绝对值与不等式

１ 含绝对值的不等式解法

一. 预习知识

1、知识链接：

实数x的绝对值的定义是：

绝对值的意义是：x

归纳：.若a>0,则xa xa

若c>0,则baxc cbax

二. 典型例题

例1.解不等式：75x22

练习. 解不等式：92x2

２ 例2.解不等式：xx21

练习. 解不等式：1x1x2

例3.解不等式：123x2x

练习. 解不等式：64x1x

３ 三. 基础训练

1.不等式3x21的解集是

2.不等式63x1的解集是

3.已知不等式82ax的解集为5x3x则a

4.已知集合21xxA，11xxB则BA

5.解下列不等式

（1）138x3

（2）12x43

４ 归纳总结：

1．绝对值的几何意义：||x是指数轴上点x到原点的距离；12||xx是指数轴上12,xx两点间的距离

2．当0c时，||axbcaxbc或axbc，

||axbccaxbc；

当0c时，||axbcxR，||axbcx．

3．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，去掉绝对值的主要方法有：

（1）公式法（2）类比转化法（3）零点分段法（4）数形结合法

（5）两边平方法

解下列不等式：

（1）4|23|7x；

（2）|2||1|xx；

（3）|21||2|4xx．

绝对值与不等式的解法

绝对值和不等式是高中数学中重要的概念和解题方法。绝对值常常出现在不等式中，对于解决这类问题，我们需要掌握一些基本的解法和技巧。本文将介绍绝对值与不等式的解法，包括绝对值不等式和绝对值方程两个方面。

一、绝对值不等式的解法

绝对值不等式是指形如 |f(x)| ≤ g(x)，或 |f(x)| ≥ g(x) 这样的数学不等式。解决这类问题的关键在于将绝对值不等式转化为不等式组或分段函数。

下面以一个具体的例子来说明解答绝对值不等式的步骤。

例题：解不等式 |2x - 3| ≤ 5

首先，我们需要根据绝对值的定义进行分情况讨论。当 2x - 3 ≥ 0

时，|2x - 3| = 2x - 3；当 2x - 3 < 0 时，|2x - 3| = -(2x - 3)。

针对每一种情况，我们可以得到以下两个不等式：

当 2x - 3 ≥ 0 时，2x - 3 ≤ 5，解得 x ≤ 4；

当 2x - 3 < 0 时，-(2x - 3) ≤ 5，解得 x ≥ -1。

因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 -1 ≤ x ≤ 4。

二、绝对值方程的解法 绝对值方程是指形如 |f(x)| = g(x) 的方程。解决这类问题的关键在于将绝对值方程转化为分段函数，并通过分析不同情况求解。

下面以一个具体的例子来说明解答绝对值方程的步骤。

例题：解方程 |4x - 7| = 3

同样地，我们根据绝对值的定义进行分情况讨论。当 4x - 7 ≥ 0 时，|4x - 7| = 4x - 7；当 4x - 7 < 0 时，|4x - 7| = -(4x - 7)。

针对每一种情况，我们可以得到以下两个方程：

当 4x - 7 ≥ 0 时，4x - 7 = 3，解得 x = 2；

当 4x - 7 < 0 时，-(4x - 7) = 3，解得 x = 1/4。

因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 x = 2 或 x = 1/4。

含绝对值的不等式

1．不等式|x|＋|x－1|＜2的解集是________．

2．已知方程x2－ax＋b＝0的两根分别为1和2，则不等式||ax－b≤1的解集为________(用区间表示)．

3．不等式x－3x－1

4．关于x的不等式|x－1|＋|x－2|≤a2＋a＋1的解集为空集，则实数a的取值范围是________．

5．若不等式x＋1x＞|a－2|＋1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是______．

6．对任意x∈R，不等式|2－x|＋|3＋x|≥a2－4a恒成立，则a的取值范围是________．

7．已知a∈R，若关于x的方程x2＋x＋a－14＋||a＝0有实根，则a的取值范围是______________．

8．若不等式Rxaxx对|1||2|恒成立，则实数a的取值范围是 （ ）

A．),3( B．),3[ C．（－，3） D．]3,(

9．若不等式|4||3|xxa的解集为非空集合，则实数a的取值范围是（ ）

A．7a B．17a C．1a D．1a 变式题一：若不等式axx43的解集为R,则实数a的取值范围是（ ）

A．7a B．17a C．1a D．1a

变式题二：若不等式axx43无解,则实数a的取值范围是（ ）

A．7a B．1a C．1a D．1a

10．不等式2|3||1|3xxaa对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）

A．[1,4] B．(,2][5,)

C．(,1][4,) D．(,1][2,)

高中数学学科

【高中数学】绝对值不等式

一、基础知识

1．绝对值三角不等式

定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，

等号成立．↓|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，

右边等号成立.

2．绝对值不等式的解法

(1)|x|a型不等式的解法不等式a>0a＝0a<0|x|

|x|>a{x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R

(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

考点一绝对值不等式的解法

[典例](2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.高中数学学科

(1)画出y＝f(x)的图象；

(2)求不等式|f(x)|>1的解集．

[解](1)由题意得f(x)

＝x－4，x≤－1，

3x－2，－1

－x＋4，x>32，

故y＝f(x)的图象如图所示．

(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，

当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；

当f(x)＝－1时，可得x＝13或x＝5.

故f(x)>1的解集为{x|1

f(x)<－1的解集为x|x<13或x>5.

所以|f(x)|>1的解集为x|x<13或15.

[题组训练]1．解不等式|x＋1|＋|x－1|≤2.

解：当x<－1时，

原不等式可化为－x－1＋1－x≤2，

解得x≥－1，又因为x<－1，故无解；