专题：分式不等式和绝对值不等式的解法
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专题：分式不等式和绝对值不等式的解法
一、知识要点
本讲义从以下两方面展开：
1. 分式不等式的解法
分式不等式是一种常见的不等式，掌握其解法在高考中是非常重要的。
2. 绝对值不等式的解法
绝对值不等式是一种常见的不等式，其解法主要要注意分类讨论，也是高考常考的一个内容。
➢ 知识点一：分式不等式的解法
分式不等式的求解主要在于同解变形，将不等式化为整式不等式来进行求解。
一般地，对于分式不等式11()()()fxhxgx，要将其通分化为()0()fxgx的标准形式，
对于分式不等式()0()fxgx，它与()()0()0fxgxgx同解。
这样，我们就可以将分式不等式化为整式不等式。
➢ 知识点二：绝对值不等式的解法
与分式不等式类似的是，求解绝对值不等式也是要将不等式的绝对号去掉，进行同解变形。
一般的，()()fxgx与()()()()fxgxfxgx或同解；()()fxgx与()()()gxfxgx同解。
需要注意的是，如果不等式中有多个绝对值，那么就需要对每个绝对值号进行讨论。
二、典型例题
1. 分式不等式的解法
【例1】 （★☆☆☆）解不等式：22911721xxxx
解：原不等式化为：2(43)(12)0(1)xxx，它等价于：
4()(12)031xxx，得到：14[,1)(1,]23x 教学提示：此题是标准的求解分式不等式的题目。分式不等式求解的关键在于把分式不等式进行等价变形成为整式形式。在等价变形时要注意分母不为零。
一般地，对于分式不等式()0()fxgx，它与()()0()0fxgxgx同解。
【例2 】解不等式：2121332xxxx
解：通分整理，原不等式化为：2(12)0(3)(32)xxx，它等价于：
(3)(32)0210xxx，得到：3x或23x且12x
教学提示：注意提醒学生，此题切忌直接把21x约去，因为它的符号是未知的。所以如果直接约去的话，实际上还要讨论正负号，这比起通分可能还要麻烦。因此，要告诉学生，在拿到分式不等式的时候，不能想当然地约去一些东西（即使其不为0）。必要的时候，通分是一种更好的选择。
【例3】解关于x的不等式：()(3)12xkxxx
解：原不等式即：3202kxkx
当0k时，原不等式即202x，解集为(2,)
当0k时，原不等式即2302kxkx，
需要讨论23k与2的大小：
① 当2k时，解集为32,2kk
② 当0k时，解集为32,(2,)kk
③ 当20k时，解集为322,kk
教学提示：本题是含参数的分式不等式。求解含参数不等式的关键在于分类讨论。由于分子分母均为整式，容易知道分式不等式的解跟分子与分母上函数的零点是有紧密的关系的。因此首先要讨论分子与分母是不是有零点，以及零点的大小。另外，当参数在多项式的最高次的系数里时，我们是要考虑该系数的正负性的（类似于一元二次不等式）。
【例4】（★★★☆）解关于x的不等式：(1)(2)0(1)2axaax
解：等价变形，原不等式即：(2)[(1)2]0xaxa
分类讨论：
当1a时，2201axxa，此时，221aa，
所以：2x或21axa
当1a时，2201axxa，
若 221aa，即0a时，221axa；
若 221aa，即01a时，221axa
若 221aa，即0a时，x
教学提示：本题是个含参数的分式不等式的例子。注意要对参数进行小心的讨论。从前面的例题我们也可以归纳出求解分式不等式的一般步骤：
①移项；②通分；③同解变形（等价转化）；④分类讨论；⑤作出结论
【例5】（★★★☆）若对xR， 2*2322()1xxnnxxN恒成立，求n的值。
解：注意到恒有：210xx，故去分母，整理得：
2(3)(2)(2)0nxnxn
再根据一元二次不等式的性质，有：
230(2)4)(3)(2)0nnnn，
知：2n，从而知1n
教学提示：一般来说，在处理分式不等式的问题时，我们一般对于不等式两边同乘分母比较慎重，原因在于分母很有可能是不定号的。但是，当我们能判断出分母的正负号时，两边同乘以分母实际上会简化计算。正如这道例题中的那样，我们同乘了21xx，使得不等式得到化简。另外，需要注意的是像这种分式不等式的恒成立问题，本质上还是需要进行同解变形，把其变为整式不等式的形式，然后再用整式不等式的办法来求解。比如这道例题就是运用了一元二次不等式来求解。 【例6】当m为何值时，2211223xmxxx对任意的xR都成立？
解：移项、通分得：
22(2)40223xmxxx
