第4讲：二次函数2

第- 1 -页 共31页 二次函数知识点(第一讲)

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数2yaxbxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

⑵ abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：2yax的性质：

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2yaxc的性质：（上加下减）

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

0a 向上 00， y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．

0a 向下 00， y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0．

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

0a 向上 0c， y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值c．

0a 向下 0c， y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值c．

第- 2 -页 共31页 3. 2yaxh的性质：（左加右减）

4. 2yaxhk的性质：

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；

⑵ 保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：

向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2. 平移规律

第4讲 二次函数与方程不等式

知识目标

模块一 解一元二次不等式 例1 难度：☆☆

模块二 交点个数及交点关系 例2、例3、例4 难度：☆☆☆☆

模块三 二次函数区间最值问题 例5、例6、例7 难度：☆☆☆☆

模块一 解一元二次不等式

知识导航

解一元二次不等式的程序化思路

是

例1

解下列关于x的一元二次不等式：

（1）5x2＞2x－3；

否

否 是

原不等式解集为

{x|x＜x1，或x＞x2}(x1＜x2） 开始

将原不等式化成一般形式

ax2＋bx＋c＞0（a＞0）

△＝b2－△≥0？

求方程ax2＋bx＋c＝0的两个根x1、x2

x1＝方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根

原不等式解集为R

结束 原不等式解集为

{x|x≠ab-2}

（2）(x－1)(3－x)＜5－2x；

（3）x(x＋11)≥3(x＋1)2；

（4）(2x＋1)(x－3)＞3(x2＋2)；

（5）3x2－3x＋1＞－32x2.

练习

（1）x2－5x＜0；

（2）－x2＋4x－5＞0.

模块二 交点个数及交点关系

知识导航

1、与y轴平行的直线x＝h与抛物线y＝ax2＋bx＋c有且只有一个交点（h，ah2＋bh＋c）.

2、与x轴平行的直线y＝k与抛物线y＝ax2＋bx＋c的交点，可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，横坐标是ax2＋bx＋c＝k的两个实数根.

3、抛物线与x轴两交点之间的距离.若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两交点为A（x1,0），B（x2,0），由于x1、x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，故x1＋x2＝－ba,x1•x2＝ca，AB＝|x1－x2|＝212()xx＝21212()4xxxx＝24()bcaa＝24baca＝a.

例2

二次函数y＝x2－2x－3的图像与直线y＝x＋7相交于A、B两点，与直线x＝2交于C点，与直线y＝5交于D点.

第 1页（共 21页） 2020 年中考代数综合

第 4 讲：二次函数图象与一次函数图象交点问题

【案例赏析】

1. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝+2x﹣a+1 与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于A，

B 两点（点 A 在点 B 左侧），且点 A 的横坐标为﹣1．

（1） 求 a 的值；

（2） 设抛物线的顶点 P 关于原点的对称点为 P′，求点 P′的坐标；

（3） 将抛物线在 A，B 两点之间的部分（包括 A，B 两点），先向下平移 3 个单位，再向左平移 m（m＞0）个单位，平移后的图象记为图象 G，若图象 G 与直线 PP'无交点，求m 的取值范围． 第 2页（共 21页） 2. 抛物线 y1＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与 x 轴交于 A、B 两点，且点 A 在点 B 的左侧，

与 y 轴交于点 C，OB＝OC．

（1） 求这条抛物线的表达式；

（2） 将抛物线 y1 向左平移 n（n＞0）个单位，记平移后 y 随着 x 的增大而增大的部分为P，若点 C 在直线 y2＝﹣3x+t 上，直线 y2 向下平移 n 个单位，当平移后的直线与 P 有公共点时，求 n 的取值范围．

3. 已知关于 x 的一元二次方程 mx2+（3m+1）x+3＝0．

（1） 求证：该方程有两个实数根；

（2） 如果抛物线 y＝mx2+（3m+1）x+3 与 x 轴交于 A、B 两个整数点（点 A 在点 B 左侧），且 m 为正整数，求此抛物线的表达式；

（3） 在（2）的条件下，抛物线 y＝mx2+（3m+1）x+3 与 y 轴交于点 C，点 B 关于 y 轴的

对称点为 D，设此抛物线在﹣3≤x≤﹣之间的部分为图象 G，如果图象 G 向右平移 n

（n＞0）个单位长度后与直线 CD 有公共点，求 n 的取值范围． 第 3页（共 21页） 【专项突破】

4．已知关于 x 的方程 mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0．

第 1 页 共 5 页 人教版高一数学下册二次函数知识点讲解

二次函数（quadratic function）的基本表示形式为y=ax2+bx+c（a≠0）。二次函数最高次必须为二次，

二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。那么同学们赶快一起来看看二次函数知识点！定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a0)顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-bb^2-4ac)/2a二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线第 2 页 共 5 页 的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b^2-4ac=0时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与x轴交点个数=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。=b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-bb^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)二次函数与一元二次方程特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax^2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式顶点坐标对称轴y=ax^2(0，0)x=0y=a(x-h)^2(h，0)x=hy=a(x-h)^2+k(h，k)x=hy=ax^2+bx+c(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)x=-b/2a当h0时，第 3 页 共 5 页 y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，当h0时，则向左平行移动|h|个单位得到.当h0，k0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h0，k0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h0，k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h0，k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.2.抛物线y=ax^2+bx+c(a0)的图象：当a0时，开口向上，当a0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).3.抛物线y=ax^2+bx+c(a0)，若a0，当x-b/2a时，y随x的增大而减小;当x-b/2a时，y随x的增大而增大.若a0，当x-b/2a时，y随x的增大而增大;当x-b/2a时，y随x的增大而减小.4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);(2)当△=b^2-4ac0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a0)的两根.这两点第 4 页 共 5 页 间的距离AB=|x?-x?|当△=0.图象与x轴只有一个交点;当△0.图象与x轴没有交点.当a0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0.5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.6.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax^2+bx+c(a0).(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a0).(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a0).7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.练习题：1．若二次函数y＝ax2的图象经过点P(－2,4)，则该图象必经过点( )A．(2,4)