人教新课标版数学高二选修2-1练测 第一章 常用逻辑用语 章末检测

(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列四个命题是假命题的为()A．∀x∈R，x2＋2>0B．∀x∈N，x4≥1C．∃x∈Z，x3<1 D．∀x∈Q，x2≠3解析：选B.∀x∈N，x4≥0，∴B错误．2.如果命题“¬(p∨q)”为假命题，则()A．p，q均为真命题B．p，q中至少有一个为真命题C．p，q均为假命题D．p，q中至多有一个为真命题解析：选B.¬(p∨q)为假命题，则p∨q为真命题．∴p，q中至少有一个为真命题．3.命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是()A．若x>y，则x3≤y3－1 B．若x≤y，则x3>y3－1C．若x≤y，则x3≤y3－1 D．若x<y，则x3<y3－1解析：选C.将原命题的条件和结论分别否定作为条件和结论得到的新命题就是原命题的否命题，即“若x≤y，则x3≤y3－1”．4.下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要条件是()A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3解析：选A.A选项中a>b＋1>b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a>b＋1”为“a>b”成立的充分而不必要条件．5.设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b解析：选D.∵逆命题是以原命题的结论为条件，条件为结论的命题，∴这个命题的逆命题为：若|a|＝|b|，则a＝－b.6.设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.a＝1时，N＝{1}，∴N⊆M，∴a＝1是N⊆M的充分条件．若N⊆M，∴a2＝1或a2＝2，∴a＝±1或a＝±2，∴a＝1不是N⊆M的必要条件．7.下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2解析：选B.对于A，正确；对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，错误；对于C，当x∈(0，1)时，lg x<0<1，正确；对于D，正确．8.已知命题p：(x＋1)2>4，命题q：x>a，且¬p是¬q的充分而不必要条件，则a的取值范围是()A．a≥1 B．a≤1C．a≥－3 D．a≤－3解析：选A.由题意知：q是p的充分不必要条件，∴{x|q}{x|p}，p：x＋1>2或x＋1<－2，即x>1或x<－3；q：x>a.∴a≥1.9.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数解析：选D.全称命题的否定：“所有”变为“存在”，且否定结论．所以原命题的否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数．10.已知p(x)＝x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是()A．m≥3 B．m<8C．R D．3≤m<8解析：选D.∵p(1)为假命题，∴1＋2－m≤0，即m≥3.又p(2)为真命题，∴4＋4－m>0，即m<8.∴3≤m<8.11.“a＝－1”是“直线ax＋(2a－1)y＋1＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.当两直线垂直时，a＝－1或a＝0.∴a＝－1是两直线垂直的充分不必要条件．12.已知命题p：存在x∈R，使tan x＝22，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，则下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且¬q”是假命题；③命题“¬p或q”是真命题；④命题“¬p或¬q”是假命题．其中正确的是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④解析：选D.∵p、q都是真命题，∴①②③④均正确．二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)13.命题p：∀x∈R，f(x)≥m，则命题p的否定¬p是________．答案：∃x∈R，f(x)<m14.用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2π：________；(2)存在一个有理数x0，使得x20＝8：________．答案：(1)∀x∈{凸n边形}，x的外角和等于2π(2)∃x0∈Q，x20＝815.a＝3是“直线l1：ax＋2y＋3a＝0和直线l2：3x＋(a－1)y＝a－7平行且不重合”的________条件．解析：当a ＝3时，l 1：3x ＋2y ＋9＝0，l 2：3x ＋2y ＋4＝0，∴l 1∥l 2.反之，若l 1∥l 2，则a (a －1)＝6，即a ＝3或a ＝－2，但a ＝－2时，l 1与l 2重合．答案：充要16.命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是上单调递减”；命题q ：“∀x ∈R ，16x 2－16(a －1)x ＋1≠0”，若命题“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解：p 为真．当a >0时，只需对称轴x ＝－－42a ＝2a在区间(－∞，216(a －1)hslx3y3h 2－4×16<0，∴12<a <32. ∵命题“p 且q ”为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤112<a <32，∴12<a ≤1.。

第一章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题[答案] A[解析]因为原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a、b都小于1，则a＋b<2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a、b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3.2．(2013·重庆理，2)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为()A．对任意x∈R，都有x2<0B．不存在x∈R，使得x2<0C．存在x0∈R，使得x20≥0D．存在x0∈R，使得x20<0[答案] D[解析]根据全称命题的否定是特称命题，应选D.3．(2013·琼海市模拟)命题“tan x＝0”是命题“cos x＝1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析]x＝π时，tan x＝0，但cos x＝－1；cos x＝1时，sin x＝0，故tan x＝0.所以“tan x＝0”是“cos x＝1”的必要不充分条件．4．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c3<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3[答案] A[解析]一个命题的否命题，既否定条件，又否定结论，故选A.5．设x，y，z∈R，则“lg y为lg x，lg z的等差中项”是“y是x，z的等比中项”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]由题意得，“lg y为lg x，lg z的等差中项”，则2lg y＝lg x ＋lg z⇒y2＝xz，则“y是x，z的等比中项”；而当y2＝xz时，如x＝z＝1，y＝－1时，“lg y为lg x，lg z的等差中项”不成立，所以“lg y 为lg x，lg z的等差中项”是“y是x，z的等比中项”的充分不必要条件，故选A.6．(2013·湖北文，3)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为() A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q[答案] A[解析]∵綈p“甲没降落在指定范围”，綈q“乙没降落在指定范围”，∴“至少一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q)，故选A.7．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题．如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案] C[解析]依题意得，命题“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”是真命题(由“若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”可知)；命题“a∥β，且a⊥c⇒β⊥c”是假命题(直线c可能位于平面β内，此时结论不成立)；命题“α∥b ，且α⊥c ⇒b ⊥c ”是真命题(因为α∥b ，因此在平面α内必存在直线b 1∥b ；又α⊥c ，因此c ⊥b 1，∴c ⊥b )．综上所述，其中真命题有2个，选C.8．在△ABC 中，设命题p ：a sin B ＝b sin C ＝c sin A，命题q ：△ABC 是等边三角形，那么p 是q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] C[解析] 由已知a ＝b sin B sin C＝b 2c ⇒b 2＝ac . 同理a 2＝bc ，c 2＝ab ，故有(a ＋c )(a －c )＝b (c －a )．若a ≠c ，则a ＋c ＝b 与a 、b 、c 是△ABC 的三边矛盾，故a ＝c ，同理得到b ＝c ，于是a ＝b ＝c ，于是充分性得证，必要性显然成立．9．已知命题p ：“对∀x ∈R ，∃m ∈R ，使4x ＋2x m ＋1＝0”．若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．－2≤m ≤2B ．m ≥2C ．m ≤－2D ．m ≤－2或m ≥2[答案] C[解析] 由题意可知命题p 为真，即方程4x ＋2x m ＋1＝0有解，∴m ＝－4x ＋12x ＝－(2x ＋12x )≤－2. 10．(2012·豫东、豫北名校联考)下列命题中，错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．已知x ，y ∈R ，则x ＝y 是xy ≥(x ＋y 2)2成立的充要条件 C ．对命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，则x 2＋x ＋1≥0D ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假[答案] D[解析] 由逆否命题的定义知A 正确；当x ＝y 时，xy ≥(x ＋y 2)2成立；xy ≥(x ＋y 2)2成立时，有xy ≥|x ＋y |2，故x ＝y ，∴B 为真命题；由特称命题的否定为全称命题知C 为真命题；∵p ∨q 为假，∴p 假且q 假，∴D 为假命题．11．(2013·天津理，4)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切． 其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③[答案] C [解析] 统计知识与直线和圆的位置关系的判断．