人教B版选修11高中数学第一章常用逻辑用语章末检测

第一章§3一、选择题1．下列命题中，全称命题的个数为()①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0 B．1C．2 D．3[答案] C[解析]①②是全称命题，③是特称命题．2．下列特称命题中真命题的个数是()①存在x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③存在x∈{x|x是整数}，x2是整数．A．0 B．1C．2 D．3[答案] D[解析]①②③都是真命题．3．下列命题为特称命题的是()A．偶函数的图像关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是异面直线D．存在实数大于等于3[答案] D[解析]分清各命题中含有的量词是全称量词还是存在量词，其中选项A，B，C都是全称命题．4．下列命题中是全称命题的是()A．所有的正方形都是菱形B．有两个实数x，使得x2＋3x＋2＝0C．存在两条相交直线平行于同一个平面D．存在一无理数x，使得x2也是无理数[答案] A[解析]B，C，D是特称命题．5．下列命题中，真命题是()A．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数[答案] A[解析] 显然当m ＝0时，f (x )＝x 2为偶函数，故选A.6．设函数f (x )的定义域为R ，有下列三个命题：①若存在常数M ，使得对任意x ∈R ，有f (x )≤M ，则M 是函数f (x )的最大值；②若存在x 0∈R ，使得对任意x ∈R ，且x ≠x 0，有f (x )≤f (x 0)，则f (x 0)是函数f (x )的最大值； ③若存在x 0∈R ，使得对任意x ∈R ，有f (x )≤f (x 0)，则f (x 0)是函数f (x )的最大值．这些命题中，真命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 [答案] C[解析] 对于①，M 不一定在函数f (x )的值域内，故①不正确；对于②③，所取值x 0在其定义域内，f (x 0)在函数f (x )的值域内，f (x 0)为函数f (x )的最大值，故②③正确，故应选C.二、填空题7．(2014·高州四中质量检测)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“存在x 0>0，f (x 0)<0”为真，则m 的取值范围是________．[答案] (－∞，－2)[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－m 2>0，m 2－4>0，∴m <－2.8．下列命题中真命题为________，假命题为________．①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③有的实数是无限不循环小数；④有些三角形不是等腰三角形；⑤所有的菱形都是正方形[答案] ①②③④ ⑤9．下列语句：①能被7整除的数都是奇数；②|x －1|<2；③存在实数a 使方程x 2－ax ＋1＝0成立；④等腰梯形对角线相等且不互相平分．其中是全称命题且为真命题的序号是________．[答案] ④[解析] ①是全称命题，但为假命题，②不是命题，③是特称命题，只有④是全称命题且为真命题．三、解答题10．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(2)有些整数只有两个正因数；(3)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；(4)存在一条直线，其斜率不存在；(5)对所有的实数a、b，方程ax＋b＝0都有唯一解．[答案](1)(2)(4)为特称命题(3)(5)为全称命题(2)(3)(4)真(1)(5)假[解析](1)是特称命题．因为垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．(2)是特称命题．因为存在整数2只有两个正因数1和2，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．(3)是全称命题，由三角函数知识知“对任意α∈R，sin2α＋cos2α＝1都成立”，故此命题是真命题．(4)是特称命题，因为垂直于x轴的直线斜率不存在，所以“存在直线l，l的斜率不存在”，是真命题．(5)是全称命题，因为0x＋3＝0无解，所以“对任意a、b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题.一、选择题11．命题“任意x>1，log2x<0”的否定是()A．任意x>1，log2x≥0 B．任意x≤1，log2x>0C．存在x>1，log2x≥0 D．存在x≤1，log2x>0[答案] C[解析]全称命题的否定是特称命题，故选C.12．给出下列四个命题，其中为真命题的是()A．任意x∈R，x2＋3<0 B．任意x∈N，x2≥1C．存在x∈Z，使x5<1 D．