弦长公式圆与直线

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1 / 2 例析圆中“弦长公式”的应用

当直线和圆相交时，得一个弦长（设为AB），根据圆的图形几何性质：半弦长、半径r，弦心距d构成直角三角形：222ABrd．在解答有关弦长问题时，若注意使用圆中这一特有的“弦长公式”，会突出几何直观性，减少运算量，有事半功倍的作用，例析如下：

一、 求公共弦长

例1 已知圆2212610Cxyxy和圆222:42110Cxyxy，

求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．

分析：因为两个圆的交点坐标同时满足两个圆的方程，联立方程组求得交点可得直线方程，但若应用圆系方程求弦所在的直线方程更为简洁，再利用弦长公式求出公共弦长．

解：如图1，设两圆的交点为1122()()AxyBxy，，，，则AB，两点的坐标是方程组2222261042110xyxyxyxy，的解，

两个式子相减，得3460xy．

由于AB，两点的坐标都满足此方程，

故3460xy为两圆的公共弦所在的直线方程．

易知圆1C的圆心为(13)，，半径为3r．

又1C到直线:3460ABxy的距离为22134369534d，

222292422355ABrd∴．

二、 求直线的方程

例2 (30)P，为圆2282120xyxy内一点，求过P点的最短的弦所在直线的方

程．

解析：过点(30)P，的直线有无数条，如图2，设其中一条与圆交于AB两点，若半径为r，圆心到直线的距离为d，

则根据圆的几何性质得到222ABrd，

则根据圆的几何性质得到222ABrd，

由于半径r是定值，弦AB最短时，应当是距离d最大，只有当(30)P，为弦AB中点时，才满足题意．

由圆2282120xyxy变形，得22(4)(1)5xy， word

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精品文档 直线截圆弦长问题—求弦长（一）

直线被圆截得的弦长问题，两种解题方法：

① 利用半径r、弦心距d和弦长的一半构成直角三角形，结合勾股定理进行求解.

② 斜率为k的直线l与圆C交与A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则AB=

1+k2 21xx（弦长公式）

1、 求直线l：2x-y-2=0被圆C:（x-3）2+y2=9截得的弦长AB的长。

2、 求直线l：3x-y-6=0被圆C:x2+y2-2x-4y=0截得的弦长AB的长。

3、 求圆心在（1，-2）、半径为2√5的圆在x轴上截得的弦长。

直线与圆弦长问题—求圆的方程（二）

1、已知圆的圆心在x轴上，半径是5，且以A(5,4)为中点的弦长是2√5,求这个圆的方程。

2、 已知圆的圆心为C（-1,3），直线3x+4y-7=0被圆截得的弦长为568，求圆的方程。

3、已知圆C的圆心在直线l1：x-y-1=0上，圆C与直线l2:4x+3y+14=0相切，且圆C截得直线l3:3x+4y+10=0所得的弦长为6，求圆的方程。

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直线圆弦长问题—求直线方程（三）

1、 已知过点M(-3，-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4√5，求直线l的方程。

2、 已知直线l经过点P(-4，-3),且被圆（x+1）2+（y+2）2=25所截得的弦长为8，求直线l的方程。

3.已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x-12y+24=0,若直线l过点P且被圆C截得的弦长为43 ,求直线l的方程

弦长公式

弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]

其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号

证明方法如下：

假设直线为:Y=kx+b

圆的方程为：(x-a)^2+(y-u)^2=r^2

假设相交弦为AB，点A为（点B为

则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^ 把y1=kx1+b.

y2=kx2+b分别带入,

则有：

AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2

=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2

=√1+k^2*│x1-x2│

证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1]

的方法也是一样的

证明方法二

d=√(x1-x2}^2+(y1-y2)^2

这是两点间距离公式

因为直线

y=kx+b

所以y1-y2=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)

将其带入

d=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2

得到

d=√(x1-x2)^2+[k(x1-x2)]^2

=√(1+k^2)(x1-x2)^2

=√(1+k^2)*√(x1-x2)^2

=√(1+k^2)*√(x1+x2)^2-4x1x2

公式二

抛物线y2=2px，过焦点直线交抛物

抛物线

线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2 y2=-2px,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚

x2=2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2

x2=-2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙y1+y2﹚ 公式三

直线与圆相交的弦长公式推导过程

直线与圆相交的弦长公式是指直线与圆相交时所形成的弦的长度。要推导出该公式，我们需要先从圆的性质出发，并结合几何性质进行推导。

首先，我们需要了解圆的一些基本概念和性质。圆是由一条不断延伸的曲线组成的，它的每个点与圆心的距离相等，这个距离称为半径。此外，圆上的点与圆心之间形成的线段称为弦。在这个过程中，我们引入了以下两个定义：

1. 笔直通过圆心的弦称为直径。直径的长度等于两个端点与圆心之间的距离的两倍。

2. 未通过圆心的弦称为弧。

现在，我们考虑一个直线与圆相交的情况。假设直线与圆的交点分别为A和B，圆上另一点为C。根据圆的性质，这三个点构成的线段AC、BC以及AB对应着三条弦。

现在，我们需要使用几何性质来推导弦长公式。首先，我们观察到弦AB与圆心O所对的两个角：∠AOB和∠ACB。根据几何性质，这两个角占据了同样的圆心角。由于一个圆心角对应一个弧，∠AOB所对应的弧AB与弦AB的长度是对应相等的。

接下来，我们观察∠ACB这个圆心角所对的弧AC。由于∠ACB没有过圆心O，弧AC与弦AB的长度是不对应的。但是，根据圆的性质，如果我们沿着弧AC逆时针旋转到弧BC，这个旋转的角度也是∠ACB所对应的角度。由此，我们可以推论出弧AC与弦BC的对应相等。

综上所述，我们得出结论：直线与圆相交时所形成的弦的长度相等。即弦AB = 弦BC。

最后，我们来推导出直线与圆相交的弦长公式。设弦AB的长度为x，则弦BC的长度也为x。根据定义，直径等于弦长的两倍。设直径的长度为d，则有2x = d。整理得到x = d/2。

所以，当直线与圆相交时所形成的弦的长度等于直径的一半。

通过以上的推导过程，我们得到了直线与圆相交的弦长公式的推导过程和相关参考内容，不涉及直接的链接。这个公式在解决与圆相关的几何问题时具有重要的应用价值。