对于①，设球半径为R ，则V ＝43πR 3，r ＝12R ， ∴V 1＝43π×(12R )3＝πR 36＝18V ，故①正确；对于②，两组数据的平均数相等，标准差一般不相等；对于③，圆心(0,0)，半径为22，圆心(0,0)到直线的距离d ＝22，故直线和圆相切，故①，③正确． 12．设a ，b ∈R ，现给出下列五个条件：①a ＋b ＝2；②a ＋b >2；③a ＋b >－2；④ab >1；⑤log a b <0，其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件为( )A ．②③④B ．②③④⑤C ．①②③⑤D ．②⑤[答案] D[解析] ①a ＋b ＝2可能有a ＝b ＝1；②a ＋b >2时，假设a ≤1，b ≤1，则a ＋b ≤2矛盾；③a ＋b >－2可能a <0，b <0；④ab >1，可能a <0，b <0；⑤log a b <0，∴0<a <1，b >1或a >1,0<b <1，故②⑤能推出．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．命题“同位角相等”的否定为________，否命题为________．[答案] 有的同位角不相等 若两个角不是同位角，则它们不相等[解析] 全称命题的否定是特称命题；“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”14．写出命题“若方程ax 2－bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根均大于0，则ac >0”的一个等价命题是____________________________________．[答案] 若ac ≤0，则方程a 2－bx ＋c ＝0的两根不全大于0.[解析] 根据原命题与它的逆否命题是等价命题可直接写出．15．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是________．[答案] 3≤m <8[解析] ∵p (1)是假命题，p (2)是真命题，∴⎩⎨⎧ 3－m ≤0，8－m >0.解得3≤m <8.16．下列命题中，________是全称命题，________是特称命题． ①正方形的四条边相等；②有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数；⑤一定有偶数x 0，y 0，使得3x 0－2y 0＝10成立．[答案] ①②③ ④⑤三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)命题：已知a 、b 为实数，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2－4b ≥0，写出命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．[解析] 逆命题，已知a 、b 为实数，若a 2－4b ≥0，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集．否命题：已知a 、b 为实数，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2－4b <0.逆否命题：已知a 、b 为实数，若a 2－4b <0，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：∀m ∈R ，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1≤0.[解析] (1)綈p ：∃m ∈R ，使方程x 2＋x －m ＝0无实数根． 若方程x 2＋x －m ＝0无实数根，则Δ＝1＋4m <0，则m <－14， 所以当m ＝－1时，綈p 为真．(2)綈q ：∀x ∈R ，使得x 2＋x ＋1>0.(真)因为x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0 所以綈q 为真．19．(本小题满分12分)已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，且x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．[解析] P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}．∵x ∈P 是x ∈Q 的必要条件∴x ∈Q ⇒x ∈P ，即Q ⊆P∴⎩⎨⎧ a －4≤1a ＋4≥3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5a ≥－1. ∴－1≤a ≤5.20．(本小题满分12分)如图所示的电路图，设命题p ：开关K 闭合，命题q ：开关K 1闭合，命题s ：开关K 2闭合，命题t ：开关K 3闭合．(1)写出灯泡A 亮的充要条件；(2)写出灯泡B 不亮的充分不必要条件；(3)写出灯泡C 亮的必要不充分条件．[解析] (1)灯泡A 亮的充要条件是“p ∧q ”．(2)灯泡B 不亮的充分不必要条件是“綈p ”或“ 綈s ”；(3)灯泡C 亮的必要不充分条件是p 或t .[点拨] 根据串并联电路的特点，K 控制着整个电路，K 1，K 2，K 3分别控制着一个支路．只有K 闭合，灯泡才有可能亮，只有K 1闭合，灯泡A 才有可能亮，只有K 2闭合，灯泡B 才有可能亮，只有K 3闭合，灯泡C 才有可能亮，据此可以写出有关的充分、必要条件．21．(本小题满分12分)求使函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象全在x 轴上方成立的充要条件．[解析] 要使函数f (x )的图象全在x 轴上方的充要条件是： ⎩⎨⎧ a 2＋4a －5>0，Δ＝16(a －1)2－4(a 2＋4a －5)×3<0，或 ⎩⎨⎧ a 2＋4a －5＝0，a －1＝0.解得1<a <19或a ＝1，故1≤a <19.所以使函数f (x )的图象全在x 轴的上方的充要条件是1≤a <19.22．(本小题满分14分)已知a >0，设命题p ：函数y ＝(1a )x 为增函数．命题q ：当x ∈[12，2]时函数f (x )＝x ＋1x >1a 恒成立． 如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求a 的取值范围．[解析] 由y ＝(1a )x 为增函数得，0<a <1.因为f (x )在[12，1]上为减函数，在[1,2]上为增函数， ∴f (x )在x ∈[12，2]上最小值为f (1)＝2. 当x ∈[12，2]时，由函数f (x )＝x ＋1x >1a 恒成立得，2>1a ，解得a >12. 如果p 真且q 假，则0<a ≤12； 如果p 假且q 真，则a ≥1.高中数学-打印版精心校对 所以a 的取值范围为(0，12]∪[1，＋∞)．。

选修2-1第一章《常用逻辑用语》单元练习班级 姓名 学号 得分1．给出以下四个命题：①若y x N y x +∈+,,是奇数，则y x ,中一个是奇数一个是偶数；②若32<≤-x ，则0)3)(2(≤-+x x ；③若0==y x ，则022=+y x ；④若0232=+-x x ，则1=x 或2=x .那么 （ ）A.①的逆命题为假B.②的否命题为真C.③的逆否命题为假D.④的逆命题为真2.若p 是q 的必要条件，则必有 （ ）A. p q ⇒B. q p ⌝⇒C. q p ⌝⇒⌝D. p q ⌝⇒⌝3.有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有藏宝图．金盒上写有命题p ：藏宝图在这个盒子里；银盒上写有命题q ：藏宝图不在这个盒子里；铅盒上写有命题r ：藏宝图不在金盒子里．命题p 、q 、r 中有且只有一个是假命题，则藏宝图不在 ( )A.金盒里B.银盒里C.铅盒里D.不能确定4．已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件.现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④s p ⌝⌝是的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是 （ ）A.①④⑤B.①②④C.②③⑤D. ②④⑤5.命题“所有的互斥事件都是对立事件”的否命题和命题的否定 （ ）A.均为真命题B.均为假命题C.只有否命题为真命题D. 只有命题的否定为真命题6.如果命题“)(q p 或⌝”为假命题，则 （ ）A.q p ,均为真命题B.q p ,均为假命题C.q p ,中至少有一个真命题D.q p ,中至多一个真命题7．不等式2x 2－5x －3＜0的一个必要不充分条件可以是 （ ） A.132x -<< B. 102x -<< C.132x -<< D.16x -<< 8. 命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是 （ ） A.不存在01,23≤+-∈x x R x B.存在01,23≥+-∈x x R xC.存在01,23>+-∈x x R xD. 对任意的01,23>+-∈x x R x9．对任意实数x , 若不等式k x x >+++|1||2|恒成立, 则实数k 的取值范围是 （ ）A. k ≥1B. k <1C. k ≤1D. k >110.若关于x 的不等式22x x a <--至少有一个实数解，求实数a 的取值范围为 （ ）A. (B. (2,2)-C. 99(,)44-D. 77(,)44-11.“a b Z +∈”是“20x ax b ++=有且只有整数解的” 条件.12.在一次模拟打飞机的游戏中，小李连续射击两次，设命题1p 为“第一次射击击中飞机”，命题2p 为“第二次射击击中飞机”，则命题“12()p p ⌝∨”可以表示 .13.方程22(21)0x k x k +-+=有两个大于1的实数根的充要条件为 .14.命题“已知,,,a b c d R ∈，若,a b c d ==，则a c b d +=+”的否命题为 ；并且否命题为 命题.（填“真”与“假”）15.设p ：实数x 满足22430,(0)x ax a a -+<<，q ：实数满足260x x --<或2280x x +->，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.16.已知命题:,p x R ∃∈使220ax x a ++≥，当a A ∈时，p 为假命题，求集合A .新 课标 第一 网17.设函数()lg(5)f x ax =-的定义域为A ，若命题:3p A ∈与:5q A ∈有且只有一个为真命题，求实数a 的取值范围.18. 设,m n N +∈,求证：33n m -为偶数的充要条件是n m -为偶数.新 课 标第 一 网参考答案：1-10 DDBBA CDCBC 11.必要不充分 12.两次都未击中飞机 13.k <-214. “已知,,,a b c d R ∈，若a b ≠或c d ≠，则a c b d +≠+” 假命题15.(]2,4,03⎡⎫-∞--⎪⎢⎣⎭ 16. (),1-∞- 17.51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦18.略。

