弦长公式高中数学

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高中数学新课标中椭圆的常用结论

一、椭圆上距离焦点距离最近的点，最远的点是长轴的两个端点。 二、通径：

圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x轴为例，

弦AB

坐标：abcA2,，abcB2,

弦AB长度：abAB22

三、若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为.

推导：如图sin212121PFPFSFPF

根据余弦定理，得

cos =21221222PFPFFFPFPF

=2122121242)PFPFcPFPFPFPF

=2122122424PFPFcPFPFa

=21212224PFPFPFPFb

得cos12221bPFPF

sin212121PFPFSFPF=sincos12212b=cos1sin2b=2tan2b 12222byax21,FF21PFF21FPF2tan2b2

四、弦长公式

直线与圆锥曲线相交所得的弦长

直线具有斜率k,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)AxyBxy,则它的弦长2221212121211(1)()41ABxxxxxxyy2kkk

注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()yyxxk，运用韦达定理来进行计算.

当直线斜率不存在是,则12AByy.

五、圆锥曲线的中点弦问题：

(1)椭圆中点弦的斜率公式：

设00(,)Mxy为椭圆22221xyab弦AB（AB不平行y轴）的中点，则有：22ABOMbkka

证明：设11(,)Axy，22(,)Bxy，则有1212AByykxx，22112222222211xyabxyab

. 椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用

摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即212=1ABkxx或者2112=1+()kAByy，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：22222cosabABac，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.

下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.

解法一：根据弦长公式直接带入解决.

题：设椭圆方程为12222byax，左右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc，直线l过椭圆的右焦点2F交椭圆于1122(,),(,)AxyBxy两点，求弦长AB.

椭圆方程12222byax可化为0222222bayaxb……①，

直线l过右焦点，则可以假设直线为：xmyc(斜率不存在即为0m时)，代入①得：222222222()20bmaymcbybcab，整理得，222224()20bmaymcbyb

∴2412122222222,mcbbyyyybmabma，

∴2424222221122222222222244(1)=1+()1()1()kmcbbabmAByymmbmabmabma

∴2222221abABmbma

（1）若直线l的倾斜角为，且不为90,则1tanm，则有：

2222222222221111tantanababABmbmaba,

由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为22222cosabABac……②.

（2）若=90，则0m，带入2222221abABmbma,得通径长为22ba，同样满足②式.并且由

. 222232222222222222222222()222()2()21=22ababmaaabaabaabbABmaabmabmabmaaa,当且仅当0m即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为ab22，故可知通径是最短的焦点弦，.

初三数学正多边形和圆公式

正多边形和圆是中学数学学习中一个重要的课题，其中正多边形和圆的公式是学生必须掌握的知识点。

一、正多边形的公式

1、行心角公式：Σinterior angles = (n - 2 )×180°

其中，Σinterior angles表示角之和，n表示多边形内角的个数。

2、每内角度数公式：interior angle = (n - 2 )×180°/n

3、外角之和公式：Σexterior angles = 360°

其中，Σexterior angles表示外角之和。

4、外角度数公式：exterior angle= 360°/n

5、正多边形的周长公式：P= a × n

二、圆的公式

1、定义公式：圆：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

其中，a和b表示圆心坐标，r表示圆的半径。

2、圆的周长公式：C=2πr

3、圆的面积公式：S=πr^2

4、弦长公式：L=2πr × 角度

5、弦长公式：A=2πR × (1-cosα)

以上就是高中数学关于正多边形和圆的公式，希望可以帮助到大家学习和掌握。

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椭圆的弦长公式与中点弦问题

1.k为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?秒杀秘籍：椭圆的弦长公式与面积（不过焦点的弦）

椭圆22

2210,0xy

ab

ab

与直线l：ykxm

相交于AB两点，求AB的弦长。

设设：

1122,,,AxyBxy

则222

2

2121121214ABxxyykxxxx

将ykxm

代入22

221xy

ab

得：

22222222220bkaxakmxamab

2

12222

222

122222akm

xx

bka

amb

xx

bka





















2222

22

222

2112122222

1141abbkam

ABkxxkxxxxk

bka





例1：已知椭圆方程为1

222

yx

与直线方程

21

:xyl

相交于A、B两点，求AB的弦长

解解：设：

1122,,,AxyBxy

则222

2

2121121214ABxxyykxxxx

将1

2yx

代入2

21

2x

y

得：23

320

2xx12

122

3

1

2xx

xx

















2

2

21211

1

3ABkxx

椭圆与直线交点的判别式：

2222224abbkam

用来判断是否有交点问题。

面积问题：椭圆与直线mkxyl:

相交与两点，

00,yxC

为AB外任意一点，求

ABCS

。设C到l

的距

离为d

，则2222

0000

222

211

22

1ABCkxymkxymabbkam

SABdAB

bka

k







例2：已知椭圆C

:22

221xy

ab22

221(0)xy

ab

abAB、的一个顶点为(2,0)A

,离心率为2

2.直线(1ykx）

与

椭圆C

交于不同的两点M、N.(Ⅰ)求椭圆C

的方程;(Ⅱ)当△AMN得面积为10

3时,求k