存在x∈Q，x2＝3[答案] C[解析]由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，所以命题“任意x∈R，x2＋3<0”为假命题；由于0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，所以命题“任意x∈N，x2≥1”是假命题；由于－1∈Z，当x＝－1时，x5<1，所以命题“存在x∈Z，使x5<1”为真命题；由于使x2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“存在x∈Q，x2＝3”是假命题．故选C.13．下列命题中的假命题是()A．存在实数α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβB．不存在无穷多个α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC．对任意α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβD．不存在这样的α和β，使cos(α＋β)≠cosαcosβ－sinαsinβ[答案] B[解析]cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ，显然C、D为真；sinα·sinβ＝0时，A为真；B为假．故选B.14．(2014·福州市八县联考)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()A．对任意x∈R，|x|>0B．存在x0∈R，|x0|>0C．对任意x∈R，|x|≤0 D．存在x0∈R，|x0|≤0[答案] C[解析]由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.15．(2014·甘肃临夏中学期中)命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0成立”的否定是()A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0[答案] D[解析]特称命题的否定是全称命题．16．(2014·海南省文昌市检测)下列命题中是假命题．．．的是()A．存在m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B．对任意a>0，函数f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点C．存在α、β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋sinβD．对任意φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数[答案] D[解析] ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A 真；∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为[－14，＋∞)，∴对任意a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解，即f (x )有零点，故B 真；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真；当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos2x 为偶函数，故D 为假命题．二、填空题17．已知命题“存在x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． [答案] －1<a <3[解析] 由条件得命题“任意x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12>0”是真命题．所以Δ＝(a －1)2－4<0， 解得－1<a <3.三、解答题18．指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假：(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )，都对应一点P ；(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(4)存在一个实数，使等式x 2＋x ＋8＝0成立．[答案] (1)全称命题，真命题；(2)特称命题，真命题；(3)全称命题，假命题；(4)特称命题，假命题．。

一、选择题1．命题 0:[1,4]p x ∃∈-，()00f x <， 则p ⌝是（ ）A ．[1,4]x ∀∈-，()0f x <B ．0[1,4]x ∃∈-，()00f x ≥C ．0[1,4]x ∃∈-，()00f x ≤D ．[1,4]x ∀∈-，()0f x ≥2．已知命题p ：x R ∀∈，0x x +≥，则（ ）A ．p ⌝：x R ∀∈，0x x +≤B ．p ⌝：x R ∃∈，0x x +≤C ．p ⌝：x R ∃∈，0x x +<D ．p ⌝：x R ∀∈，0x x +< 3．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（ ）A ．p ：a c b d +>+，q ：a b >且c d >B ．p ：1a >， 1b >，q ：()x f x a b =-(0a >且1a ≠)的图像不过第二象限C ．p ：1x =，q ：2x x =D ．