第一章测评B(高考体验卷)(时间：90分钟 满分：100分)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假3．下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要条件是“a ＞c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β4．设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(⌝p )∧(⌝q )D ．p ∨(⌝q ) 5．(安徽高考)命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定．．是( ) A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2＜0B ．∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20＜0D ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥06．(安徽高考)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．(福建高考)设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．(2012辽宁高考)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则⌝p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜09．(课标全国Ⅰ高考)已知命题p ：∀x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q10．(山东高考)给定两个命题p ，q .若⌝p 是q 的必要而不充分条件，则p 是⌝q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷(非选择题 共50分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．(山东东营一中高三月考改编)已知p ：|x |＜1，q ：x 2＋x －6＜0，则q 是p 的__________条件．12．(山东淄博淄川一中月考改编)已知命题p ：∃x ∈R ，使x 2＋3x 2＋2＝2；命题q ：“a ＝2”是“函数y ＝x 2－ax ＋3在区间∪1，＋∞)上单调递增成立；反之不成立，故而q 为真，所以p ∧q 为假，(⌝p )∧q 为真，所以正确说法序号为②③④.答案：②③④13．解析：全称命题“∀x ∈M ，p (x )”的否定为存在性命题“∃x ∈M ，⌝p (x )”． 答案：∃x ∈R ，x 2＝x14．解析：由题意知，命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以⌝p 为假，⌝q 为真．所以p ∧⌝q 为真，⌝p ∧q 为假，⌝p ∧⌝q 为假，p ∧q 为假．答案：②③④15．解析：易知q ：－a ＜x ＜a .又因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1>－a ，a >5， 所以a ＞5.答案：a ＞516．解：若p 真，则Δ＜0，且a ＞0，故a ＞2；若q 真，则a ＞2x －2x ＋1，对∀x ∈(－∞，－1)恒成立，y ＝2x －2x＋1在(－∞，－12，＋∞)．18．解：对于p ：x －1x ＋1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(x ＋1)≤0，x ＋1≠0， 所以－1＜x ≤1.对于q ：(x －m )(x －m ＋3)≥0，m ∈R ，得x ≥m 或x ≤m －3.又因为p 是q 的充分不必要条件， 所以p ⇒q ，q p . 所以m －3≥1或m ≤－1，所以m ≥4或m ≤－1.故实数m 的取值范围是m ≥4或m ≤－1.19．解：(1)因为a ＜0，所以2a ＜－a ，所以B ＝{x |x ＜2a ，或x ＞－a }＝(－∞，2a )∪(－a ，＋∞)．(2)由(1)知⌝p ：R A ＝(－2,3)，⌝q ：R B ＝．由⌝p 是⌝q 的充分不必要条件知R A R B ， 故⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≤－2，－a ≥3，a <0，解得a ≤－3，所以a 的取值范围为(－∞，－3hslx3y3h ．。

第一章综合能力检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2012·湖北理，2)命题“∃x0∈∁R Q，x30∈Q”的否定是() A．∃x0∉∁R Q，x30∈Q B．∃x0∈∁R Q，x30∉QC．∀x∉∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁R Q，x3∉Q[答案] D[解析]特称命题的否定是全称命题．“∃”的否定是“∀”，“x3∈Q”的否定是“x3∉Q”．故选D.2．“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析]当a＝2时，直线2x＋2y＝0，显然平行于x＋y＝1，若直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行，则须满足a－2＝0，得a＝2.3．(2012·泗水一中月考)“a>b>0”是“a2＋b2>2ab”成立的() A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分且必要条件D．不充分且不必要条件[答案] B[解析]∵a>b>0，∴a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，∴由a>b>0⇒a2＋b2>2ab，由a2＋b2>2ab⇒(a－b)2>0⇒/a>b>0，故选B.4．命题p：x＝π是y＝|sin x|的一条对称轴，q：2π是y＝|sin x|的最小正周期，下列新命题：①p∨q；②p∧q；③綈p；④綈q.其中真命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案] C[解析]由题意知p真q假，则①④为真命题，故选C.5．条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的两倍”；条件q：“直线l的斜率为－2”，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析]注意当直线经过原点时，两个截距均为零，斜率值可以任意．6．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] A[解析]本题主要考查充分必要条件问题．当x＝4时，|a|＝42＋32＝5，当|a|＝x2＋9＝5时，解得x＝±4.所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．7．与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是()A．若a∉M，则b∉MB．若b∉M，则a∈MC．若a∉M，则b∈MD．若b∈M，则a∉M[答案] D[解析]即原命题的逆否命题，结论的否定b∈M作条件，条件的否定a∉M作结论，故选D.8．若a，b均为非零向量，则“a⊥b”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A．充要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由a ⊥b ，则如图OABC 是矩形，即可推得|OB →|＝|a ＋b |＝|a －b |＝|CA →|.反之有|a ＋b |＝|a －b |，平方得a ·b ＝0，可推得a ⊥b .综合可得“a ⊥b ”是“|a ＋b |＝|a －b |”的充要条件．9．下列命题中，真命题是( )A ．∀x ∈R ，x >0B ．如果x <2，那么x <1C ．∃x ∈R ，x 2≤－1D ．∀x ∈R ，使x 2＋1≠0[答案] D[解析] A 显然是假命题，B 中若x ∈[1,2)虽然x <2但x 不小于1.C 中不存在x ，便得x 2≤－1，D 中对∀x ∈R 总有x 2＋1≥1，∴x 2＋1≠0，故D 是真命题，选D.10．如果不等式|x －a |<1成立的充分非必要条件是12<x <32，则实数a 的取值范围是( )A.12<a <32B.12≤a ≤32 C ．a >32或a <12D ．a ≥32或a ≤12 [答案] B[解析] |x －a |＜1⇔a －1＜x ＜a ＋1由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32(a －1，a ＋1)则有⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≤12，a ＋1≥32.且等号不同时成立解得12≤a ≤32，故选B. 11．设a 、b 、c 表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是( )A ．已知c ⊥α，若c ⊥β，则α∥βB ．已知b ⊂β，c 是a 在β内的射影，若b ⊥c ，则b ⊥aC ．已知b ⊂β，若b ⊥α，则β⊥αD ．已知b ⊂α，c ⊄α，若c ∥α，则b ∥c[答案] C[解析] A 的逆命题是：c ⊥α，若α∥β，则c ⊥β，真命题；B 的逆命题是b ⊂β，c 是a 在β内的射影，若b ⊥a ，则b ⊥c ，是真命题；D 的逆命题是b ⊂α，c ⊄α，若b ∥c ，则c ∥α，是真命题．12．“θ＝2π3”是“tan θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A [解析] 解法一：∵θ＝2π3为方程tan θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ 的解， ∴θ＝2π3是tan θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ成立的充分条件； 又∵θ＝8π3也是方程tan θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ的解， ∴θ＝2π3不是tan θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ的必要条件，故选A. 解法二：∵tan θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ， ∴sin θ＝0或cos θ＝－12， ∴方程tan θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ的解集为 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪ θ＝k π或θ＝2k π±23π，k ∈Z ， 显然⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π3A ，故选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象过原点的充要条件是________________．[答案] c ＝0[解析] ∵函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象过原点，∴x ＝0时，y ＝0，即c ＝0.14．命题p：若a、b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件；命题q：函数y＝x－3的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”、“p∧q”、“綈p”中是真命题的为________．[答案]p∨q，綈p[解析]p为假命题，q为真命题，故p∨q为真命题，綈p为真命题．15．已知a，b为两个非零向量，有以下命题：①a2＝b2；②a·b＝b2；③|a|＝|b|且a∥b.其中可以作为a＝b的必要不充分条件的命题是________．(将所有正确命题的序号填在题中横线上)[答案]①②③[解析]显然a＝b时①②③成立，即必要性成立．当a2＝b2时，(a＋b)·(a－b)＝0，不一定有a＝b；当a·b＝b2时，b·(a－b)＝0，不一定有a＝b；|a|＝|b|且a∥b时，a＝b或a＝－b，即①②③都不能推出a＝b.16．