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凸函数的性质与应用【文献综述】

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1 文献综述

数学与应用数学

凸函数的性质与应用

凸函数是数学分析中一类非常重要的函数,它不仅在一些具体学科,如机器人学,模具设计或一些数学分支(如全局优化，运筹学等)中具有重要的应用,在具体的数学学科学习中也有重要的应用.我们在华东师范大学数学系编的数学分析书上册的第六章第五节学习了凸函数的有关定义和性质.在该书中对凸函数的定义叙述为:

定义1[1] 设f为定义在区间I上的函数,若对I上的任意两点1x,2x和任意实数（0,1）总有: 1212((1))()(1)()fxxfxfx,则称f为I上的凸函数.

几何形状如下图所示:

根据凸函数的定义和相关引理,我们可以得出关于二阶可导凸函数的一个重要的充要条件：

定理2[1] 设f为区间I上的二阶可导函数,则在I上f为凸函数的充要条件是:

0)(''xf,Ix.

从凸函数的定义,图像,充要条件上,我们可以看到凸函数有其本身的特殊性和直观性,而这些性质对于证明某些较复杂的不等式,解答高中里的数学题目均有很大的帮助.

国内外现状与研究方向：

由于凸函数在数学上的广泛应用,国内外越来越多的学者专注于对凸函数各个方面的研究.

首先,在凸函数的众多研究课题当中,对其基本定义和性质的研究最为广泛和普遍.研究的主要内容包括凸函数及对其概念的理解,等价定义,判别法,它的线形性[华东师范大学.数学分析上册(第三版)就对凸函数的概念和定义作了详细的说明].除了对凸函数原有性质的研究之外,对其新性质的研究也使研究者们趋之若鹜.目前越来越多的学者专注于凸函数的若干新性质在求解线性与非线性不等式组和线性规划中的应用,寻找求解线性与非线性不等式组的新方法.

2 其次,在对凸函数的定义和性质有了充分研究的前提下,研究者们更加关注对凸函数的应用的研究.例如研究其与不等式证明有关的下凸函数的性质[邱忠文,刘瑞金.函数的凹凸性及不等式的证明;王新奇.利用函数的凹凸性证明一类三角不等式];利用Jenven不等式证明当 n 取任意自然数时该性质的推广;在不等式中的应用[于靖.利用曲线的凹凸性证明柯西不等式];凸函数与极值,导数的一些关系[裴礼文.数学分析中的典型问题与方法;孙本旺,汪浩.数学分析中的典型例题和方法];判断函数极值点与拐点等应用.凸函数在高中数学中的研究也是一大亮点:由于凸函数是一类象形函数,在高中课程中虽然没有明确引入它的定义和概念,但因其性质具有明显的直观性,可以考查学生的观察能力和知识迁移能力,又可考查函数的各种性质,还能使平淡的题目增色,所以近年来已受高考命题人的青睐.初等函数基本都是凸函数,研究凸函数性质的纵向和横向的发散应用[方良秋.高考题中凸函数的题型及应用].

最后,随着凸函数的凸性在数学,物理学,经济学,管理学,最优化理论等领域的广泛应用,对凸函数的凸性的进一步研究已成为众多学者密切关注的一个焦点,而由凸集和凸函数拓展延伸而产生的各类凸集和凸函数的不断出现,不仅极大地丰富了凸分析理论,而且有力地推动了数学科学的发展,特别是对数学规划,控制论,最优化等领域的发展起到巨大的作用,也引起了众多学者的密切关注和极大兴趣[钟伟,周彬林.凸函数的几种不同定义及应用].