又22230xx恒成立，故知：2(2)40xmx恒成立。
所以：2(2)160m，得到62m
教学提示：本题也是一道分式不等式恒成立问题。本质上这道题我们还是通过同解变形，将不等式化为一元二次不等式来求解，这一点是需要让学生明确与掌握的。
另外，对于这种不等式恒成立的问题，解法是有很多的。例题的解答中是利用了二次函数的一些基本性质，在教学中也可以让学生考虑还有没有其他方法。事实上，我们还可以利用所谓的“参数分离法”。
注意到2(2)40xmx恒成立，从而有：224mxxx恒成立，那么：
0044min24222,062442,0max2426xxmxmxxxxmmxxmxxx
注意到，在上式中我们用到了这样一个性质：
()()max()min()xAxAmfxmfxxAmfxmfx对于任意成立
这就是参数分离法的关键所在：将参数分离到不等式一边，然后参数的取值范围就对应于不等式另一边函数的最值。
2、绝对值不等式的解法
【例7】 解不等式2122xx
解：去掉绝对值，同解变形得到：
2122xx或者2122xx，故知：
612x或者612x
教学提示：此题本身是简单的，需要注意的是含绝对值不等式同解变形的技巧。因为我们从脱绝对值的角度出发，可能是需要讨论不等式右边2x的正负性的。但是，事实上，可以知道当20x时，不等式是恒成立的。因此我们只需要将2x当作正数来处理就可以（如果2x不是正数，由于此时不等式恒成立，所以也不会扩大解集）。这样不等式的同解变形就不需要讨论了。一般的，()()fxgx与()()()()fxgxfxgx或同解；()()fxgx与()()()gxfxgx同解。这是关于绝对值不等式最基本，也是最重要的一个结论，需要向学生加以强调。另一方面，本题还可以从数形结合的角度出发。一般地，从函数图像的角度来看，()()fxgx实际上就意味着x的取值使得函数()yfx的图像在函数()ygx的图像的上方。因此本题所要做的就只是画出212yx与2yx的图像，如图所示。显而易见，我们只要求两个交点就可以得到不等式的解集。
【例8】解不等式13xx
解：去掉绝对值，两边平方得到：
22(1)(3)xx，故知：1x
教学提示：本题可以说是非常基础的题目。但是需要注意的是本题又是另一种形式的含绝对值不等式。一般的，我们有：
2222()()()()()()fxgxfxgxfxgx
这个式子是非常显然的，但是也是比较容易忽视的，需要向学生强调一下。
另外，对于这种一次不等式的问题，我们实际上可以从距离的角度出发。绝对值函数实际上是一个距离函数，它表示的是一维数轴上的两个点的距离。因此满足本题的不等式的点实际上就是数轴上到-1的距离大于到3的距离的点。从数轴上看如图：
实际上从图上可以看到，
1x时，13xx，当x远离-1，也即1x时，会有13xx
以上这种数形结合的方法在处理这种一次函数的绝对值函数的时候是很有效的，这可以避免对于绝对值的复杂讨论。具体可以参见以下变式以及例3。
变式 （★★☆☆）求()|1||2||3|fxxxx的最小值 这道题如果是直接来做的话，是需要分四段讨论，将原函数写成分段函数的形式，再求最小值。但是这样兴师动众求一个最小值其实有点不划算。我们可以采用之前所述数形结合的办法。
我们在数轴上画出绝对值函数的三个零点1,2,3，实际上这三个点将数轴分为四个部分。然后只需要找数轴上哪个点到这三个点距离之和最短。实际上，要满足距离之和最短，我们从图上很容易知道，这个点要在这三个点的中间位置，而不是在这三个点的两侧。因此，我们就很容易知道是2x的时候，取最小值。
一般地，事实上我们还可以讨论12()||||||nfxxaxaxa的最小值，方法是与上题类似的，n分奇偶讨论，可以视情况将此留为思考题。
【例9】 解不等式222xx
解：原不等式两边非负，
两边平方，得：2242(2)(2)xxx
再平方，整理得到：210x
从而： 11xx或
教学提示：在求解含绝对值的不等式的时候，平方也是非常重要的一个手段。正如这道题所展示的那样，平方可能会使得不等式简化很多。但是要注意，并不是所有情况下都可以把不等式两边平方，我们需要不等式两边都是非负的。这一点是需要向学生着重强调的，不然很有可能导致错误。同样本题也可以用之前所讲的数形结合的办法，现在就变成找到2跟-2 的距离只差大于2的点，同样可以让学生去思考如何求解。
三、提高训练
1．若不等式()0fx的解集为[1,2]，不等式()0gx的解集为，则不等式()0()fxgx的解集是
（ ）
A． B．,12,
C．1,2 D．R
【答案】B
【解析】()0gx的解集为意味着()0gx，所以()0()0()fxfxgx，从而：,12,x