为激发学生的学习兴趣，老师上课时在黑板上写出三个集合：A＝{x|()x－1x<0}，B＝{x|x2－3x－4≤0}，C＝{x|log12x>1}；然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“()”中的数字告诉他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数．以下是甲、乙、丙三位同学的描述：甲：此数为小于6的正整数，乙：A是B成立的充分不必要条件，丙：A 是C 成立的必要不充分条件．若老师评说三位同学都说得对，则“( )”中的数应为________．[答案] 1[解析] 集合B ＝{x |－1≤x ≤4}，集合C ＝{x |0<x <12}．由甲的描述可设括号内的数为a (a >0)，故集合A ＝{x |0<x <1a }．根据乙、丙的描述可得集合A 、B 、C 的关系是：C A B ，故1a ∈(12，4]，所以a ∈[14，2)．又a 为正整数，所以a ＝1. 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)将下列命题改写为“若p ，则q ”的形式．并判断真假．(1)偶数能被2整除；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角不相等．[解析] (1)若一个数是偶数，则它能被2整除．真命题．(2)若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称．真命题．(3)在同圆或等圆中，若两个角是同弧或等弧所对的圆周角，则它们不相等．假命题．18．(本小题满分12分)写出命题“x 2＋x ≤0，则|2x ＋1|<1”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．[解析]逆命题：若|2x＋1|<1，则x2＋x≤0为真．否命题：若x2＋x>0，则|2x＋1|≥1为真．逆否命题：若|2x＋1|≥1，则x2＋x>0，为假．19．(本小题满分12分)分别写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的新命题，并判断新命题的真假．(1)p：正多边形有一个内切圆；q：正多边形有一个外接圆；(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线互相平分．[解析](1)p或q：正多边形有一个内切圆或者有一个外接圆．p且q：正多边形既有一个内切圆，也有一个外接圆．非p：正多边形没有内切圆．∵p真q真，∴p或q，p且q为真，綈p为假．(2)p或q：平行四边形的对角线相等或互相平分．p且q：平行四边形的对角线相等且互相平分．非p：存在一个平行四边形的对角线不相等．因为p是假命题，q是真命题，所以“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，“非p”为真命题．20．(本小题满分12分)已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．[解析]p：A＝{x|x<－2或x>10}，q：B＝{x|x<1－a或x>1＋a，a>0}，如图．依题意，p ⇒q ，但q ⇒/ p ，说明A B ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a >01－a ≥－21＋a ≤10，且等号不同时成立，解得0<a ≤3.∴实数a 的取值范围是0<a ≤3.21．(本小题满分12分)设命题p ：∀x ∈R ，x 2－2x >a ；命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0如果命题“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求a 的取值范围．[解析] 由命题p 可知x 2－2x ＝(x －1)2－1>a 恒成立，∴a <－1.由命题q 可知方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实数根，∴Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0，解得a ≤－2或a ≥1.∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．当p 真q 假时，有－2<a <－1，当p 假q 真时，有a ≥1.∴a 的取值范围是(－2，－1)∪[1，＋∞)．22．(本小题满分14分)已知：p |5－3x |≤1，q ：x 2＋(m －3)x ＋2－m ≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．高中数学-打印版精心校对 [解析] 由|5－3x |≤1得－1≤5－3x ≤1，即43≤x ≤2. 由x 2＋(m －3)x ＋2－m ≤0知(x －1)[x －(2－m )]≤0， 当2－m ＝1，即m ＝1时，不等式x 2＋(m －3)x ＋2－m ≤0的解集为{x |x ＝1}． 当2－m >1，即m <1时，不等式x 2＋(m －3)x ＋2－m ≤0的解集为{x |1≤x ≤2－m }．当2－m <1，即m >1时，不等式x 2＋(m －3)x ＋2－m ≤0的解集为{x |2－m ≤x ≤1}．由题意知p 是q 的充分不必要条件，当m ＝1时，{x |43≤x ≤2}⃘{x |x ＝1}，不满足题意，故舍去． 当m <1时，{x |43≤x ≤2}{x |1≤x ≤2－m }⇔2≤2－m ⇔m ≤0. 所以m ≤0时符合题意．当m >1时，{x |43≤x ≤2}不可能是{x |2－m ≤x ≤1}的真子集． 综上所述，m 的取值范围是m ≤0.。

第一章测评A(基础过关卷)(时间：90分钟满分：100分)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列命题：(1)有的四边形是菱形；(2)有的三角形是等边三角形；(3)无限不循环小数是有理数；(4) ∀x∈R，x＞1；(5)0是最小的自然数．其中假命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．42．命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的否命题是()A．若a＞b，则a－1≤b－1 B．若a≥b，则a－1＜b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1 D．若a＜b，则a－1＜b－13．已知p：{1}⊆{0,1}，q：{1}∈{1,2,3}，由它们构成的新命题“p∧q”“p∨q”“⌝p”中，真命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．34．已知命题p：∃x∈R，x＋6＞0，则⌝p是()A．∃x∈R，x＋6≥0 B．∃x∈R，x＋6≤0C．∀x∈R，x＋6≥0 D．∀x∈R，x＋6≤05．已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1；命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}．下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧⌝q”是假命题；③命题“⌝p∨q”是真命题；④命题“⌝p∨⌝q”是假命题．其中正确的是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④6．下列命题正确的是()A．“a＝b”是“a·c＝b·c”的必要条件B．a，l是直线，α是平面，a⊂平面α，则“l∥a”是“l∥α”的充要条件C．在△ABC中，“a＞b”是“sin A＞sin B”的充分不必要条件D．“x∈R，x2＋4x2＋1≥m”恒成立的充要条件是m≤37．对下列命题的否定错误的是()A．p：负数的平方是正数；⌝p：负数的平方不是正数B．p：至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；⌝p：任意一个整数，它是合数或质数C ．p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2；⌝p ：∃x ∈N ，x 3≤x 2D ．p ：2既是偶数又是质数；⌝p ：2不是偶数或不是质数 8．在锐角△ABC 中，“A ＝π3”是“sin A ＝32”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．下列命题是真命题的是( ) A ．π是有理数B ．sin 30°＝32C ．若a ＞b ＞0，则a 2＞b 2D ．垂直于同一个平面的两个平面互相平行10．已知p ：|x －a |＜4；q ：(x －2)(x －3)＜0，若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( )A ．a ≤－1或a ≥6B ．a ≠－1或a ≥6C ．－1≤a ≤6D ．－1＜a ＜6第Ⅱ卷(非选择题 共50分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．“函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与y 轴交于负半轴”的充要条件是__________． 12．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是__________．13．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋1x 2≤2，命题q 是命题p 的否定，则命题p ，q ，p ∧q ，p ∨q中是真命题的是__________．14．命题p ：∀x ∈R ，f (x )≥m ，则命题p 的否定⌝p 是__________． 15．下列结论：①若命题p ：∃ x ∈R ，sin x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞0，则命题“p ∧⌝p ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为__________．(把你认为正确的命题序号都填上)三、解答题(本大题共4个小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(6分)给出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0都有实根；(2)q：∃x∈{六边形}，x是正六边形．17．(6分)已知p：A＝{x||x－2|≤4}，q：B＝{x|(x－1－m)·(x－1＋m)≤0}(m＞0)，若⌝p 是⌝q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．(6分)已知命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．求当甲、乙有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围．19．(7分)(1)是否存在实数m，使得2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件？(2)是否存在实数m，使得2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件？参考答案1．解析：(1)(2)(5)是真命题；无限不循环小数是无理数，故(3)是假命题；(4)显然是假命题．答案：B2．解析：因为命题“若p ，则q ”的否命题既否定条件，又否定结论，所以命题“若a ＞b ，则a －1＞b －1”的否命题是“若a ≤b ，则a －1≤b －1”．