高考数学必考题型导数与单调性

导数与函数单调性

一、回顾： 将函数xxfysin)(的图象向左平移4个单位，得到函数xy2sin21的图象，则)(xf是 ▲ （写出一个即可）

二、08~12年江苏数学命题研究及13年走势分析

2012年江苏省高考说明中，《导数及其应用》属于必做题部分，其中导数的概念是A级要求，导数的几何意义，导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值，以及导数在实际问题中的应用是B级要求.

导数与函数、数列、三角、不等式、解析几何等知识有着密切的联系，导数作为工具在研究函数的性质及在实际生活中有着广泛的应用, 导数是高中数学中与高等数学联系最密切的知识之一,所以备受高考命题老师的重视.

2008年14题考查 导数在函数单调性的综合运用

2009年03题考查 导数研究函数单调性

2010年14题考查 导数研究函数性质

2011年12题考查 指数函数、导数的几何意义

2012年考查 导数研究函数零点

导数— 导数作为新增内容应为考查的重点内容。利用导数刻划函数,或已知函数性质求参数范围等，2008年江苏考了一道“导数应用题”，理科加试考了“导数与定积分混合型”题,2009年未考大题。那么2013年仍应重视导数题的考查,以中档题为主。小题中两年都考了三次函数,应该更加关注指、对数函数,三角函数的导数及相关的超越函数.

三、知识点梳理：

函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数)(xfy在某个区间内可导，如果)('xf＞0，则)(xfy为增函数；如果)('xf＜0，则)(xfy为减函数.

⑵常数的判定方法；

如果函数)(xfy在区间I内恒有)('xf=0，则)(xfy为常数.

注：①)('xf＞0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如32xy在),(上并不是都有)('xf＞0，有一个点例外即x=0时)('xf = 0，同样)('xf＜0是f（x）递减的充分非必要条件.

用导数研究含参函数的单调性

一、考情分析

函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,

可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题,这是因为单调性是解决后续问题的关键,

单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关

重要的作用.函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用

更是高考中的难点.

二、解题秘籍

连续函数单调区间的分界点就是函数的极值点,也就是导函数的零点,即方程fx

=0的根,所以求解

含参函数的单调性问题,一般要根据fx

=0的根的情况进行分类,分类时先确定导函数是一次型还是

二次型

1.若导函数是一次型,分类步骤是：

①判断是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；

②若有根,求出fx

=0导的根,并判断根是否在定义域内；若根不在定义域内会出现恒成立的情况；

③若根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性；

2.若导函数是二次型,分类步骤是：

①先判断二次型函数是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；

②判断根是否在定义域内,若仅有一个根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单

调性；

③若两个根都在定义域内,需要根据两个根的大小进行讨论,当根的大小确定后,再讨论每个单调区间

上的单调性.

下面我们根据fx

=0的根的情况总结出10类题型及解法,帮助同学们掌握这类问题的求解方法.

类型一：fx

定义域不是R,fx

=0可化为单根型一次方程

思路：根据根是否在定义域内进行分类

例1.讨论fx=x-1-alnx的单调性

类型二：fx定义域不是R,fx

=0可化为单根型类一次方程

思路：根据方程是否有根及根是否在定义域内进行分类

例2.讨论fx=ax-1-alnx+1的单调性

例3.讨论fx=

1

4ax4

-1

3x3

+1

2ax2-x+1的单调性

高考数学必考点专项第8练

导数与函数的单调性习题精选

一、单选题

1. 函数21()9ln2fxxx在区间上单调递减，则实数m的取值范围是( )

A. B. C. D.

2. 若函数()sin()sin(2)cos()2fxxxax在区间(0,]2上单调递增，则实数a的取值范围是( )

A. (,1] B. (,2] C. (1,2] D. [1,)

3. 若函数在其定义域上不单调，则实数a的取值范围为( )

A. 1a或4a B. 4a C. 14a D. 14a

4. 若函数2()ln2fxxax在区间1(,2)2内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是( )

A. (-,-2] B. 1(-,+)8 C. 1(-2,-)8 D. (-2,+)

5. 已知函数()fx是定义在R上的偶函数，设函数()fx的导函数为()fx，若对任意0x都有2()()0fxxfx成立，则( )

A. 4(2)9(3)ff B. 4(2)9(3)ff

C. 2(3)3(2)ff D. 3(3)2(2)ff (2,1)mm(0,1)(0,2)6. 定义在(0,)上的函数()fx满足()10xfx，(3)=-ln3f，则不等式()+0xfex的解集为( )

A. 3(,+)e B. 3(0,)e C. (ln3,) D. 3(ln3,)e

7. 已知函数，若存在1[,2]2x，使得()()0fxxfx，则实数b的取值范围是( )

A. B. 9(,)4 C. (,3) D. (,2)

8. 已知4ln3a，3ln4b，34lnc，则a，b，c的大小关系是( )

A. cba B. bca C. bac D. abc

1导数的应用-

单调性、极值与最值10大题型

导数与函数是高中数学的核心内容，高考中经常在函数、导数与不等式等模块的

知识交汇处命题，形成层次丰富的各类题型，常涉及的问题有利用导数解决函数

的单调性、极值和最值；与不等式、数列、方程的根（或函数的零点），三角函

数等问题。此类问题体现了分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想，重点

考查学生的数形结合能力，处理综合性问题的能力和运算求解能力。本题考试难

度大，除了方法与技巧的训练，考生在复习中要注意强化基础题型的解题步骤，提高解题熟练度。

一、导数与函数的单调性相关问题及解决方法

1、求函数单调区间的步骤

（1）确定函数

fx

的定义域；

（2）求

fx

（通分合并、因式分解）；

（3）解不等式

0fx



，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

（4）解不等式

0fx



，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

2、已知函数的单调性求参数

（1）函数

fx

在区间D上单调增（单减）

）（00)(

xf在区间D上恒成立；

（2）函数

fx

在区间D上存在单调增（单减）区间

）（00)(

xf在区间D

上能成立；

（3）已知函数

fx

在区间D内单调

)(xf

不存在变号零点

（4）已知函数

fx

在区间D内不单调

)(xf

存在变号零点

3、含参函数单调性讨论依据：

（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；

2（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；

（3）导函数多个零点时大小的讨论。

二、利用导数求函数极值的方法步骤

（1）求导数()fx

；

（2）求方程()0fx



的所有实数根；

（3）观察在每个根x

0附近，从左到右导函数()fx

的符号如何变化．

①如果()fx

的符号由正变负，则

0()fx

是极大值；

②如果由负变正，则

0()fx

是极小值．

③如果在()0fx



的根x＝x

0的左右侧()fx

的符号不变，则不是极值点．

三、函数的最值与极值的关系

1、极值是对某一点附近（即局部）而言，最值时对函数的定义区间[,]ab