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分式不等式和绝对值不等式

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§2.3其它不等式的解法（1）---分式不等式的解法 学习要求： 1、掌握简单的分式不等式的解法. 2、体会化归、等价转换的数学思想方法. 学习重难点 简单的分式不等式的解法. 不等式的同解变形. 课前预习 1.分式不等式的概念_________________________________________________________ 2、分式不等式的解法 一般地，分式不等式分为两类：

（1）0fxgx（0）0fxgx（0）；

（2）0fxgx（0）000fxgxgx.

课堂互动： 例1 解不等式：1232xx. 解法一：（化分式不等式为一元一次不等式组） 解法二：（利用两数的商与积同号（00aabb，00aabb）化为一元二次不等式） 例2 解下列不等式 （1）105xx.

（2）2335x.

（3）28223xxx.（两种解法） 例3 当m为何值时，关于x的不等式132mxx的解是 （1）正数？ （2）是负数？ 归纳总结 分式不等式的求解通法： （1）不要轻易去分母，可以移项通分，使得不等号的右边为零. （2）利用两数的商与积同号，化为一元二次不等式求解. 学后反思 作业：练习册第18页1、2、3题 §2.3其它不等式的（2）---绝对值不等式的解法 学习要求： 1、掌握简单的绝对值不等式的解法. 2、能对简单的绝对值不等式给出几何解释。 3、体会化归、等价转换的数学思想方法. 学习重难点 简单的绝对值不等式的解法. 不等式的同解变形. 课前预习 （1） 实数绝对值定义________________几何意义______________________________. （2） 绝对值的性质 1.任意xR，0x，等号成立0x.

2.任意xR，2xx22xx.

3.任意x、yR，xxxxx.xyxy，xxyy（0y）.

含绝对值的不等式的解法 （1）xa（0a）的解集____________________________________________________. 数轴上表示 （2）ax（0a）的解集____________________________________________________. 数轴上表示 想一想：axb（0ab）上的解集. 课堂互动 例1 解下列不等式 （1）235x.

（2）1223x. （3）2325x. 例2 解下列不等式

（1）11xxxx. （2）234xx.

（3）2560xx. （4）2312xx.

议一议： 解不等式：125xx. 归纳总结 绝对值的不等式的解法 （1）xa（0a）的解集____________________________________________________. 数轴上表示 （2）ax（0a）的解集____________________________________________________. 数轴上表示 学后反思 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 作业：练习册第18页4、5、6以及第19页1、2、3题（英文版 ）

Two regulations promulgated for implementation is in the party in power for a long time and the rule of law conditions, the

implementation of comprehensive strictly strategic plan, implementation in accordance with the rules and discipline to

manage the party, strengthen inner-party supervision of major

initiatives. The two regulations supporting each other, the < code > adhere to a positive advocate, focusing on morality is of Party

members and Party leading cadres can see, enough to get a high standard; < rule > around the party discipline, disciplinary ruler

requirements, listed as "negative list, focusing on vertical gauge,

draw the party organizations and Party members do not touch the" bottom line ". Here, the main from four square face two party rules

of interpretation: the first part introduces two party Revised regulations the necessity and the revision process; the second part

is the interpretation of the two fundamental principles of the revision

of laws and regulations in the party; the third part introduces two party regulations modified the main changes and needs to grasp

several key problems; the fourth part on how to grasp the implementation of the two regulations of the party. < code > and <

Regulations > revised the necessity and revised history of the CPC

Central Committee the amendment to the Chinese Communist Party members and leading cadres honest politics several

guidelines > and < Chinese Communist Party discipline and Punishment Regulations > column 1 by 2015 to strengthen party

laws and regulations focus. Two party regulations revision work lasted a Years, pooling the wisdom of the whole party, ideological

consensus, draw historical experience, respect for the wisdom of

our predecessors, which reflects the unity of inheritance and innovation; follow the correct direction, grasp the limited goals,

adhere to the party's leadership, to solve the masses of the people reflect a focus on the problem. The new revision of the < code >

and < rule >, reflects the party's 18 and the eighth session of the

third, the spirit of the fourth plenary session, reflecting the experience of studying and implementing the General Secretary Xi

Jinping series of important speech, reflects the party's eighteen years comprehensive strictly practice. (a) revised two regulations of

the party need of < the ICAC guidelines > in < in 1997 Leaders as

members of the Communist Party of China clean politics certain criteria (Trial) > based on revised, the promulgation and

implementation of January 2010, to strengthen the construction of the contingent of leading cadres play an important role. But with the

party to manage the party strictly administering the deepening, has

not been able to fully meet the actual needs. Content is too complicated, "eight prohibition, 52 are not allowed to" hard to

remember, and also difficult to put into practice; the second is concisely positive advocated by the lack of prohibited provisions

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分式、高次、绝对值不等式

分式、高次、绝对值不等式

几种常见不等式的解法

一、分式不等式的解法：

分式不等式的4种形式及解题思路

①fxgx>0⇔f(x)g(x)>0； ②fxgx<0⇔f(x)g(x)<0；

③fxgx≥0⇔0≠g(x)0≥f(x)g(x) ④fxgx≤0⇔0≠g(x)0f(x)g(x)

[例1] 解下列不等式：

(1) 022xx （2） x＋23－x≥0 (3)2x－13－4x>1.