答案：C 3．答案：B 4．答案：D5．解析：命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1正确，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}也正确，所以①正确，“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧⌝q ”是假命题；③命题“⌝p ∨q ”是真命题；④命题“⌝p ∨⌝q ”是假命题，故应选D.答案：D6．解析：应对各选项逐一进行判断．A 中，由a ＝b ⇒a·c ＝b·c ，但a·c ＝b·ca ＝b.例如，当a 与b 不共线时，若a ⊥c ，b ⊥c ，有a·c ＝b·c ，但a ≠b ，故“a ＝b ”是“a·c ＝b·c ”的充分不必要条件；B 中，“l ∥a ”是“l ∥α”的既不充分也不必要条件；C 中，“a ＞b ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件．故A ，B ，C 均不正确．D 中，因为x 2＋4x 2＋1＝x 2＋1＋4x 2＋1－1≥3，故x 2＋4x 2＋1≥m 恒成立的充要条件是m ≤3.答案：D7．解析：A 中⌝p 应为：有些负数的平方不是正数． 答案：A8．解析：因为0＜A ＜π2，所以当sin A ＝32时，A ＝π3，所以在锐角△ABC 中，“A ＝π3”是“sin A ＝32”的充要条件． 答案：C9．解析：π是无理数，故A 是假命题；sin 30°＝12，故B 是假命题；显然C 是真命题；垂直于同一个平面的两个平面也可能相交，故D 是假命题．故选C.答案：C10．解析：可将条件关系转化为集合间的包含关系求a 的范围．p ：|x －a |＜4⇔a －4＜x ＜a ＋4，记为A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，q ：(x －2)(x －3)＜0⇔2＜x ＜3，记为B ＝{x |2＜x ＜3}，因为⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，由命题间的关系有q 是p 的充分不必要条件，转化为集合关系即为BA ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，且等号不能同时成立，得－1≤a ≤6.答案：C 11．答案：c ＜012．解析：因为命题p 是假命题，故⌝p 是真命题，即对∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ＞0恒成立，故Δ＝4a 2－4a ＜0.解得0＜a ＜1.答案：0＜a ＜113．解析：应结合逻辑知识，先判断命题p ，q 的真假，对命题p ：∃ x ∈R ，x 2＋1x 2≤2，如x ＝1时，命题成立，故p 为真命题．又q 与命题p 的否定⌝p 真假相同，故q 为假命题．结合真值表知p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题．答案：p ，p ∨q14．答案：∃ x ∈R ，f (x )＜m15．解析：①中命题p 为真，q 为真，故⌝p 为假，则p ∧⌝q 为假，所以①正确；②当a ＝b ＝0时，l 1⊥l 2，故②不正确；③正确，逆否命题为条件、结论全否定再变换位置，故①③正确．答案：①③16．分析：先分析命题所含的量词，明确命题是全称命题还是存在性命题，然后加以否定；可利用“p ”与“⌝p ”真假性相反判断命题的真假．解：⌝p ：∃m ∈R ，方程x 2＋mx －1＝0无实根．(假命题)⌝q ：∀x ∈{六边形}，x 不是正六边形．(假命题)17．分析：化简集合，实行等价转化即将条件“⌝p 是⌝q 的必要不充分条件即p 是q的充分不必要条件”转化为“A B ”，然后利用集合关系列不等式组解决问题．解：p ：A ＝{x ||x －2|≤4}＝{x |－2≤x ≤6}， q ：B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }(m ＞0)， 因为⌝p 是⌝q 的必要不充分条件， 所以p 是q 的充分不必要条件． 利用数轴分析可得⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥6.两等号不能同时成立，解得m ≥5.故m 的取值范围为hslx3y3h5，＋∞)． 18．解：甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2＜0， 即a ＞13或a ＜－1.①乙命题为真时，2a 2－a ＞1， 即a ＞1或a ＜－12.②甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假，即13＜a ≤1；甲假乙真，即－1≤a＜－12，所以甲、乙中有且只有一个是真命题时，a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪13<a ≤1或－1≤a <－12. 19．解：(1)欲使得2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件，则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊆{x |x ＜－1或x ＞3}，则只要－m2≤－1，即m ≥2，故存在实数m ≥2，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件．(2)欲使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的必要条件，则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊇{x |x ＜－1或x ＞3}，这是不可能的，故不存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的必要条件．。

章末综合测评(一) 常用逻辑用语(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列语句中是命题的为()①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3＋1＝5；④∀x∈R,5x－3>6．A．①③B．②③C．②④D．③④D[①不能判断真假，②是疑问句，都不是命题；③④是命题．]2．命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是() A．若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等B．若△ABC中任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形C．若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形D．若△ABC中任何两个内角相等，则它是等腰三角形C[将原命题的条件否定作为结论，为“△ABC是等腰三角形”，结论否定作为条件，为“有两个内角相等”，再调整语句，即可得到原命题的逆否命题，为“若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形”，故选C．]3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数B[根据特称命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选B．]4．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[命题“若p，则q”的逆否命题为：“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．]5．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于()A．∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立B ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)≤0成立C ．∀x ∈R ，使得f (x )＞0成立D ．∀x ∈R ，f (x )≤0成立A [“关于x 的不等式f (x )＞0有解”等价于“存在实数x 0，使得f (x 0)＞0成立”．故选A ．]6．若命题(p ∨(q ))为真命题，则p ，q 的真假情况为( )A ．p 真，q 真B ．p 真，q 假C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假C [由(p ∨(q ))为真命题知，p ∨(q )为假命题，从而p 与q 都是假命题，故p 假q 真．]7．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，使得(x ＋1)e x ≤1B [因为全称命题∀x ∈M ，p (x )的否定为∃x 0∈M ，p (x )，故p ：∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1．]8．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x 0，使2x 0＜0．下列选项中为真命题的是( )A ．pB ．p ∨qC ．q ∧pD ．qC [很明显命题p 为真命题，所以p 为假命题；由于函数y ＝2x ，x ∈R 的值域是(0，＋∞)，所以q 是假命题，所以q 是真命题．所以p ∨q 为假命题，q ∧p 为真命题，故选C ．]9．条件p ：x ≤1，且p 是q 的充分不必要条件，则q 可以是( )A ．x >1B ．x >0C ．x ≤2D ．－1<x <0B [∵p ：x ≤1，∴p ：x >1，又∵p 是q 的充分不必要条件，∴p ⇒q ，q 推不出p ，即p 是q 的真子集．]10．下列各组命题中，满足“p ∨q ”为真，且“p ”为真的是( )A ．p ：0＝∅；q ：0∈∅B ．p ：在△ABC 中，若cos 2A ＝cos 2B ，则A ＝B ；q ：函数y ＝sin x 在第一象限是增函数C ．p ：a ＋b ≥2ab (a ，b ∈R )；q ：不等式|x |>x 的解集为(－∞，0)D ．p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的面积被直线x ＝1平分；q ：过点M (0,1)且与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切的直线有两条C [A 中，p 、q 均为假命题，故“p ∨q ”为假，排除A ；B 中，由在△ABC 中，cos 2A ＝cos 2B ，得1－2sin 2A ＝1－2sin 2B ，即(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝0，所以A －B ＝0，故p 为真，从而“p ”为假，排除B ；C 中，p 为假，从而“p ”为真，q 为真，从而“p ∨q ”为真；D 中，p 为真，故“p ”为假，排除D ．故选C ．] 11．已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若“p ∨q ”为假命题，则实数m 的取值X 围为( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]A [由题意知p ，q 均为假命题，则p ，q 为真命题．p ：∀x ∈R ，mx 2＋1>0，故m ≥0，q ：∃x ∈R ，x 2＋mx ＋1≤0，则Δ＝m 2－4≥0，即m ≤－2或m ≥2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2得m ≥2．