当前位置：文档之家 › 凸函数的性质与应用

凸函数的性质与应用

  • 格式：doc
  • 大小：1.02 MB
  • 文档页数：20

1 凸函数的性质与应用

数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石，435002

1.引言

凸函数是数学分析中的一个重要概念,它涉及了许多数学命题的讨论证明和应用,而且在现代优化学、运筹学、管理学、和工程测绘学等多个学科有着重要的意义和很好的应用.关于凸函数,虽然很多书籍都做了相应的介绍,但多是从不同的角度出发来进行不同的定义和应用.

在高等数学中,利用导数讨论函数的性态时,经常遇到一类特殊函数—凸函数,由于凸函数具有一些特殊性质,利用这些性质可非常简单地证明一些初等不等式、函数不等式和积分不等式. 凸函数是一类重要的函数,在不等式的研究中尤为重要.

本文通过凸函数的定义、性质的描述,主要研究其在不等式证明中的应用,举例说明解题思路与证明方法,并且证明了几个常见的重要不等式及高次函数的凸性猜想. 函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态,把握函数在区间上的整体性态,不仅可以更加科学、准确地描绘函数的图象,而且有助于对函数的定性分析.

2. 凸函数的有关概念

2.1凸函数的定义、定理及其几何意义

定义 若函数fx对于区间,ab内的任意12,xx以及0,1,恒有

1212[(1)]()(1)()fxxfxfx，

则称fx为区间,ab上的凸函数.

其几何意义为:凸函数曲线yfx上任意两点11,,xfx 22,xfx间的割线总在曲线之上. 2 定理1 若函数fx在区间,ab内连续,对于区间,ab内的任意12,xx恒有

12121[][()()]22xxffxfx，

则称fx为区间,ab上的凸函数.

其几何意义为:凸函数曲线yfx上任意两点11,,xfx 22,xfx间割线的中点总在曲线上.

定理2 若函数fx在区间,ab内可微,且对于区间,ab内的任意x及0x ,恒有

00()()()fxfxfxx，

则称fx为区间,ab上的凸函数.

其几何意义为:凸函数曲线yfx上任一点处的切线,总在曲线之下.

注 若将定义1,2,3中的“”改为“”则称fx为,ab上的严格凸函数.

2.2 凸函数定义与定理之间的等价性条件

2.2.1 定义1与定理1的等价性

证 定义1定理1:显然,只要取12=即可由定义1推得定理1.

定理1定义1:我们首先推证fx对于任意的12,xx,ab及有理数0,1,不等式

1212[(1)]()(1)()fxxfxfx，

成立.事实上,对于此有理数λ,总可表示为有穷二进位小数,即 3 121121122220.2nnnnnnaaaaaaa，

其中0,1(1,2,,1);1inaina或由于1也是有理数,故也可以表示为有穷的二进位小数,即

1121121122220.2nnnnnnbbbbbbb，

其中1,1,2,,1;iibain1,nb这是因为11的缘故,

因此

111212[]()()iifaxbxafxbfx(1,2,,1)in，

所以

12[(1)]fxx

12112112112112222222[]22nnnnnnnnnnaaaabbbbfxx21212121111212112222()(22[]2nnnnnnnnaaabbbaxbxxxf2121212111121211222211[()]()2222nnnnnnnnaaabbbfaxbxfxx2121212111121211222211[()()]()2222nnnnnnnnaaabbbafxbfxfxx121112212221111[()()][()()]()2222nnnaxbxafxbfxafxbfxf11122122122111[()()][()()][()()]222nnnafxbfxafxbfxafxbfx 4 12112112112112222222()()22nnnnnnnnnnaaaabbbbfxfx

12()(1)().fxfx

下面再推证fx对为无理数时定义1也成立.事实上,对任意无里数0,1,{}(0,1),n存在有理数列12(),(1)nnnnxx所以，12(1)()xxn,由于fx在,ab内连续,所以

1212121212[(1)][lim(1)]lim[(1)]lim[()(1)()]()(1)()nnxnnnnxxfxxfxxfxxfxfxfxfx

综上即知,定义1与定理1等价.

2.2.2 定义1与定理2的等价条件

证 定义1定理2:对,ab内任意的0x及x,若0,xx则取0h,使00,xxhx由推论1得

0000()()()()].fxhfxfxfxhxx

上式中令0,h由于fx可微,所以有

0()fx00()(),fxfxxx

即

00()()()fxfxfxx.

若0,xx则取0h,使00,,xxxxhx同理可证.

2.2.3 定理2与定义1的等价条件 5 对于区间,ab内的任意12,xx(不妨设12xx)以及0,1,令121xxx,

则12,xxx 1121,xxxx 2xx 211,xx由泰勒(Taylor)公式,我们有

111222()()()()()()()()fxfxfxxfxfxfxx及

其中1122xxx,于是

12()(1)()fxfx

12[(1)]fxx+2121(1)()[()()]xxff.

再由单调性知

21()()ff,

所以

12()(1)()fxfx 12[(1)]fxx,

即

12[(1)]fxx12()(1)()fxfx.

