空间解析几何与向量代数

空间解析几何与向量代数

呼伦贝尔学院

计算机科学与技术学院

服务外包一班

2013级

2014.5.4

小组成员：

宋宝文

柏杨 白鸽

李强 白坤龙

空间解析几何与向量代数

摘要：深入了解空间解析几何与向量代数的概念，一一讲述他们的区别和用途。向量的集中加减乘法和运算规律，还有空间直线与平面的关系。

关键词：向量；向量代数；空间几何

第一部分：向量代数

第一节：向量

一.向量的概念：

向量：既有大小，又有方向的量成为向量（又称矢量）。

表示法：有向线段a或a。

向量的模:向量的打小，记作|a|。

向径（矢径）：起点为原点的向量。

自由向量：与起点无关的向量。

单位向量：模为1的向量。

零向量：模为0的向量，记作.0或0

若向量a与b大小相等，方向相同，则称a与b相等，记作a=b；

若向量a与b方向相同或相反，则称a与b平行，记作a//b

规定：零向量与任何向量平行；与a的模相同，但方向相反的向量称为a的负向量，记作-a；因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称两向量共线。若K3个向量经平移可移到同一平面上，则称此K个向量共面。

二.向量的线性运算

1.向量的加法

平行四边形法则：

b

a+b

a

三角形法则：

a+b b a

运算规律：交换律a+b=b+a a与b

结合律：（a+b）+c=a+（b+c）

三角形法则可推广到多个向量相加。

2.向量的减法

b-a=b+（a）

a

b-a

b b-a

a

特别当b=a时，有a-a=a（a）=0；

三角不等式：|b+a |； |a-b|；

3.向量与数的乘法是一个数，与a的乘积是一个新向量，记作a。

规定： a与a同向时，|a|=|a|；

总之：|a| | |a|

三.向量的模、方向角

1.向量的模与两点间的距离公式

80 习题5.1

1. 在4R中，求向量α,β之间的夹角，设

（1）(2,1,3,2),(1,2,2,1)TTαβ；

（2）(1,2,2,3),(3,1,5,1)TTαβ.

解 （1）由于,22620,αβ故夹角,arccos.2αβαβ；

（2）32,6,αβ,3210318,αβ故夹角,arccos.4αβαβ

2. 求一单位向量，使它与已知向量1(2,3,1)Tα及2(2,1,1)Tα都正交.

解 设123(,,)Txxxx，则由10Txα，20Txα得12312323020xxxxxx，解得(1,2,4)Tkx，因1Txx，故得1(1,2,4)21Tx.

3. 设(2,1,3,2),(1,2,1,1)TTαβ，求两个正交的单位向量，使它们与α,β都正交.

解 先求与α,β都正交的两个线性无关的向量，设为1234(,,,)Txxxx，由12341234232020xxxxxxxx，解得12(1,0,0,1)(7,5,3,0)TTxx，将它们正交化

111222111(1,0,0,-1);(,)777(7,5,3,0)(1,0,0,1)(,5,3,).(,)222TTTTβxβxβxβββ

取12(1,0,0,1),(7,10,6,7)TTββ，再单位化得

12111(,0,0,),(7,10,6,7)22234Tεε.

4. 设B是秩为2的54矩阵，123(1,1,2,3),(1,1,4,1),(5,1,8,9)TTTααα是齐次线性方程组Bx0的解向量，求Bx0的解空间的一组标准正交基.

解 因()RB=2，故解空间的维数是2，又12,αα无关，则12,αα是解空间的一组基.取 81 11(1,1,2,3)Tβα，则与1β正交的向量

第8章 空间解析几何与向量代数

教学目的：

1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌

握两个向量垂直和平行的条件。

3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练

掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、掌握平面方程和直线方程及其求法。

5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会

利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问

题。

6、会求点到直线以及点到平面的距离。

7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求

以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。

9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

教学重点：

1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运

算；

2、两个向量垂直和平行的条件；

3、平面方程和直线方程；

4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判

定条件；

5、点到直线以及点到平面的距离；

6、常用二次曲面的方程及其图形；

7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；

8、空间曲线的参数方程和一般方程。

教学难点：

1、向量积的向量运算及坐标运算，数量积和向量积的运算；

2、平面方程和直线方程及其求法；

3、空间曲线在坐标面上的投影

4、点到直线的距离；

5、二次曲面图形；

6、旋转曲面及柱面的方程。主要外语词汇：

Vector, Mold, Direction Cape, Direction cosine, The quantity

accumulate，The vector accumulate, Curved face square distance, Revolve

curved face，Pillar noodles, Curves, Equations, Plane, Straight line.

空间解析几何与向量代数

空间解析几何与向量代数是数学中的两个重要分支，它们分别从几何和代数的角度，研究了空间中点、线、面的性质，以及向量的运算与性质。本文将介绍空间解析几何与向量代数的基本概念、性质以及它们在数学和物理中的应用。

一、空间解析几何

空间解析几何是以坐标系为基础，利用代数方法研究空间中点、线、面的性质与相互关系的数学学科。它的基本概念包括平面直角坐标系、空间直角坐标系，以及点、直线、平面的方程等。

1. 点的坐标

在平面直角坐标系中，点的坐标用有序实数对(x, y)表示；在空间直角坐标系中，点的坐标用有序实数三元组(x, y, z)表示。通过坐标，可以确定点在坐标系中的位置。

2. 直线的方程

空间解析几何中，直线的方程有多种表示形式，常见的有点向式、对称式和一般式。在点向式中，直线上的任意一点可以用一个固定点和一个方向向量表示；在对称式中，直线上的任意一点满足一个关系式；一般式则是通过线的法向量与截距来表示。这些方程形式各有特点，在不同的问题中有不同的用途。

3. 平面的方程 平面的方程也有多种表示形式，常见的有点法式和一般式。在点法式中，平面上的任意一点满足一个关系式，并且平面的法向量可以通过法线上的两个点相减并取正交向量得到；一般式则是通过平面的法向量与截距来表示。同样，不同的方程形式适用于不同类型的问题。

二、向量代数

向量代数是关于向量的计算与运算的数学学科，它以向量作为基本研究对象，研究向量的性质、向量之间的关系以及向量的运算规则等。

1. 向量的表示

向量可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。在空间中，一个向量可以写成一个实数三元组，例如向量v(x, y, z)表示从原点指向点(x, y,

z)的有向线段。向量的长度用模表示，记作|v|。

2. 向量的运算

向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法和内积运算。向量的加法和减法遵循平行四边形法则和三角形法则；数量乘法将向量的模与一个实数相乘，改变了向量的长度和方向；内积运算结果是一个实数，满足交换律和分配律。