p ：1a >，q ：()log a f x x =(0a >且1a ≠)在()0,∞+上为增函数4．命题“x R ∃∈，2230x x -+<”的否定是（ ）A ．x R ∃∈，2230x x -+≥B ．x R ∀∈，2230x x -+≥C ．x R ∃∉，2230x x -+≥D ．x R ∀∉，2230x x -+≥ 5．“0m >”是“方程22112x y m m+=+表示焦点在x 轴的椭圆”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件p ：12x +>，条件q ：x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．](,1-∞B ．](,3-∞-C ．[)1,-+∞D ．[)1,+∞ 7．设α，β为两个不同的平面，l ，m 为两条不同的直线，且m α⊥，l β//，则“//l m ”是“αβ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．设非空集合,M N 满足MN N =，则（ ） A ．0,x N ∃∈ 有x M ∉B ．,x N ∀∉有x M ∈C ．0,x M ∃∉ 有0x N ∈D ．,x N ∀∈有x M ∈ 9．若条件:|1|1p x -，条件:q x a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．2aB ．2aC ．2a -D ．2a -10．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a b =”是“()sin sin 2sin C A A B -=-”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件11．命题“,sin 0x x R x e ∃∈+>”的否定为（ ）A ．,sin 0x x R x e ∀∈+<B ．,sin 0x x R x e ∀∈+≤C ．,sin 0x x R x e ∃∈+<D ．,sin 0x x R x e ∃∈+≤12．命题“0x ∀≥，20x x -≥”的否定是（ ）A ．0x ∃<，20x x -<B ．0x ∀>，20x x -<C ．0x ∃≥，20x x -≥D ．0x ∃≥，20x x -<二、填空题13．命题“若1x -，则ln()0x -”的逆否命题为__________．14．为迎接2022年北京冬奥会，短道速滑队组织甲、乙、丙等6名队员参加选拔赛，已知比赛结果没有并列名次记“甲得第一名”为p ，“乙得第一名”为q ，“丙得第一名”为r ，若p q ∨是真命题，()p r ⌝∨是真命题，则得第一名的是______________．15．若命题:p x R ∃∈，230x x -≥，则命题p 的否定为_________.16．命题:p x ∀∈R ，1x e x ≥+，则它的否定p ⌝为_______．17．已知命题p ：0R x ∃∈，使得20010ax ax +-≥．若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围为________．18．已知命题p ：x R ∃∈，220x x a --<，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是______.（用区间表示）19．命题“x R ∀∈，222x x -+≥”的否定是__________.20．条件:25p x -<<，条件2:0x q x a+<-，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______________． 三、解答题21．已知0a >，设命题p ：当(],1x ∈-∞]时，函数()2f x x ax =-+单调递增，命题q ：双曲线22218x y a -=的离心率[)3,e ∈+∞. （1）若命题p 为真命题，求正数a 的取值范围；（2）若命题p 和q 中有且只有一个真命题，求正数a 的取值范围.22．已知集合{}2|320A x x x =-+=，{|||1}B x x m =-≤.（1）若实数0m =，求,A B A B ；（2）若:p x A ∈是:q x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 23．命题p ：实数m 满足不等式()223200m am a a -+<>；命题q ：实数m 满足方程22115x y m m +=--表示双曲线. （1）若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若Р是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.24．已知a>0,设命题p:函数y=a x在R 上单调递减,q:函数y=2-2(2),2(2)x a x a a x a ≥⎧⎨<⎩且y>1恒成立,若p ∧q 为假,p ∨q 为真,求a 的取值范围. 25．设命题p ：对[]1,1m ∈-，不等式2532a a m -->+恒成立；命题q ：关于实数x 的方程210x ax ++=有两个不等的负根.（1）若p 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围.26．