所以在一定条件下，定义1与定理3等价.

3. 凸函数的有关结论

3.1 凸函数的运算性质

性质1 若fx为区间I上的凸函数, k为非负实数,则kfx也为区间I上的凸函数.

性质2 若,fxgx均为区间I上的凸函数,则fx gx也为区间I上的凸函数. 6 推论 若,fxgx均为区间I上的凸函数,12,kk为非负实数,则12fxkgxk也为区间I上的凸函数.

性质3 若fx为区间I上的凸函数,gx为J上的凸增函数,且fIJ,则gf为区间I上的凸函数.

性质4 若,fxgx均为区间I上的凸函数,则Fx

max,fxgx也是区间I上的凸函数.

上述性质很容易证明，故在此省略.

3.2 凸函数的其他性质

引理 f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意三点12xxx，总有

32212132()()()()fxfxfxfxxxxx. 1

证 [必要性]记3231,xxxx则213(1).xxx

由f的凸性知道

21313[(1)]()(1)()fxfxxfxfx

= 3221133131()()xxxxfxfxxxxx.

从而有

312321213()()()()xxfxxxfxxxfx,

即322212321213()()()()()xxfxxxfxxxfxxxfx. 7 整理后即得1式.

[充分性]在I上任取两点1313,,(),xxxx在[13,xx]上任取一点213(1)xxx 0,1,即3231.xxxx由必要性的推导逆过程，即可证明

1313[(1)]()(1)()fxxfxfx.

故f为I上的凸函数.

同理可证，f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意三点12,xxx总有

313221213132()()()()()()]]fxfxfxfxfxfxxxxxxx.

性质1 设f为区间I上的严格凸函数,若有0x是fx的极小值点,则0x是fx在I上唯一的极小值点.

证明 若fx有异于0x的另一极小值点1xI ,不妨设10fxfx

由于fx是在I上的严格凸函数, 故对于任意的0,1,都有

01010[(1)]()(1)()fxxfxfxfx.

于是,任意的0,1,只要充分接近时总有

0010(1),xxxUx.

但是,0()fxfx,这与1x是fx的极小值点的条件矛盾,从而0x是fx在I上唯一的极小值点.

性质2 设fx为,ab内的凸函数,有fx在I的任一内闭区间,,ab上满足Lipschitz条件. 8 证明 要证明fx在,上满足Lipschitz条件,即要证明:

0,L使得12,,xx有

1212()()fxfxLxx. 2

,,,,,,abhhab因为，故可取充分小使得因此，12,,xx，12,xx32xxh取，根据定义有

32212132()()()()fxfxfxfxMmxxxxh,

(其中,Mm分别表示()fx在,hh的上、下界)从而

2121()()Mmfxfxxxh, 3

若1232,,xxxxh可取由定义有

32211223()()()()fxfxfxfxxxxx,

从而

32211223()()()()fxfxfxfxMmxxxxh.

由此也可推出3式.

若12xx，则2显然成立.这就证明了3式显然对于一切12,,xx都成立，因此3式当12,xx互换位置也应成立，故有

2121()()Mmfxfxxxh.

令MmLh,则原命题成立.

合集下载

凸函数的性质与应用

凸函数的性质与应用

凸函数的性质与应用

凸函数是一种特殊的函数，它的图像在任何一点处都是凸的，也就是说，它的图像在任何一点处都是向上凸的。凸函数的性质和应用非常广泛，它们在数学、统计学、经济学、机器学习等领域都有着重要的应用。

首先，凸函数的性质可以用来求解最优化问题。最优化问题是指在给定条件下，求解使目标函数取得最大值或最小值的变量值。凸函数的性质可以用来求解最优化问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解最优化问题。

其次，凸函数的性质可以用来求解线性规划问题。线性规划问题是指在给定条件下，求解使目标函数取得最大值或最小值的变量值，而且变量值必须满足一组线性约束条件。凸函数的性质可以用来求解线性规划问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解线性规划问题。

此外，凸函数的性质还可以用来求解最小二乘问题。最小二乘问题是指在给定条件下，求解使目标函数取得最小值的变量值，而且变量值必须满足一组线性约束条件。凸函数的性质可以用来求解最小二乘问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解最小二乘问题。

最后，凸函数的性质还可以用来求解机器学习问题。机器学习是一种人工智能技术，它可以自动从数据中学习规律，并做出预测。凸函数的性质可以用来求解机器学习问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解机器学习问题。

总之，凸函数的性质和应用非常广泛，它们在数学、统计学、经济学、机器学习等领域都有着重要的应用。凸函数的性质可以用来求解最优化问题、线性规划问题、最小二乘问题和机器学习问题，从而为科学研究和实际应用提供了重要的理论支持。

凸函数的性质及其应用

凸函数的性质及其应用

高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。 凸函数的许多

良好性质在数学中都有着非常重要的作用。凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以 及最优控制论等学科都有非常广泛的应用， 现在已经成为了这些学科的重要理论基础和 强有力的工具。