故选A ．] 12．设a ，b ∈R ，则“2a ＋2b ＝2a ＋b ”是“a ＋b ≥2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [利用基本不等式，知2a ＋b ＝2a ＋2b ≥22a ·2b ，化简得2a ＋b ≥22，所以a ＋b ≥2，故充分性成立；当a ＝0，b ＝2时，a ＋b ＝2,2a ＋2b ＝20＋22＝5,2a ＋b ＝22＝4，即2a ＋2b ≠2a ＋b ，故必要性不成立．故选A ．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．命题“不等式x 2＋x －6>0的解为x <－3或x >2”的逆否命题是________．若－3≤x ≤2，则x 2＋x －6≤0[“不等式x 2＋x －6>0的解为x <－3或x >2”即为：“若x 2＋x －6>0，则x <－3或x >2”，根据逆否命题的定义可得：若－3≤x ≤2，则x 2＋x －6≤0．]14．写出命题“若x 2＝4，则x ＝2或x ＝－2”的否命题为________．若x 2≠4，则x ≠2且x ≠－2 [命题“若x 2＝4，则x ＝2或x ＝－2”的否命题为“若x 2≠4，则x ≠2且x ≠－2”．]15．若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值X 围是________． (－∞，－1][命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题．则∀t ∈R ，t 2－2t －a ≥0是真命题，∴Δ＝4＋4a ≤0，解得a ≤－1．∴实数a 的取值X 围是(－∞，－1]．]16．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值X 围是________．[－1,6][p ：－4<x －a <4⇔a －4<x <a ＋4，q ：(x －2)(3－x )>0⇔2<x <3．因为p 是q 的充分条件，即p ⇒q ，所以q 是p 的充分条件，即q ⇒p ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6．] 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)将命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．[解]“若p ，则q ”的形式：若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形．(真命题)逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．(真命题) 否命题：若一个四边形的一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是平行四边形．(真命题)逆否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的一组对边不平行或不相等．(真命题)18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．(1)q ：所有的矩形都是正方形；(2)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；(3)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋3＝0．[解](1)q ：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题． (2)r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题．这是由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0恒成立．(3)s ：∀x ∈R ，x 3＋3≠0，假命题．这是由于当x ＝－33时，x 3＋3＝0． 19．(本小题满分12分)(1)是否存在实数m ，使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件？(2)是否存在实数m ，使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件？[解](1)欲使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件，则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊆{x |x <－1或x >3}， 则只要－m 2≤－1，即m ≥2， 故存在实数m ≥2，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件．(2)欲使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件，则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊇{x |x <－1或x >3}， 则这是不可能的，故不存在实数m 使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件．20．(本小题满分12分)已知p ：x 2－8x －33>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0(a >0)，若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值X 围．[解]解不等式x 2－8x －33>0，得p ：A ＝{x |x >11或x <－3}；解不等式x 2－2x ＋1－a 2>0，得q ：B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}．依题意p ⇒q 但q p ，说明A B ．于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a ≤11，1－a >－3或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a <11，1－a ≥－3，解得0<a ≤4，所以正实数a 的取值X 围是(0,4]．21．(本小题满分12分)证明：函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )是奇函数的充要条件是a ＝1． [证明](充分性)若a ＝1，则函数化为f (x )＝2x －12x ＋1(x ∈R )．因为f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝12x－112x ＋1＝1－2x 1＋2x＝－2x －12x ＋1＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数． (必要性)若函数f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，所以a ·2－x ＋a －22－x ＋1＝－a ·2x ＋a －22x ＋1， 所以a ＋(a －2)·2x 2x ＋1＝－a ·2x ＋a －22x ＋1， 所以a ＋(a －2)·2x ＝－a ·2x －a ＋2，所以2(a －1)(2x ＋1)＝0，解得a ＝1．综上所述，函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )是奇函数的充要条件是a ＝1． 22．(本小题满分12分)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实根；q ：不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R ．若p ∨q 为真，q 为假，某某数m 的取值X 围．[解]由方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实根，得Δ＝m 2－4>0，解得m >2或m <－2． ∴命题p 为真时，m >2或m <－2；命题p 为假时，－2≤m ≤2．由不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R ，得方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0的根的判别式Δ′＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3．∴命题q 为真时，1<m <3；命题q 为假时，m ≤1或m ≥3．∵p ∨q 为真，q 为假，∴p 真q 假，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >2或m <－2，m ≤1或m ≥3，解得m <－2或m ≥3． ∴实数m 的取值X 围为(－∞，－2)∪[3，＋∞)．。

章末检测(一) 常用逻辑用语时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若x>1，则x>0”的否命题是()A．若x>1，则x≤0B．若x≤1，则x>0C．若x≤1，则x≤0 D．若x<1，则x<0解析：由否命题的定义可知应选C.答案：C2．下列语句是命题的是()A．2 018是一个大数B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点C．对数函数是增函数吗？D．a≤15解析：A、D不能判断真假，不是命题；B能够判断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题．答案：B3．“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的()A．充分不必要条件B．既不充分也不必要条件C．充分必要条件D．必要不充分条件解析：由“a＋c>b＋d”不能得知“a>b且c>d”，反过来，由“a>b且c>d”可得知“a＋c>b＋d”，因此“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件，选D. 答案：D4．已知命题①若a>b，则1a<1b，②若－2≤x≤0，则(x＋2)(x－3)≤0，则下列说法正确的是()A．①的逆命题为真B．②的逆命题为真C．①的逆否命题为真D．②的逆否命题为真解析：①的逆命题为1a<1b，则a>b，若a＝－2，b＝3，则不成立．故A错；②的逆命题为若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x≤0是假命题，故B错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确．答案：D5．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是()A．∃a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2B．∃a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2C．∀a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2D．∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2解析：全称命题含有量词“∀”，故排除A、B，又等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2对于全体实数都成立．答案：D6．