设p :x >a ，q :x >3.（1）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围;（2）若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围;（3）若a 是方程x 2-6x +90=的根，判断p 是q 的什么条件.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据特称命题的否定为全称命题，即可得到答案.【详解】因为命题 0:[1,4]p x ∃∈-，()00f x <，所以[1,4]:x p ∀∈-⌝，()0f x ≥.故选：D2．C解析：C【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行否定即可得答案.【详解】解：因为全称命题的否定为特称命题，所以命题p ：x R ∀∈，0x x +≥的否定为：p ⌝：x R ∃∈，0x x +<.故选：C.3．A解析：A【分析】一一分析每个选项中,p q 的充分必要性即可.【详解】A 选项中，由不等式的性质可知,q p p q ⇒⇒，故p 是q 的必要不充分条件；B 选项中，若:()(0x q f x a b a =->且1)a ≠的图象不过第二象限，则1,1a b >≥，故p 是q 的充分不必要条件；C 选项中，若q ：2x x =，则1x =或0，故p 是q 的充分不必要条件；D 选项中，若:()log (0a q f x x a =>,且1)a ≠在(0,)+∞上为增函数，则1a >，故p 是q 的充要条件；故选：A.4．B解析：B【分析】利用特称命题的否定可得出结论.【详解】命题“x R ∃∈，2230x x -+<”为特称命题，该命题的否定为“x R ∀∈，2230x x -+≥”，故选：B.5．B解析：B【分析】根据椭圆的定义及标准方程的形式，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】 由题意，方程22112x y m m+=+表示焦点在x 轴上的椭圆， 则满足120m m +>>，解得01m <<；又由当01m <<则必有0m >，但若0m >则不一定有01m <<成立，所以“0m >”是“方程22112x y m m+=+表示焦点在x 轴上的椭圆”的必要非充分条件． 故选：B ．6．D解析：D【分析】根据充分不必要条件的定义及集合包含的关系求解．【详解】123x x +>⇔<-或1x >，p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件，所以1a ≥，故选：D ．【点睛】命题p 对应集合A ，命题q 对应的集合B ，则（1）p 是q 的充分条件⇔A B ⊆；（2）p 是q 的必要条件⇔A B ⊇；（3）p 是q 的充分必要条件⇔A B =；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件⇔集合,A B 之间没有包含关系．7．A解析：A【分析】根据充分条件的定义，结合线面关系的性质、定理判断推出关系，即可知“//l m ”与“αβ⊥”的充分、必要关系.【详解】由m α⊥，//l m ，则l α⊥，而l β//，所以αβ⊥；由l β//，αβ⊥，m α⊥，不能确定//l m .∴“//l m ”是“αβ⊥”的充分不必要条件.故选：A8．D解析：D【分析】根据交集的结果可得N M ⊆，分析选项，即可得答案.【详解】因为M N N =，所以N M ⊆，所以,x N ∀∈有x M ∈.故选：D9．A解析：A【分析】转化成两个集合之间的包含关系求解即可.【详解】:|1|1p x -解之得02x ≤≤设{}|02A x x =≤≤，{}|B x x a =，p 是q 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集则2a故选：A10．A解析：A【分析】由题意结合三角恒等变化化简，由等腰三角形的性质可判定充分性和必要性是否成立即可.【详解】在ABC 中，()sin sin 2sin sin()sin 2sin()C A A B A B A A B -=-⇔+-=-2cos sin sin 22sin cos A B A A A ⇔==sin sin A B ⇔=或cos 0A =所以a b =或90A ︒=因此“a b =”是“()sin sin 2sin C A A B -=-”成立的充分不必要条件.故选：A11．B解析：B【分析】根据特称命题的否定变换形式即可得出结果.【详解】特称命题的否定为全称命题，故“,sin 0x x R x e ∃∈+>”的否定为“,sin 0x x R x e ∀∈+≤”，故选：B ．12．D解析：D【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，将任意改成存在，并将结论否定即可.【详解】根据全称命题的否定的定义可知，命题“0x ∀≥，20x x -≥”的否定是0x ∃≥，20x x -<.故选：D.二、填空题13．若则【分析】根据逆否命题的定义即可得结果【详解】依题意原命题的逆否命题为若则故答案为：若则解析：若ln()0x -<，则1x >-【分析】根据逆否命题的定义即可得结果.【详解】依题意，原命题的逆否命题为“若ln()0x -<，则1x >-”．故答案为：若ln()0x -<，则1x >-14．