进展情况：一开始时,凸函数的重要作用被认为是在一些具体学科,如机器人学,模具设计或一些数学分支(如全局优化,运筹学等)中的应用.但随着对凸函数横向和纵向研究的逐渐深入,研究者们越来越意识到凸函数是数学分析中的一个重要概念,它涉及了许多数学命题的讨论证明和应用.例如由重庆师范大学罗超群学者所写的《凸函数在分析中的初探》就详细得探讨了凸函数的线形性和凸函数与极值,倒数的一些关系;由中国科学院计算数学与科学工程计算研究所时贞军学者和曲阜师范大学运筹与管理学院岳丽学者所写的《凸函数的若干新性质及应用》则详细讨论凸函数的性质在求解线性与非线性不等式组和线性规划中的应用,为线性与非线性不等式组,线性规划的求解提供了一种新方法;由井冈山职业技术学院的晏忠红学者所写的《凸函数的应用》则对用凸函数方法和凸函数詹生不等式推证几种重要的不等式作出了讨论;由湖南省汨罗市第二中学的刘正良和宋加文老师则在《凸函数理论及应用策略》中描述了凸函数在初高中数学学科中的具体应用.总之,学者们对凸函数各方面的研究是趋之若鹜,使得凸函数在各方面的应用也越来越深入.

存在问题：现阶段关于凸函数主要存在三个方面的问题:（1）在一元微积分的教学里,函数的凹凸性的的概念却往往被忽视.在一些工科类的微积分教材中,对于函数的凹凸性的判断甚至就简单地通过比较函数图像和其切线(或割线)的上下位置关系来描述.（2）对二元凸函数的性质研究较少.(3)对于凸函数的定义和基本性质的介绍比较分散,跨度大.

参考文献：

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[18] 方良秋.高考题中的凸函数题型及其应用[J].数学教学通讯报,2007,271:38-4.

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[21] 陈太道. 凸函数判定及其应用[N]. 临沂师范学院学报,2002,24(3):91-92.

[22] 古小敏.对凸函数定义之间等价性的进一步研究[J].重庆工商大学学报(自然科学版),2009,26(2):172-182.

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凸函数的性质与应用

凸函数的性质与应用

凸函数的性质与应用

凸函数是一种特殊的函数，它的图像在任何一点处都是凸的，也就是说，它的图像在任何一点处都是向上凸的。凸函数的性质和应用非常广泛，它们在数学、统计学、经济学、机器学习等领域都有着重要的应用。

首先，凸函数的性质可以用来求解最优化问题。最优化问题是指在给定条件下，求解使目标函数取得最大值或最小值的变量值。凸函数的性质可以用来求解最优化问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解最优化问题。

其次，凸函数的性质可以用来求解线性规划问题。线性规划问题是指在给定条件下，求解使目标函数取得最大值或最小值的变量值，而且变量值必须满足一组线性约束条件。凸函数的性质可以用来求解线性规划问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解线性规划问题。

此外，凸函数的性质还可以用来求解最小二乘问题。最小二乘问题是指在给定条件下，求解使目标函数取得最小值的变量值，而且变量值必须满足一组线性约束条件。凸函数的性质可以用来求解最小二乘问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解最小二乘问题。

最后，凸函数的性质还可以用来求解机器学习问题。机器学习是一种人工智能技术，它可以自动从数据中学习规律，并做出预测。凸函数的性质可以用来求解机器学习问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解机器学习问题。

总之，凸函数的性质和应用非常广泛，它们在数学、统计学、经济学、机器学习等领域都有着重要的应用。凸函数的性质可以用来求解最优化问题、线性规划问题、最小二乘问题和机器学习问题，从而为科学研究和实际应用提供了重要的理论支持。

凸函数的性质及其应用

凸函数的性质及其应用

高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。 凸函数的许多

良好性质在数学中都有着非常重要的作用。凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以 及最优控制论等学科都有非常广泛的应用， 现在已经成为了这些学科的重要理论基础和 强有力的工具。

同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形 式，这给凸函数的运用造成了不便。为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用， 丁是在60年代中期便产生了凸分析。

本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不 等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁； 在经济学方面，主要介绍了凸函数

