接根据奇偶函数的定义解答。

S=11OBPOAPSS=cos4321sin3421=6(sin+cos)=)4sin(26

∴Smax=62

∵S⊿OAB=6

∴626)(max1ABPS

∵626<3

∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，故选B

x y

O A B P1

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6、由曲线x2=4y, x2=

4y, x=4, x= 4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1，满足x2+y2≤16, x2+(y-2)2≥4, x2+(y+2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则

(A) V1=21V2 (B) V1=32V2 (C) V1=V2 (D) V1=2V2

四、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7、已知复数Z1,Z2满足|Z1|=2, |Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则2121zzzz= 。

【答案】7133

【解析】由余弦定理得|Z1+Z2|=19, |Z1Z2|=7,

2121zzzz=7133

6 8、将二项式nxx)21(4的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项共有 个。

【答案】3 【解析】不难求出前三项的系数分别是)1(81,21,1nnn，

∵)1(811212nnn

∴当n=8时，43161)21(rrrnrxCT (r=0,1,2,…，8)

∴r=0,4,8,即有3个

9、如图，点P1,P2,…,P10分别是四面体点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(P1,

Pi, Pj, Pk)(1

10、已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1且对任意x∈R都有

f(x+5)≥f(x)+5 f(x+1)≤f(x)+1

若g(x)=f(x)+1x，则g(2002)= 。

11、若1)2(log)2(log44yxyx，则|x||y|的最小值是 。

【答案】3 P9 P1

P2

P3 P4

P5 P6 P7

P8 P10

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12、使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是 。

【答案】(-∞,-2]

四、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13、已知点A(0,2)和抛物线y=x2+4上两点B、C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围。

【解析】设B点坐标为B(y124,y1)，C点坐标为C(y24,y)

显然y124≠0，故21421211yyykAB

∵AB⊥BC

∴KBC= (y1+2)

∴4)]4()[2(22111xyyxyyy

(2+y1)(y+y1)+1=0

8 y12+(2+y)y1+(2y+1)=0

∵y1∈R

∴⊿≥0y≤0或y≥4

∴当y=0时，点B的坐标为(-3，-1)；当y=4时，点B的坐标为(5，3)，均满足题意。

故点C的纵坐标的取值范围为(-∞,0]∪[4,+∞)

14、如图，有一列曲线P0, P1, P2, ……，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作得到的：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,3,…)，记Sn为曲线Pk所围成图形面积。

①求数列{Sn}的通项公式；②求nnSlim。

下面用数学归纳法证明(※)式

当n=1时，由上面已知(※)式成立，

假设当n=k时，有Sk=k)94(5358 P0

P1 P2

9

当n=k+1时，易知第k+1次操作后，比较Pk+1与Pk，Pk+1在Pk的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为)1(231k，而Pk有3×4k条边。故

Sk+1=Sk+3×4k×)1(231k=1)94(5358k

综上所述，对任何n∈N，(※)式成立。

②58])94(5358[limlimnnnnS

15、设二次函数f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R,a≠0)满足条件：

①当x∈R时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；

②当x∈(0,2)时，f(x)≤2)21(x

③f(x)在R上的最小值为0。

求最大值m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x

∴m≤tt41≤)4(4)4(1=9

当t= -4时，对任意的x∈[1,9]，恒有

f(x4)x=41(x210x+9)=41(x1)(x9)≤0

∴m的最大值为9。

另解：∵f(x-4)=f(2-x)

∴函数的图象关于x= -1对称