乙【分析】直接利用复合命题的真假判断推理得到答案【详解】由是真命题可知pq 中至少有一个是真命题因为比赛结果没有并列名次说明第一名要么是甲要么是乙；且r 是假命题；又是真命题则是真命题即p 是假命题故得第 解析：乙【分析】直接利用复合命题的真假判断推理得到答案.【详解】由p q ∨是真命题，，可知p 、q 中至少有一个是真命题，因为比赛结果没有并列名次，说明第一名要么是甲，要么是乙；且r 是假命题；又()p r ⌝∨是真命题，则p ⌝是真命题，即p 是假命题.故得第一名的是乙.故答案为：乙.【点睛】复合命题真假的判定:(1) 判断简单命题的真假;(2) 根据真值表判断复合命题的真假.15．【分析】利用特称命题的否定可得出结论【详解】命题为特称命题该命题的否定为：故答案为：解析：x R ∀∈，230x x -<【分析】利用特称命题的否定可得出结论.【详解】命题p 为特称命题，该命题的否定为：x R ∀∈，230x x -<.故答案为：x R ∀∈，230x x -<16．【分析】根据全称命题的否定是特称命题变量词否结论即可求解【详解】命题否定为：故答案为：解析：0x R ∃∈，1x e x <+.【分析】根据全称命题的否定是特称命题，变量词否结论即可求解.【详解】命题:p x ∀∈R ，1x e x ≥+，否定p ⌝为：0x R ∃∈，1x e x <+，故答案为：0x R ∃∈，1x e x <+.17．【分析】由得出然后分和讨论即可得结果【详解】解：由于则当时显然满足题意；当时解得综上可知：实数a 的取值范围是解析：(]1,0-【分析】由p 得出p ⌝，然后分0a =和0a ≠讨论即可得结果.【详解】解：由于2000:,210p x R ax ax ∃∈+-≥，则200020:,1p x R ax ax ∀∈+-<⌝， 当0a =时，10-<，显然满足题意；当0a ≠时，20440a a a <⎧⎨∆=+<⎩，解得10a -<<， 综上可知：实数a 的取值范围是(]1,0-.18．【分析】由命题p 是假命题则命题是真命题然后再转化为一元二次不等式恒成立问题求解【详解】因为命题p ：p 是假命题所以命题是真命题即恒成立所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定以及 解析：(],1-∞-【分析】由命题p 是假命题，则命题P ⌝是真命题，然后再转化为一元二次不等式恒成立问题求解.【详解】因为命题p ：x R ∃∈，220x x a --<，p 是假命题，所以命题:P x R ⌝∀∈，220x x a --≥，是真命题，即220x x a --≥，x R ∀∈恒成立，所以()2240a ∆=-+≤，解得1a ≤-故答案为：(],1-∞-【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定以及一元二次不等式恒成立问题，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题. 19．【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得结果【详解】命题是全称命题所以命题的否定是特称命题故答案为：【点睛】本题主要考查全称命题的否定属于简单题全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别否定 解析：,222x x x R -∃∈+<【分析】根据全称命题“(),x M p x ∀∈”的否定为特称命题“()00,x M p x ∃∈⌝”即可得结果．【详解】命题“x R ∀∈，222x x -+”是全称命题，所以，命题“x R ∀∈，222x x -+”的否定是特称命题x R ∃∈，222x x -+<．故答案为：x R ∃∈，222x x -+<．【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可. 20．【详解】解：是的充分而不必要条件等价于的解为或故答案为： 解析：5a >【详解】解：p 是q 的充分而不必要条件，p q ∴⇒，20xx a+<-等价于(2)()0x x a +-<，(2)()0x x a +-=的解为2x =-，或x a =， 5a ∴>，故答案为：(5,)+∞．三、解答题21．（1）[)2,+∞；（2）(][)0,12,+∞. 【分析】（1）由命题为真命题，根据二次函数的性质可得12a ≥，即可求解. （2）由q 为真命题可得22819e a=+≥，解出01a <≤，结合（1）即可求解. 【详解】解：（1）命题p 为真命题时，函数()2f x x ax =-+在(],1-∞单调递增，∴12a ≥. 解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞.（2）由（1）可知p 为真命题时，2a ≥.当q 为真命题时，22819e a =+≥，解得01a <≤ ①当p 真q 假时，2a ≥且1a >，即2a ≥. ②当p 假q 真时，02a <<且01a <≤，即01a <≤.综上所述，正数a 的取值范围为(][)0,12,+∞.22．（1）{1}A B ⋂=，{|11}{2}A B x x ⋃=-≤≤⋃；（2）[1,2].【分析】（1）由一元二次方程及绝对值不等式可得集合,A B ，再由交集、并集的概念即可得解；（2）转化条件为A B ，进而可得1112m m -≤⎧⎨+≥⎩，即可得解. 