第四讲一元二次方程与二次函数(含解析)

第四讲一元二次方程与二次函数(含解析)

第四讲 一元二次方程与二次函数

【前言】

前三讲，笔者要紧是和大伙探讨中考中的几何综合问题，在这一类问题当中，尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难。几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，然而对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。因此在接下来的专题当中，我们将对代数综合问题进行认真的探讨和分析。

一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。然而在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合，因此我们接着通过真题来看看此类问题的一般解法。

第一部分 真题精讲

【例1】2017，西城，一模

：关于x的方程23(1)230mxmxm、

⑴求证：m取任何实数时，方程总有实数根；

⑵假设二次函数213(1)21ymxmxm的图象关于y轴对称、

①求二次函数1y的解析式；

②一次函数222yx，证明：在实数范围内，关于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值12yy≥均成立；

⑶在⑵条件下，假设二次函数23yaxbxc的图象通过点(50)，，且在实数范围内，关于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值132yyy≥≥，均成立，求二次函数23yaxbxc的解析式、

【思路分析】此题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，因此需要讨论M=0和M≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直截了当相减即可。事实上那个一次函数2y恰好是抛物线1y的一条切线，只有一个公共点〔1，0〕。依照那个信息，第三问的函数假如要取不等式等号，也必须过该点。因此通过代点，将3y用只含a的表达式表示出来,再利用132yyy≥≥,构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,因此能够得出结果.

【解析】

解：〔1〕分两种情况：

当0m时，原方程化为033x，解得1x， 〔不要遗漏〕

∴当0m，原方程有实数根.

当0m时，原方程为关于x的一元二次方程，

∵222[31]4236930mmmmmm△≥.

∴原方程有两个实数根. 〔假如上面的方程不是完全平方式该怎么样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就能够了，只是中考假如不是压轴题差不多判别式都会是完全平方式，大伙注意确实是了〕

综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根.

〔2〕①∵关于x的二次函数32)1(321mxmmxy的图象关于y轴对称，

∴0)1(3m.〔关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0〕

∴1m.

∴抛物线的解析式为121xy.

②∵221212210yyxxx≥，〔判断大小直截了当做差〕

∴12yy≥〔当且仅当1x时，等号成立〕.

〔3〕由②知，当1x时，120yy.

∴1y、2y的图象都通过1,0. 〔特别重要，要对那个等号有敏锐的感受〕

∵关于x的同一个值，132yyy≥≥，

∴23yaxbxc的图象必通过1,0.

又∵23yaxbxc通过5,0，

∴231545yaxxaxaxa. 〔巧妙的将表达式化成两点式，幸免繁琐计算〕

设)22(54223xaaxaxyyy)52()24(2axaax.

∵关于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值132yyy≥≥均成立，

∴320yy≥，

图7-1-2-3-3-2-1-4-5-621123

∴2(42)(25)0yaxaxa≥.

又依照1y、2y的图象可得 0a，

∴24(25)(42)04aaaya最小≥.〔a>0时,顶点纵坐标确实是函数的最小值〕

∴2(42)4(25)0aaa≤.

∴2(31)0a≤.

而2(31)0a≥.

只有013a，解得13a.

∴抛物线的解析式为35343123xxy.

【例2】2017，门头沟，一模

关于x的一元二次方程22(1)2(2)10mxmx.

〔1〕当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；

〔2〕点11A，是抛物线22(1)2(2)1ymxmx上的点，求抛物线的解析式；

〔3〕在〔2〕的条件下，假设点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B的直线，假设存在，请求出直线的解析式；假设不存在，请说明理由.

【思路分析】第一问判别式依旧要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意假如有一次函数和二次函数只有一个交点，那么需要设直线y=kx+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，然而如此还不够，因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,因此需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.

【解析】：

〔1〕由题意得22224(1)0mm（）

解得54m

210m

解得1m

当54m且1m时，方程有两个不相等的实数根.