的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单 的介绍了 一下经济学中的有关 Arrow-pratt风险厌恶度量的知识。

关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题

Abstract

Convex function, the main study object of higher mathematics, is one of the most

fundamental concepts in mathematics. Many good properties of convex function have a very

important role in mathematics. Convex function has a very wide range of applications in

mathematics, game theory, operations research,economics and optimal control theory, and

now has become the most important theoretical basis and the most powerful tool of these

函数的凸性及应用[含论文、综述、开题-可编辑]

函数的凸性及应用[含论文、综述、开题-可编辑]

设计

（ 20 届）

函数的凸性及应用

所在学院

专业班级 信息与计算科学

学生姓名 学号

指导教师 职称

完成日期 年 月

摘 要：凸函数是一类非常重要的函数，运用函数的凸性，不仅可以科学、准确的描述函数的图像，而且也可以用来证明一些不等式，同时，凸函数的研究结果也在许多领域得到了广泛的应用。本文首先介绍了凸函数的定义；接着介绍了凸函数的几个定理；然后介绍了凸函数的性质；最后进一步介绍了凸函数的应用。本文主要集中考虑了凸函数在下面几方面中的应用：凸函数在证明Hadamard不等式中的应用，凸函数在证明Jensen不等式中的应用，凸函数在一些分析不等式中的应用等。

关键词：凸函数；连续；等价描述；不等式

Convex Function and Its Application

Abstract： Convex function is a kind of very important functions，when considering

the convexity of function, it can not only describe the image of function much more

scientifically and accurately, but also can be made use of to prove inequalities. At present

convex function has a widely application in many areas. In this paper, we firstly introduce

the definition of convex function, and take an overview of the property of Convex function,

凸集的性质及其应用【开题报告】

凸集的性质及其应用【开题报告】

毕业论文开题报告

数学与应用数学

凸集的性质及其应用

一、选题的背景、意义

凸集理论从本世纪三十年代以来日益受到人们的重视，二十世纪六十年代中期，由于数学规划、对策论、数理经济学、变分学、最优控制理论等多方面的需要，诞生了一门新的数学分支——凸分析. 凸分析的基本研究对象是凸集和凸函数，基本工具是凸集分离定理.凸集是一个十分重要的概念，在泛函分析、概率论、统计决策论和信息论中有广泛的应用[1]. 20世纪60年代以后发展迅速，凸集的概念通过不同的途径被推广，提出了吸收凸集、对称凸集、严格凸集、一致凸集、强凸集等概念. 虽然在实际中我们常常遇到非凸集，但此时可以引进伪凸、拟凸等广义凸集的概念，并说明它们可保留凸集的某些主要性质，从而使其他领域中用这些凸集性质得到的结果，可拓广到广义凸集上来[2]

凸集在近代数学中占有极重要的地位，本文主要讨论的是一般线性空间中的凸集.本文给出了凸集的几个等价命题和他们之间的推导，及凸集的有关性质和它在分析中的一些相关应用. 凸集的产生与分析学有着密切的联系，而数学分析理论的建立，极大地推动了数学的发展. 利用凸集的定义及其基本性质，能使一些过去较为复杂的平面几何问题转化为比较容易简单的问题，从而得到巧妙简捷的解决．一门科学的创立决不是某一个人的业绩，它必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的．凸集理论也是这样．直到二十世纪六十年代中期，由于数学规划、对策论、数理经济学、变分学、最优控制理论等多方面的需要，诞生了一门新的数学分支——凸分析.这一分支由于基本内容相当初等，而应用又十分广泛，因此许多结果很快就成为广大数学工作者手中的有力工具.凸分析的基本研究对象是凸集和凸函数，基本工具是凸集分离定理.在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸集．凸集有许多等价的定义和性质，这些定义和性质在分析学中有着广泛的应用．不仅如此，在很多的科学领域中，凸集理论也能得到很好的应用.