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向量代数与空间解析几何习题详解

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第六章 向量代数与空间解析几何

习 题 6—3

1、已知)3,2,1(A，)4,1,2(B，求线段AB的垂直平分面的方程.

解：设),,(zyxM是所求平面上任一点，据题意有|,|||MBMA

222321zyx,412222zyx

化简得所求方程26270xyz.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.

2、 一动点移动时，与)0,0,4(A及xOy平面等距离，求该动点的轨迹方程.

解：设在给定的坐标系下，动点),,(zyxM，所求的轨迹为C，则(,,)MxyzCMAzuuur 亦即 zzyx222)4( 0)4(22yx从而所求的轨迹方程为0)4(22yx.

3、 求下列各球面的方程：

（1）圆心)3,1,2(，半径为6R； （2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(；

（3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(

解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(222zyx

（2）由已知，半径73)2(6222R，所以球面方程为49222zyx

（3）由已知，球面的球心坐标1235,1213,3242cba，

球的半径21)35()31()24(21222R，所以球面方程为：

21)1()1()3(222zyx

（4）设所求的球面方程为：0222222lkzhygxzyx

因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(，所以08160621008160khggl 解之得2210kghl

所求的球面方程为0424222zyxzyx.

4、将yOz坐标面上的抛物线22yz绕z旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．

解：222xyz(旋转抛物面) .

5、将zOx坐标面上的双曲线12222czax分别绕x轴和z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．

解： 绕x轴旋转得122222czyax 绕z轴旋转得122222czayx.

6、指出下列曲面的名称，并作图：

（1）22149xz；（2）22yz；（3）221xz ；（4）22220xyzx；

（5）222yxz；（6）22441xyz；（7）221916xyz；

（8）222149xyz；（9）1334222zyx；（10）2223122zyx.

解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物面；

（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面.

7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？

（1）1xy ；（2）422yx；（3）122yx；（4）22xy.

解：（1）1xy在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面；

（2）422yx在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面；

（3）122yx在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；

（4）yx22在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.

8、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？

（1）1994222zyx；（2）14222zyx（3）1222zyx；（4）222)(yxaz

解：（1）xOy平面上椭圆19422yx绕x轴旋转而成；或者 xOz平面上椭圆22149xz绕x轴旋转而成

（2）xOy平面上的双曲线1422yx绕y轴旋转而成；或者 yOz平面上的双曲线2214yz绕y轴旋转而成 （3）xOy平面上的双曲线122yx绕x轴旋转而成；或者 xOz平面上的双曲线221xz绕x轴旋转而成

（4）yOz平面上的直线ayz绕z轴旋转而成或者 xOz平面上的直线zxa绕z轴旋转而成.

9、 画出下列各曲面所围立体的图形：

（1）012243zyx与三个坐标平面所围成；（2）42,42yxxz及三坐标平面所围成；

（3）22=0,(0)=1zz=aa>,y=x,x+y及0x在第一卦限所围成；（4）2222,8zxyzxy所围.

解：（1）平面012243zyx与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；

（2）抛物柱面24zx与平面24xy及三坐标平面所围成；

（3）坐标面=0z、0x及平面(0)z=aa>、y=x和圆柱面22=1x+y在第一卦限所围成；

（4）开口向上的旋转抛物面22zxy与开口向下的抛物面228zxy所围.作图略.

习 题 6—4

1、画出下列曲线在第一卦限的图形

（1）21yx；（2）0422yxyxz；（3）222222azxayx

解：（1）是平面1x与2y相交所得的一条直线；

（2）上半球面224zxy与平面0xy的交线为14圆弧；

（3）圆柱面222xya与222xza的交线.图形略.

2、分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线0162222222yzxzyx的柱面方程.

解：消去x坐标得16322zy，为母线平行于x轴的柱面；

消去y坐标得：162322zx，为母线平行于y轴的柱面.

3、求在yOz平面以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.

解：0122xzy；01222xzyx； 1122222zyzyx.

4、试求平面20x与椭球面222116124xyz相交所得椭圆的半轴与顶点.

解：将椭圆方程22211612420xyzx化简为：221932yzx，可知其为平面2x上的椭圆，半轴分别为3,3，顶点分别为)3,0,2(),3,0,2(),0,3,2(),0,3,2(.

5 、将下面曲线的一般方程化为参数方程

（1）2229xyzyx； （2）04)1()1(22zzyx

解：（1）原曲线方程即：199222zxxy，化为tzttytxsin3)20(cos23cos23；

（2）)20(0sin3cos31zyx.