〔2〕由题意得212(2)11mm

解得31mm，〔舍〕 (始终牢记二次项系数不为0)

28101yxx

〔3〕抛物线的对称轴是58x

由题意得114B， (关于对称轴对称的点的性质要掌握)

14x与抛物线有且只有一个交点B (这种情况考试中容易遗漏)

另设过点B的直线ykxb〔0k〕

把114B，代入ykxb，得14kb，114bk

114ykxk

28101114yxxykxk

整理得218(10)204xkxk

有且只有一个交点，21(10)48(2)04kk

解得6k

162yx

综上，与抛物线有且只有一个交点B的直线的解析式有14x，162yx

【例3】

P〔3,m)和Q〔1，m〕是抛物线221yxbx上的两点、

〔1〕求b的值；

〔2〕判断关于x的一元二次方程221xbx=0是否有实数根，假设有，求出它的实数根；假设没有，请说明理由；

〔3〕将抛物线221yxbx的图象向上平移k〔k是正整数〕个单位，使平移后的

图象与x轴无交点，求k的最小值、

【思路分析】 拿到题目，特别多同学不假思索就直截了当开始代点，然后建立二元方程组，

十分麻烦，计算量大，浪费时间同时可能出错。然而认真看题，发明P,Q纵坐标是一样的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数，因此轻松写出对称轴求出b。 第二问依旧是判别式问题，比较简单。第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加右减(单独的x),上加下减(表达式整体)然后求出结果。

【解析】

(1)因为点P 、Q在抛物线上且纵坐标相同，因此P、Q关于抛物线对称轴对称同时到对称轴距离相等、

因此，抛物线对称轴3142bx，因此，4b、

〔2〕由〔1〕可知，关于x的一元二次方程为2241xx=0、

因为，24bac=16－8=80、

因此，方程有两个不同的实数根，分别是

12122bxa，22122bxa、

〔3〕由〔1〕可知，抛物线2241yxx的图象向上平移k〔k是正整数〕个单位后的解析式为2241yxxk、

假设使抛物线2241yxxk的图象与x轴无交点，只需22410xxk 无实数解即可、

由24bac=168(1)k=88k<0，得1k

又k是正整数，因此k得最小值为2、

【例4】2017，昌平，一模

抛物线2442yaxaxa，其中a是常数、

〔1〕求抛物线的顶点坐标；

〔2〕假设25a，且抛物线与x轴交于整数点〔坐标为整数的点〕，求此抛物线的解析式、

【思路分析】此题第一问较为简单，用直截了当求顶点的公式也能够算，然而假如巧妙的将a提出来,里面确实是一个关于X的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问那么需要把握抛物线与X轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给25a,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值.

〔1〕依题意，得0a，

∴2442yaxaxa

2244222.axxax

∴抛物线的顶点坐标为(2,2)

〔2〕∵抛物线与x轴交于整数点，

∴24420axaxa的根是整数、

∴24164(42)222aaaaaxaa是整数、

∵0a，

∴22xa是整数、

∴2a是整数的完全平方数、

∵25a，

∴25a、 (特别多考生想不到这种变化而导致后面无从下手)

∴2a取1，4，

当21a时，2a； 当24a时，12a 、

∴a的值为2或12 、

∴抛物线的解析式为2286yxx或2122yxx、

【例5】2017，平谷，一模

：关于x的一元二次方程21210mxmx〔m为实数〕

〔1〕假设方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

〔2〕在〔1〕的条件下，求证：不管m取何值，抛物线2121ymxmx总过x轴上的一个固定点；

〔3〕假设m是整数，且关于x的一元二次方程21210mxmx有两个不相等的整数根，把抛物线2121ymxmx向右平移3个单位长度，求平移后的解析式、

【思路分析】此题第一问比较简单，直截了当判别式≥0就能够了，依旧不能遗漏的是m－1≠0。第二问那么是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y的取值.关于此题来说,直截了当将抛物线中的m提出,对其进行因式分解得到y=(mx－x－1)(x+1)就能够看出当x=－1时,Y=0，而这一点恰是抛物线横过的X轴上固定点.假如想不到因式分解,由于此题固定点的特别性(在X轴上),也能够直截了当用求根公式求出两个根,