【详解】 由题意，集合{}2|{1,023}2A x x x =-+==， {|||1}{|11}B x x m x m x m =-≤=-≤≤+，（1）若实数0m =，则{|11}B x x =-≤≤，所以{1}A B ⋂=，{|11}{2}A B x x ⋃=-≤≤⋃；（2）若:p x A ∈是:q x B ∈的充分不必要条件，则A B ，则1112m m -≤⎧⎨+≥⎩，解得12m ≤≤， 所以实数m 的取值范围为[1,2].23．（1）15m <<；（2）512a ≤≤【分析】（1）由题意可得()()150m m --<，即可求解.（2）若p 是q 的充分不必要条件，则{}|2a a m a <<是{}|15m m <<的真子集，根据集合的包含关系求出实数a 的取值范围即可.【详解】（1）若实数m 满足方程22115x y m m +=--表示双曲线， 则()()150m m --<，解得15m <<，（2）实数m 满足不等式()223200m am a a -+<>，解得2<<a m a ， 若p 是q 的充分不必要条件，则{}|2a a m a <<是{}|15m m <<的真子集，所以1250a a a ≥⎧⎪≤⎨⎪>⎩，解得512a ≤≤， 所以若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围是512a ≤≤. 【点睛】易错点睛：若p 是q 的充分不必要条件则{}|2a a m a <<是{}|26m m <<的真子集，一般情况下需要考虑{}|2a a m a <<=∅的情况，此情况容易被忽略，但题目中已经给出0a >，很明显{}|2a a m a <<≠∅.24．a|0<a≤12或a≥1}. 【解析】 试题分析：化简命题p 可得01a <<，化简命题q 可得12a >，由p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，可得,p q 一真一假，分两种情况讨论，对于p 真q 假以及p 假q 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数m 的取值范围.试题若p 是真命题,则0<a<1,若q 是真命题,则y>1恒成立, 即y 的最小值大于1,而y 的最小值为2a,只需2a>1,所以a>12, 所以q 为真命题时,a>12. 又因为p ∨q 为真,p ∧q 为假,所以p 与q 一真一假,若p 真q 假, 则0<a≤12; 若p 假q 真, 则a≥1,故a 的取值范围为a|0<a≤12或a≥1}. 25．（1）()(),16,-∞-+∞；（2）()(],12,6-∞-. 【分析】（1）求出2m +的最大值3，把不等式2532a a m -->+恒成立转化为关于a 的一元二次不等式求解；（2）求出方程210x ax ++=有两个不等的负根的a 的范围，再由题意可得p 与q 一真一假，分类取交集，再取并集得答案.【详解】（1）命题p ：对[]1,1m ∈-，不等式2532a a m -->+恒成立，若p 为真命题则 ()2max 532a a m -->+∵[]1,1m ∈-，∴[]21,3m +∈.所以2533a a -->，即2560a a -->，解得：1a <-或6a >，∴实数a 的取值范围是()(),16,-∞-+∞；（2）若q 为真命题则2121240010a x x a x x ⎧∆=->⎪+=-<⎨⎪⋅=>⎩，解得：2a >因为命题“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题，所以p 、q 一真一假，当p 假q 为真，则162a a -≤≤⎧⎨>⎩，解得26a <≤. 当p 真q 假，则612a a a ><-⎧⎨≤⎩或，得1a <-； ∴实数a 的取值范围是()(],12,6-∞-.【点睛】 本题主要考查了根据复合命题的真假性求参数的范围，属于中档题.26．（1）{a |a <3}；（2）{a |a >3}；（3）p 是q 的充要条件.【分析】设,p q 对应的集合分别为,A B ，由充分条件、必要条件与集合包含之间的关系可得．【详解】设A={x |x >a }，B={x |x >3}.（1）若p 是q 的必要不充分条件，则有B ⫋A ，所以a 的取值范围为{a |a <<3}. （2）若p 是q 的充分不必要条件，则有A ⫋B ，所以a 的取值范围为{a |a >3}. （3）因为方程x 2-6x +9=0的根为3，则有A=B ，所以p 是q 的充要条件.【点睛】本题考查由充分必要条件求参数，解题关键是掌握充分条件、必要条件与集合包含之间的关系．设条件p 对应集合A ，条件q 对应集合B ，p 是q 的充分条件A B ⇔⊆，p 是q 的必要条件A B ⇔⊇．。