练习：1.解不等式（1） 2024xx （2）x－1x≥2

2．已知关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式ax－bx－2>0的解集是( )

A.{}x|x＜－1或x＞2 B.{}x|－1＜x＜2

C.{}x|1＜x＜2 D.{}x|x＞2

二、简单高次不等式

若naaaa321，则不等式0)())((21naxaxax

或0)())((21naxaxax的解法如下图（即“序轴标根法”）：

若x项系数为负，应把它化为正的再去求解。 [例2] （1） (1)(2)(3)(5)0xxxx （2）23(1)(1)0xxx

跟踪练习：

（1）(2)(32)(1)(2)0xxxx （2）3220xxx

三、绝对值不等式

1、（1）在数轴上标出满足|x|=2的x值

（2）在数轴上标出满足|x|>2的x的取值范围

（3）在数轴上标出满足|x|<2的x的取值范围

2、ax|| ，ax|| )0(a

cbax|| ，cbax|| )0(c

绝对值不等式解法讲义

绝对值不等式解法讲义

１ 含绝对值的不等式解法

一. 预习知识

1、知识链接：

实数x的绝对值的定义是：

绝对值的意义是：x

归纳：.若a>0,则xa xa

若c>0,则baxc cbax

二. 典型例题

例1.解不等式：75x22

练习. 解不等式：92x2

２ 例2.解不等式：xx21

练习. 解不等式：1x1x2

例3.解不等式：123x2x

练习. 解不等式：64x1x

３ 三. 基础训练

1.不等式3x21的解集是

2.不等式63x1的解集是

3.已知不等式82ax的解集为5x3x则a

4.已知集合21xxA，11xxB则BA

5.解下列不等式

（1）138x3

（2）12x43

４ 归纳总结：

1．绝对值的几何意义：||x是指数轴上点x到原点的距离；12||xx是指数轴上12,xx两点间的距离

2．当0c时，||axbcaxbc或axbc，

||axbccaxbc；

当0c时，||axbcxR，||axbcx．

3．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，去掉绝对值的主要方法有：

（1）公式法（2）类比转化法（3）零点分段法（4）数形结合法

（5）两边平方法

解下列不等式：

（1）4|23|7x；

（2）|2||1|xx；

（3）|21||2|4xx．

不等式的性质、解不等式

不等式的性质、解不等式

不等式的基本性质、解不等式

【基础知识】

一、不等式的概念及基本性质

注意：①不等式的基本性质，没有减法和除法。如果遇到减法和除法，可以转化乘加法

和乘法，如：求ab的范围可以转化成求()ab的范围，求ab的范围可以转化成求1ab的范围。

②方程和不等式的两边不能随便乘除，必须先研究这个数的性质，再乘除。

三、分式不等式和高次不等式

1、分式不等式的解法

把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成()0()fxgx的形式→化成不等式组()0()()0gxfxgx→解不等式组得解集。

温馨提示：解分式不等式一定要考虑定义域。

2、高次整式不等式的解法（序轴标根法）

先把高次不等式分解因式化成123()()()()0nxaxaxaxa的形式（x的系数必须为正）→标记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上往下穿（奇穿偶不穿）→写出不等式的解集。

实际上，序轴标根法适用于所有的整式不等式，根据它可以很快地写出整式不等式的解集。

四、绝对值不等式

1、解绝对值不等式

方法一：公式法 解只含有一个绝对值形如()axbc的不等式，一般直接用公式xaxaxa或 xaaxa，注意集合的关系和集合的运算，集合的运算主要利用数轴。

方法二：零点讨论法 解含有两个绝对值形如()xaxbc的不等式，常用零点讨论法和数形结合法。注意小分类求交大综合求并。

方法三：平方法 如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：3x，可以用平方法。

2、绝对值三角不等式ababab

绝对值三角不等式的运用主要体现在直接利用绝对值三角不等式证明不等式和求函数的最值。

【例题精讲】

例1 已知不等式 的解集为 ，求 、 的值。

解：方法一：

显然 ，由 ，得 ，变形得 ，所以

方法二： 与 是方程 的两根，

含参数不等式及绝对值不等式的解法

含参数不等式及绝对值不等式的解法

含参数不等式及绝对值不等式的解法

例1解关于x的不等式：2(1)0xxaa 0)(322axaax

01)1(2xaax 02)12(2xaax

22axax 11axx

11xax 0221xaxa

0)2(xxax 012xax

xaxx 0)2)(1(1xxkkx

例2: 关于x的不等式01)1(2axaax 对于Rx恒成立，求a的取值范围。

例3：若不等式210xax＋＋对于一切1(0,)2x成立，则a的取值范围.

例4：若对于任意a1,1，函数axaxxf2442的值恒大于0，求x的

取值范围。

例5：已知19a,关于x的不等式: 0452xax恒成立，求x的范围。

例 6： 对于x（0，3）上的一切实数x,不等式122xmx恒成立，求实数m的取值范围。

例7：2212xx 1332xx

321xx xx332

例8、 若不等式axx34，对一切实数x恒成立，求a的取值范围

若不等式axx34，对一切实数x恒成立，求a的取值范围

若不等式axx34有解，求a的取值范围

若不等式axx34的解集为空集，求a的取值范围

若不等式axx34解集为R，求a的取值范围