“2a>2b”是“log2a>log2b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：2a>2b⇔a>b，但由a>b⇒/log2a>log2b，反之成立．答案：B7．已知直线l1：x＋ay＋1＝0，直线l2：ax＋y＋2＝0，则命题“若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2平行”的否命题为()A．若a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平行B．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2不平行C．若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2不平行D．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2平行解析：命题“若A，则B”的否命题为“若綈A，则綈B”，显然“a＝1或a＝－1”的否定为“a≠1且a≠－1”，“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”．答案：A8．已知函数y＝f(x)(x∈R)，则“f(1)<f(2)”是“函数y＝f(x)在R上是增函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：若f(x)在R上是增函数，则f(1)<f(2)，但由f(1)<f(2)不一定判断出f(x)为增函数．答案：B9．下列说法中，正确的是()A．命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题B．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题C．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件D．命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是：“∀x∈R，x2－x≤0”解析：选项A的逆命题，若m＝0时，则是假命题；选项B，p，q可以有一个为假命题；选项C为必要不充分条件；选项D符合存在性命题的否定规则．故选D.答案：D10．命题p：关于x的不等式(x－2)x2－3x＋2≥0的解集为{x|x≥2}，命题q：若函数y＝kx2－kx－1的值恒小于0，则－4<k≤0，那么不正确的是() A．“綈p”为假命题B．“綈p”为真命题C．“p或q”为真命题D．“p且q”为假命题解析：∵不等式(x－2)x2－3x＋2≥0的解集是{x|x≥2或x＝1}，∴p假；当y＝kx2－kx－1<0恒成立时，k<0且Δ<0或k＝0，∴－4<k≤0，∴q真．∴p或q真，p且q假，綈p真，綈q假．答案：A11．已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥e x”；命题q：“∃x0∈R，x20＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是假命题，则实数a的取值范围是()A．(－∞，4] B．(－∞，1)∪(4，＋∞)C．(－∞，e)∪(4，＋∞) D．(1，＋∞)解析：当p为真命题时，a≥e；当q为真命题时，x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.∴“p∧q”为真命题时，e≤a≤4.“p∧q”为假命题时，a<e或a>4.12．“x ∈{3，a }”是“不等式2x 2－5x －3≥0成立”的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥0B ．a <0或a >2C ．a <0D ．a ≤－12或a >3解析：由2x 2－5x －3≥0得x ≤－12或x ≥3.∵“x ∈{3，a }”是“不等式2x 2－5x －3≥0成立”的一个充分不必要条件，又根据集合中元素的互异性知a ≠3.∴a ≤－12或a >3.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．命题“能被5整除的数，末位是0”的否定是________．解析：省略了全称量词“任何一个”，否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0.答案：有些可以被5整除的数，末位不是014．有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b 则a 2≤b 2”错误．②原命题的逆命题为：“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．答案：②③15．若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．解析：由x 2>1，得x <－1，或x >1，又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立， 所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.16. 下列四个结论中，正确的有________(填所有正确结论的序号)．①若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件；②“⎩⎨⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充分必要条件；③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件；④“x ≠0”是“x ＋|x |>0”的必要不充分条件．解析：根据命题的等价性，结论①正确；根据二次函数图象与不等式的关系，结论②正确；结论③即x 2＝1是x ＝1的充分不必要条件，显然错误；x ≠0时也可能有x ＋|x |＝0，故条件不充分，反之，x ＋|x |>0⇒x >0⇒x ≠0，结论④正确． 答案：①②④三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解析：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．18．(12分)分别写出下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的新命题，并判断其真假．(1)p ：3是9的约数，q ：3是18的约数；(2)p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根符号相同，q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根绝对值相等；(3)p ：π是有理数，q ：π是无理数．解析：(1)p 或q ：3是9的约数或是18的约数，真；p 且q ：3是9的约数且是18的约数，真；非p：3不是9的约数，假．(2)p或q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同或绝对值相等，假；p且q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同且绝对值相等，假；非p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号不同，真．(3)p或q：π是有理数或是无理数，真；p且q：π是有理数且是无理数，假；非p：π不是有理数，真．19．(12分)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充分必要条件是a＋b＋c＝0.证明：充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.∴有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充分必要条件是a＋b＋c＝0. 20．(12分)若命题p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，写出綈p，若綈p是假命题，则a的取值范围是什么？解析：綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．因为綈p为假命题，所以p为真命题．因此－(a－1)≥4.故a≤－3，即所求a的取值范围是(－∞，－3]．21．(13分)已知a>0且a≠1，设命题p：函数y＝log a(x＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同的交点，如果p ∨q 为真命题，那么a 的取值集合是怎样的呢？并写出求解过程．解析：由y ＝log a (x ＋1)在区间(－1，＋∞)上单调递减知0<a <1，∵曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于两个不同的点，∴Δ＝(2a －3)2－4×1×1>0，解之得a <12或a >52.∴p 真对应集合A ＝{a |0<a <1}，q 真对应集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ a <12或a >52. 由于p ∨q 真，即p 、q 中至少有一个为真命题．因此适合题数目要求的a 的取值集合是：A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ a <1或a >52. 22．(13分)已知命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式(x －3a )(x －a －2)<0的解集为A ，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解析：(1)命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题，得x 2－x －m <0在－1≤x ≤1时恒成立，∴m >(x 2－x )max ，得m >2，即B ＝{m |m >2}．(2)不等式(x －3a )(x －a －2)<0.①当3a >2＋a ，即a >1时，解集A ＝{x |2＋a <x <3a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B ，∴2＋a ≥2，此时a ∈(1，＋∞)．②当3a ＝2＋a ，即a ＝1时，解集A ＝∅，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立．③当3a <2＋a ，即a <1时，解集A ＝{x |3a <x <2＋a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立，∴3a ≥2，此时a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1. 综上①②③可得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.。