第一章集合与常用逻辑用语章末测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选择为正确答案，每题5分，共40分）1．（2020·浙江高一单元测试）2x2−5x−3<0的一个必要不充分条件是（）A．−12<x<3B．−1<x<6C．−12<x<0D．−3<x<12【答案】B【解析】求解不等式2x2−5x−3<0可得−12<x<3，结合所给的选项可知2x2−5x−3<0的一个必要不充分条件是−1<x<6.本题选择B选项.2．（2020·浙江高一单元测试）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（）个A．3B．4C．7D．8【答案】C【解析】∵集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，∴A∩B={3，5}，图中阴影部分表示的集合为：C U（A∩B）={1，2，4}，∴图中阴影部分表示的集合的真子集有：23–1=8–1=7．故选C．3．（2020·天津南开中学高三月考）设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈< ，则()A CB =（ ）A ．{2}B ．{2，3}C ．{-1，2，3}D ．{1，2，3，4}【答案】D 【解析】因为{1,2}AC =，所以(){1,2,3,4}A C B =.故选D 。

4．（2020·全国高一）设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( )A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B =∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C5．（2020·全国高一课时练习）设甲是乙的必要条件；丙是乙的充分但不必要条件，那么（ ） A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C ．丙是甲的充要条件D ．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 【答案】A【解析】甲是乙的必要条件，所以乙是甲的充分条件，即乙⇒甲； 丙是乙的充分但不必要条件，则丙⇒乙，乙⇒丙，显然丙⇒甲，甲⇒丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件，故选A 6．（2020·四川阆中中学高一月考）设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则（ ）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 【答案】B【解析】依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 7．（2020·海南枫叶国际学校高一期末）已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．AB 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．AB=R【答案】A【解析】由320x ->得32x <，所以33{|2}{|}{|}22A B x x x x x x =<<=<，选A ． 8．（2020·湖南天心。

高二数学（选修1-1 第一章 常用逻辑用语）姓名：_________班级：________ 得分：________一：选择题1、判断下列语句是真命题的为（ ）. （供题）A ．若整数ａ是素数，则ａ是奇数B ．指数函数是增函数吗？C ．若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行D ．ｘ＞151.已知P ：A ∩￠=￠，Q: A ∪￠=A,则下列判断错误的是（ ）（铁一中 张爱丽 供题）A.“P 或Q ”为真，“非Q ”为假；B.“P 且Q ”为假，“非P ”为真 ；C.“P 且Q ”为假，“非P ”为假 ；D.“P 且Q ”为假，“P 或Q ”为真1.已知P ：2＋2＝5，Q:3>2,则下列判断错误的是（ ）（十二厂 闫春亮 供题）A.“P 或Q ”为真，“非Q ”为假；B.“P 且Q ”为假，“非P ”为真 ；C.“P 且Q ”为假，“非P ”为假 ；D.“P 且Q ”为假，“P 或Q ”为真3、对于两个命题：①,1sin 1x R x ∀∈-≤≤，②22,sin cos 1x R x x ∃∈+>，下列判断正确的是（ ）。

（ 金台中学 唐宁 供题 两个数学符号教材未涉及，可以换为文字语言）A. ① 假 ② 真B. ① 真 ② 假C. ① ② 都假D. ① ② 都真2.在下列命题中，真命题是（ ）（十二厂 闫春亮 供题）A. “x=2时,x 2－3x+2=0”的否命题；B.“若b=3,则b 2=9”的逆命题;C.若ac>bc,则a>b;D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题2.在下列命题中，真命题是（ ）（铁一中 张爱丽 供题）A. “x=2时,x 2－3x+2=0”的否命题；B.“若b=3,则b 2=9”的逆命题;C.若ac>bc,则a>b;D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题2. “2x >”是“24x >”的（ ）. （斗鸡中学 张永春 供题）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知P:（2x －3）2<1, Q:x(x －3)<0, 则P 是Q 的（ ）（铁一中 张爱丽 供题）A.充分不必要条件；B.必要不充分条件 ；C.充要条件 ；D.既不充分也不必要条件2、设,,l m n 均为直线,其中,m n 在平面a 内，则“”l α⊥是“l m ⊥且”l n ⊥的（ ）（ 金台中学 唐宁 供题）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．