6、求螺旋线bzayaxsincos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.

解：0222zayx；0sinxbzay；0cosybzax.

7、指出下列方程所表示的曲线

（1）222253xyzx （2）13094222zzyx；

（3）3254222xzyx； （4）408422yxzy； （5）0214922xzy.

解：（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线； （4）抛物线； （5）双曲线.

8、 求曲线30222zxzy在xOy面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线.

解：原曲线即：3922zxy，是位于平面3z上的抛物线，在xOy面上的投影曲线为0922zxy

9、 求曲线

211222zzyx在坐标面上的投影. 解：（1）消去变量z后得,4322yx在xOy面上的投影为,04322zyx它是中心在原点，半径为23的圆周.

（2）因为曲线在平面21z上，所以在xOz面上的投影为线段.;23||,021xyz

（3）同理在yOz面上的投影也为线段..23||,021yxz

10、 求抛物面xzy22与平面 02zyx的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.

解： 交线方程为0222zyxxzy，（1）消去z得投影,004522zxxyyx

（2）消去y得投影2252400xzxzxy，（3）消去x得投影22200yzyzx.

习 题 6—5

1、写出过点3,2,10M且以1,2,2n为法向量的平面方程.

解：平面的点法式方程为032212zyx.

2、求过三点01,0,0,1,0,0,0,1CBA的平面方程.

解：设所求平面方程为0dczbyax,将CBA,,的坐标代入方程，可得

dcba，故所求平面方程为1zyx.

3、求过点1,0,0且与平面1243zyx平行的平面方程.

解：依题意可取所求平面的法向量为}2,4,3{n,从而其方程为

0120403zyx 即 2243zyx.

4、求通过x轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解：平面通过x轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x轴, 即A=0; 另一方面表明它必通过原点, 即D=0. 因此可设这平面的方程为By+Cz=0.又因为这平面通过点(4, -3, -1), 所以有-3B-C=0, 或C=-3B . 将其代入所设方程并除以B (B0), 便得所求的平面方程为y-3z=0.

5、求过点)1,1,1(，且垂直于平面7zyx和051223zyx的平面方程.

解：},1,1,1{1n }12,2,3{2n取法向量},5,15,10{21nnn所求平面方程为化简得: .0632zyx

6、设平面过原点及点)1,1,1(，且与平面8xyz垂直，求此平面方程.

解： 设所求平面为,0DCzByAx由平面过点)1,1,1(知平0,ABCD由平面过原点知0D，{1,1,1},nrQ 0ABC,0ACB，所求平面方程为0.xz

7、写出下列平面方程：

（1）xOy平面；（2）过z轴的平面；（3）平行于zOx的平面；（4）在x，y，z轴上的截距相等的平面.

解：（1）0z,（2）0byax（ba,为不等于零的常数）,

、（3）cy (c为常数), （4） azyx (0)a.

习 题 6—6

1、求下列各直线的方程：

（1）通过点)1,0,3(A和点)1,5,2(B的直线；

（2） 过点1,1,1且与直线433221zyx平行的直线.

（3）通过点)3,51(M且与zyx,,三轴分别成120,45,60的直线；

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高等数学 向量代数与空间解析几何题【精选文档】

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高等数学 向量代数与空间解析几何题

第五章 向量代数与空间解析几何

5。1。1 向量的概念

例1 在平行四边形中，设＝a，＝b.试用a和b表示向量、、和,这里是平行四边形对角线的交点（图5－8）

解 由于平行四边形的对角线互相平行，所以 a＋b＝＝2

即 －(a＋b）＝2

于是 ＝（a＋b)。

因为＝－，所以（a＋b）。 图5－8

又因－a＋b＝＝2，所以＝（b－a）.由于＝－，＝（a－b）.

例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）v.设n为垂直于S的单位向量(图5－11（a)）,计算单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为）。

（a） （b）

图5－11

解 该斜柱体的斜高｜ v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角，所以这柱体的高为｜ v ｜cos，体积为 A｜ v ｜cos=Av·n。

从而，单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量为

P= Av·n.

例3 设的三条边分别是a、b、c(图5－15)，试用向量运算证明正弦定理

证明 注意到CB=CA+AB，故有

CBCA=(CA+AB) CA=CACA+ABCA

=ABCA

=AB(CB+BA） =ABCB

图5－15

于是得到 CBCA=ABCA =ABCB

从而 |CBCA|=|ABCA| =｜ABCB|

即 absinC＝cbsinA＝casinB

所以

5。2 点的坐标与向量的坐标

例1 已知点A(4，1，7）、B(-3，5,0）,在y轴上求一点M，使得|MA｜=|MB｜。

解 因为点在y轴上,故设其坐标为，则由两点间的距离公式,有

解得，故所求点为

例2 求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.