高中数学选修2-1 第一章单元测试题《常用逻辑用语》时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列语句中，不能成为命题的是( )A．指数函数是增函数吗？B．2 012＞2 013C．若a⊥b，则a·b＝0D．存在实数x0，使得x0＜02．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．43．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．下列命题中的假命题是( )A．存在x∈R，lg x＝0 B．存在x∈R，tan x＝1C．任意x∈R，x3＞0 D．任意x∈R,2x＞05．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )A．每个二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤bC．存在一个菱形不是平行四边形D．存在一个实数x使不等式x2－3x＋7＜0成立18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；(2)p：存在一个实数x，使得3x＜0；(3)p：若a n＝－2n＋1，则∃n∈N，使S n＜0；(4)p：有些偶数是质数．19．(本小题满分12分)设命题p：c2＜c和命题q：对∀x∈R，x2＋4cx＋1＞0，且p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．20．(本小题满分12分)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．21．(本小题满分12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.22．(本小题满分12分)给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．高中数学选修2-1 第一章单元测试题《常用逻辑用语》参考答案时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列语句中，不能成为命题的是( )A．指数函数是增函数吗？B．2 012＞2 013C．若a⊥b，则a·b＝0D．存在实数x0，使得x0＜0解析：疑问句不能判断真假，因此不是命题．D是命题，且是个特称命题．答案：A2．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：原命题是真命题，逆否命题为真命题，逆命题为“若xy≥0，则x≥0，y≥0”是假命题，则否命题为假命题．答案：B3．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：先求出两直线平行的条件，再判断与a＝1的关系．若l1∥l2，则2a －2＝0，∴a＝1.故a＝1是l1∥l2的充要条件．答案：C。

第一章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若命题“如果p，那么q”为真，则()A．q⇒p B．綈p⇒綈qC．q⇒p D．綈q⇒p解析p⇒q⇔q⇒p.答案 C2．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c解析由数与向量的意义知，B正确．答案 B3．已知下列三个命题，其中真命题是()①方程x2－x＋2＝0的判别式小于或等于零；②矩形的对角线垂直且平分；③3≥2.A．①②B．①③C．②③D．①答案 B4．下列说法正确的是()①原命题为真，它的否命题为假；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真．A．①②B．②③C．③④D．②③④答案 B5．下列命题中，真命题是()A．∀x∈R，x>0 B．如果x<2，那么x<1C．∃x∈R，x2≤－1 D．∀x∈R，x2＋1≠0答案 D6．四个条件：b>0>a；0>a>b；a>0>b；a>b>0.能使1a<1b成立的充分条件的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案 C7．命题“∃数列{a n}，{b n}既是等差数列，又是等比数列”() A．是特称命题并且是假命题B．是全称命题并且是假命题C．是特称命题并且是真命题D．是全称命题并且是真命题答案 C8．(2013·海南模拟)若函数f(x)，g(x)的定义域和值域都是R，则“f(x)<g(x)，x∈R”成立的充要条件是()A．存在x0∈R，使得f(x0)<g(x0)B．有无数多个实数x，使得f(x)<g(x)C．对任意x∈R，都有f(x)＋12<g(x)D．不存在实数x，使得f(x)≥g(x)答案 D9．(2012·云南师大附中模拟)已知命题p：∀x∈R，sin x≥0，则下列说法正确的是()A．綈p是特称命题，且是真命题B．綈p是全称命题，且是假命题C．綈p是全称命题，且是真命题D．綈p是特称命题，且是假命题解析命题p：∀x∈R，sin x≥0是全称命题，且是假命题．所以綈p应为特称命题，且是真命题，故选A.答案 A10．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A11．(2012·佛山模拟)下列有关命题的说法错误的是()A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：若x≠1，则x2－3x＋2≠0B．x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0答案 C12．给出命题p ：若“AB →·BC →>0，则△ABC 为锐角三角形”；命题q ：“实数a ，b ，c 满足b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列”．那么下列结论正确的是( )A ．p 且q 与p 或q 都为真B ．p 且q 为真而p 或q 为假C ．p 且q 为假且p 或q 为假D ．p 且q 为假且p 或q 为真 解析 ∵AB →·BC →>0⇒∠B 为钝角， ∴△ABC 为钝角三角形，∴命题p 为假．∵b 2＝acD ⇒/a ，b ，c 为等比数列(如a ＝0，b ＝0，c ＝1) ∴命题q 为假． 故p ∧q 且p ∨q 均为假． 答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上)13．设α表示平面，a ，b 表示直线，给定下面四个命题： ①a ∥α，a ⊥b ⇒b ⊥α； ②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α； ③a ⊥α，a ⊥b ⇒b ∥α； ④a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b . 其中正确命题的个数有________个．解析 ①中b 可能平行于α；②正确．③中b 可能在α内；④正确．答案 214．a ＝3是直线l 1：ax ＋2y ＋3a ＝0和直线l 2：3x ＋(a －1)y ＝a－7平行且不重合的________条件．解析 当a ＝3时，l 1：3x ＋2y ＋9＝0，l 2：3x ＋2y ＋4＝0，显然l 1∥l 2.当l 1∥l 2时，a3＝2a －1≠3a 7－a ，∴a ＝3.∴a ＝3是l 1∥l 2的充要条件． 答案 充要15．“若(x －1)(y ＋2)≠0，则x ≠1且y ≠－2”的否命题是____________，逆否命题是____________．答案 若(x －1)(y ＋2)＝0，则x ＝1，或y ＝－2 若x ＝1，或y ＝－2，则(x －1)(y ＋2)＝016．对任意实数x ，(a 2－1)x 2＋(a －1)x －1<0都成立，则a 的取值范围是________．解析 当a 2－1＝0时，易知a ＝1适合． 当a 2－1≠0时，应有⎩⎨⎧a 2－1<0Δ＝(a －1)2＋4(a 2－1)<0解得－35<a <1.综上可知－35<a ≤1.答案 －35<a ≤1三、解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)某人投篮，设命题p ：第一次投中；q ：第二次投中．试用p，q及逻辑联结词“且”“或”“非”表示下列命题：(1)两次都投中；(2)两次都没有投中；(3)恰有一次投中；(4)至少有一次投中．解(1)两次都投中：“p∧q”．(2)两次都没投中：“綈p∧綈q”．(3)恰有一次投中：“p且綈q或綈p且q”．(4)至少有一次投中：“p∨q”．18．(12分)写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax ＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题，并判断其真假．解逆命题为：“已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集”．由a2≥4b知，Δ＝a2－4b≥0.这说明抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴有交点，那么x2＋ax＋b≤0必有非空解集．故逆命题是真命题．19．(12分)设集合M＝{x|y＝log2(x－2)}，P＝{x|y＝3－x}，则“x∈M，或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么条件？解由题设知，M＝{x|x>2}，P＝{x|x≤3}．∴M∩P＝(2,3]，M∪P＝R.当x∈M，或x∈P时，x∈(M∪P)＝R⇒/x∈(2,3]＝M∩P.而x∈(M∩P)⇒x∈R.∴x ∈(M ∩P )⇒x ∈M ，或x ∈P .故“x ∈M ，或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件．20．(12分)∀x ∈R ，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立，求m 的取值范围．解 当m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0，对x ∈R 恒成立． 当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧4m <0Δ＝4m 2＋16m <0⇔－4<m <0. 故∀x ∈R ，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立， －4<m ≤0.21．(12分)已知命题p ：对于m ∈[－1,1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8恒成立；命题q ：不等式x 2＋ax ＋2<0有解，若p ∨q 为真，且p ∧q 为假，求a 的取值范围．解 ∵m ∈[－1,1]，∴m 2＋8∈[22，3]．∵对m ∈[－1,1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8恒成立，可得a 2－5a －3≥3，∴a ≥6，或a ≤－1.故命题p 为真时，a ≥6，或a ≤－1. 命题p 为假时，－1＜a ＜6. 又命题q ：x 2＋ax ＋2<0有解，∴Δ＝a 2－8>0. ∴a >22，或a <－2 2.从而命题q 为真时a >22，或a <－22， q 为假时－22≤a ≤2 2. 依题意p ∨q 为真，p ∧q 为假， ∴p 与q 必有一真一假．当p 真q 假时，a 的取值范围是－22≤a ≤－1； 当p 假q 真时，a 的取值范围是22<a <6. 综上，a 的取值范围是[－22，－1]∪[22，6)．22．(12分)下图是函数y ＝(12)x 和y ＝3x 2图像的一部分，其中x＝x 1，x 2(－1<x 1<0<x 2)时两函数值相等．(1)给出如下两个命题： ①当x <x 1时，(12)x <3x 2；②当x >x 2时，(12)x<3x 2，试判定命题①②的真假并说明理由．(2)求证：x 2∈(0,1)．解 (1)命题①是假命题，可以举反例：取x ＝－10，则x <x 1，但是(12)－10＝1024,3×(－10)2＝300，(12)x <3x 2不成立； 命题②是真命题，∵函数y ＝(12)x 在[x 2，＋∞)上是减函数，函数y ＝3x 2在[x 2，＋∞)上是增函数，∴当x >x 2时，(12)x <(12)x 2＝3x 22<3x 2.(2)证明：构造函数f (x )＝3x 2－(12)x ，则f (0)＝－1<0，f (1)＝3－12＝52>0， ∴f (x )在区间(0,1)内有零点．又∵f (x )＝3x 2－(12)x 在区间(0，＋∞)上单调递增．∴f (x )在区间(0,1)内的零点唯一． ∴x 2∈(0,1)．。