同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形 式，这给凸函数的运用造成了不便。为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用， 丁是在60年代中期便产生了凸分析。

本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不 等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁； 在经济学方面，主要介绍了凸函数

的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单 的介绍了 一下经济学中的有关 Arrow-pratt风险厌恶度量的知识。

关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题

Abstract

Convex function, the main study object of higher mathematics, is one of the most

fundamental concepts in mathematics. Many good properties of convex function have a very

important role in mathematics. Convex function has a very wide range of applications in

mathematics, game theory, operations research,economics and optimal control theory, and

now has become the most important theoretical basis and the most powerful tool of these

例谈凸函数的性质及应用

例谈凸函数的性质及应用

例谈凸函数的性质及应用

江苏省盐都县龙冈中学 吕成荣（224011）

随着新高考模式的确定，高考命题将更加依据课程标准而又不拘泥于课程标准，在知识边缘处命题将会不断出现，在今年高考北京卷（第12题）中就涉及到凸函数理论，现行教材中没有阐明凸函数理论，本文通过具体的例子进行简要的论述。

一、凸函数的定义

1、设f(x)是定义在区间D上的函数，若对于任何x1、x2 ∈D和实数λ∈（0，1），有f[λx1+（1-λ）x2]≥λf(x1)+（1-λ）f(x2)，则称f(x)是D上的凸函数。（如图1）

2、若-f(x)是区间D上的凸函数，则称f(x)是D上的凹函数（如图2）。

3、线性函数既是凸函数，也是凹函数。

图1 凸函数 图2 凹函数

h1=f[λx1+（1-λ）x2]， h2=λf(x1)+(1-λ)f(x2) 现行教材中所涉及的一次函数、二次函数、指数、对数函数、三角函数等都存在凸函数，掌握凸函数理论解题有时很容易，反之茫然。

例1：（2002高考北京卷）

如图所示，fi（x）（i=1, 2, 3, 4）是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“[0，1]中任意的x1和x2，任意λ∈[0，1]，f[λx1+（1-λ）x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)恒成立”的只有( )

A f1(x)， f3（x） B f2(x)

C f2(x)，f3(x) D f4(x)

分析：由于x1∈[0，1]，x2∈[0，1]，λ∈[0，1]，设x1=x2 = 21,

λ=21，代入题目所给的不等式，则f[21x1+21x2] ≤21f(x1)+ 21f(x2) ,即 f(221xx) ≤ 21[f(x1) + f(x2)]，当且仅当x1 = x2时等号成立。

上式与凸函数的定义②、③相同，即凹的，而y = ax+b (a≠0) ，也可看成凸函数或凹函数，故选（A）。 例2：（94全国文）

凸函数上凸下凸凹函数

凸函数上凸下凸凹函数

凸函数上凸下凸凹函数

凸函数、上凸函数、下凸函数和凹函数是数学中常见的函数类型，它们在经济学、物理学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。本文将详细介绍这些函数类型的定义、性质和应用。

一、凸函数的定义和性质

凸函数是定义在实数区间上的一类函数，它具有很好的几何性质。具体来说，如果函数f在定义域上的一些区间上满足以下条件，那么它就是凸函数：

1. 对于区间上的两个点a和b，以及任意介于a和b之间的数t∈[0,1]，都有f(ta+(1-t)b)≤tf(a)+(1-t)f(b)。

这个条件称为凸函数的Jensen不等式。从几何上来看，Jensen不等式意味着函数图像上任意两点之间的连线位于函数图像的下方。这个性质被称为凸函数的上凸性。

凸函数的性质包括以下几个方面：

1.凸函数的上凸性。对于凸函数f，任意两点a和b以及他们之间的连线位于函数图像的下方。

2.凸函数的上确界性质。如果函数f在一些区间上凸且上有界，那么在该区间上必存在一个唯一的点c，使得f(x)≤f(c)，对于任意的x∈区间。

3.凸函数的导数性质。凸函数的导函数是非递减的。也就是说，如果函数f在一些区间上凸，那么它的导函数f'(x)在该区间上非负。 凸函数有许多应用，特别是在经济学和运筹学中。经济学家和决策者常常使用凸函数来描述效用函数、成本函数、收益函数等。在运筹学中，凸函数被广泛应用于线性规划、非线性规划和凸优化等问题的建模和求解。

二、上凸函数和下凸函数的定义和性质

上凸函数和下凸函数是凸函数的两个特殊情况。上凸函数是指函数f在定义域上的一些区间上满足以下条件：

1. 对于区间上的两个点a和b，以及任意介于a和b之间的数t∈[0,1]，都有f(ta+(1-t)b)≥tf(a)+(1-t)f(b)。

上凸函数的性质包括：

1.上凸函数是凸函数的一种特殊情况。也就是说，任何一个上凸函数都是凸函数。

2.上凸函数的导数是非递增的。也就是说，如果函数f在一些区间上上凸，那么它的导函数f'(x)在该区间上非正。