解 因为

所以，即△为等腰三角形。 高等数学 向量代数与空间解析几何题

高等数学A1第八章：空间解析几何和向量代数 习题解析

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1．自点0000,,zyxP分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。

解：按作图规则作出空间直角坐标系，作出如图平行六面体。

xoyDP0平面，垂足D的坐标为0,,00yx；

yozEP0平面，垂足E的坐标为00,,0zy；

zoxFP0平面，垂足F的坐标为00,0,zx；

xAP0轴，垂足A的坐标为0,0,0x；yBP0轴，垂足B的坐标为0,,00y；

zCP0轴，垂足C的坐标为0,0,0z。

2．在yoz平面上，求与三点2,1,3A、2,2,4B和1,5,0C等距离的点。

解：设所求点为,,,0zyP 则

2222213||zyPA， 2222224||zyPB，22215||zyPC。

由于P与A、B、C三点等距，故222||||||PCPBPA，

于是有：22222222221522415213zyzyzyzy， 解此方程组，得1y，2z，故所求的点为2,1,0P。

3．已知2,2,21M，0,3,12M，求21MM的模、方向余弦与方向角。

解：由题设知：,2,1,120,23,2121MM 则

,221122221MM z

C 00,,0zyE

00,0,zxF 0000,,zyxP

y

O B

北大版高等数学第五章 向量代数与空间解析几何答案 习题5.1

北大版高等数学第五章 向量代数与空间解析几何答案 习题5.1

1 习题5.1

1.,,,,,().11,,().22ABCDABADACDBMAMACDBMAAMAC设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点解ab.abababab

2.,1().211221().2MABOOMOAOBOMOAAMOAABOAOBOAOAOB设为线段的中点,为空间中的任意一点证明证

3.,,1().3221()3321(),31(),3MABCOOMOAOBOCOMOAAMOAADOAABACOAABACOMOBBABCOMOC设为三角形的重心为空间中任意一点证明证1().313,().3CACBOMOAOBOCOMOAOBOC

4.,1,().41(),211(),(),221().24ABCDMOOMOAOBOCODOMOAAMOAABADOMOBBAADOMOCBADAOMODABDAOMOAOBOCOD设平行四边形的对角线交点为为空间中的任意一点证明证1,().4OMOAOBOCOD

2 2222225.?(1)()();(2)();(3)()().(1).:()().(2).:()0,1.(3),6.0对于任意三个向量与判断下列各式是否成立不成立例如,不成立例如,成立都是与组成的平行六面体的有向体积利用向量证明三角形两边中点的连线平行解a,bc,abcbcaabababccababic=j.abc=j,bca=aibj,ababa,bc.,112211().22DEDAAEBAACBAACBC于第三边并且等于第三边长度之半.证

空间解析几何与向量代数习题资料讲解

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(一)选择题

1. 已知A(1,0,2), B(1,2,1)是空间两点，向量 AB的模是：（ ）

A ）5 B） 3 C） 6 D）9

2. 设a={1,-1,3}, b={2,-1,2}，求c=3a-2b是：（ ）

A ）{-1,1,5}. B） {-1,-1,5}. C） {1,-1,5}. D）{-1,-1,6}.

3. 设a={1,-1,3}, b={2,-1,2}，求用标准基i, j, k表示向量c;

A ）-i-2j+5k B）-i-j+3k C）-i-j+5k D）-2i-j+5k

4. 求两平面032zyx和052zyx的夹角是：（ ）

A ）2 B）4 C）3 D）

5. 一质点在力F=3i+4j+5k的作用下，从点A（1,2,0）移动到点B(3,

2,-1)，求力F所作的功是：（ ）

A ）5焦耳 B）10焦耳 C）3焦耳 D）9焦耳

6. 已知空间三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B（2，1，2），求∠AMB是：（ ）

A ）2 B）4 C）3 D）

7. 求点)10,1,2(M到直线L：12213zyx的距离是：（ ）

A ）138 B118 C）158 D）1

8. 设,23,aikbijkrrrrrrr求abrr是：（ ）

A ）-i-2j+5k B）-i-j+3k C）-i-j+5k D）3i-3j+3k