条件210p x ->：，条件2q x <-：，则p ⌝是q ⌝的（ ）. （斗鸡中学 张永春 供题）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知P:|2x －3|<1, Q:x(x －3)<0, 则P 是Q 的（ ）（十二厂 闫春亮 供题）A.充分不必要条件；B.必要不充分条件 ；C.充要条件 ；D.既不充分也不必要条件二：填空题11.在下列四个命题中，①若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件②“⎩⎨⎧≤-=∆>04,02ac b a ”是“一元二次不等式20ax bx c ++≥的解集为R 的充要条件③“1x ≠”是“21x ≠”的充分不必要条件④“0x ≠”是“0x x +>”的必要不充分条件正确的有________．（填序号）（斗鸡中学 张永春 供题）11、已知命题p ：x ∀∈R ，sin x x >，则p ⌝形式的命题是__ （ 金台中学 唐宁 供题）三：解答题15.已知集合{}{}22320,20A x x x B x x x m =-+==-+=且AB A =，求m 的取值范围．（斗鸡中学 张永春 供题）17.（命题甲：“方程x 2+mx+1=0有两个相异负根”,命题乙：“方程4x 2+4(m －2)x+1=0无实根”，这两个命题有且只有一个成立，试求实数m 的取值范围。

第一章 §2 第1课时一、选择题1．“x >1”是“|x |>1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 本题主要考查了充要条件．判定不是充分(或必要)条件，可用“特例法”．当x >1时，一定有|x |>1成立，而|x |>1时，不一定有x >1，如x ＝－5.所以“x >1”⇒“|x |>1”而“|x |>1” ⇒/ x >1.2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 本题考查两条直线垂直的充要条件．当a ＝1时，直线x －ay ＝0化为直线x －y ＝0，∴直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直； 当直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直时，有1－a ＝0，∴a ＝1，故选C.3．设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 本题考查充要条件，解一元二次不等式．由2x 2＋x －1>0得(x ＋1)(2x －1)>0，即x <－1或x >12，所以x >12⇒2x 2＋x －1>0，而2x 2＋x －1>0⇒/ x >12，选A. 4．(2014·郑州市质检)设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，则“a ∥b ”是“x ＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] B[解析]a∥b⇔x2－4＝0⇔x＝±2，故a∥b是x＝2的必要不充分条件．5．(2014·甘肃省三诊)设a，b∈R，则(a－b)·a2<0是a<b的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析](a－b)a2<0⇒a－b<0⇒a<b，而a<b，a＝0时(a－b)·a2＝0，∴a<b⇒/(a－b)a2<0∴选A.6．(2014·豫东、豫北十所名校联考)已知数列{a n}为等比数列，则p：a1<a2<a3是q：a4<a5的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]由a1<a2<a3可知等比数列{a n}为递增的，所以a4<a5，充分性成立，但a4<a5时，不能确定{a n}为递增数列，也可能是正负交替数列，例如a n＝2·(－1)n－1，所以必要性不成立．二、填空题7．命题p：x1、x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，命题q：x1＋x2＝－5，那么命题p是命题q的________条件．[答案]充分不必要[解析]∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x1＋x2＝－5.当x1＝－1，x2＝－4时，x1＋x2＝－5，而－1，－4不是方程x2＋5x－6＝0的两根．8．已知数列{a n}，那么“对任意的n∈N＋，点P n(n，a n)，都在直线y＝2x＋1上”是“{a n}为等差数列”的______条件．[答案]充分不必要[解析]点P n(n，a n)都在直线y＝2x＋1上，即a n＝2n＋1，∴{a n}为等差数列，但是{a n}是等差数列时却不一定有a n＝2n＋1.9．命题p：sinα＝sinβ，命题q：α＝β，则p是q的________条件．[答案]必要不充分[解析] sin α＝sin β⇒/ α＝β，α＝β⇒sin α＝sin β，故填必要不充分．三、解答题10．是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围．[答案] p ≥4[解析] x 2－x －2>0的解是x >2或x <－1，由4x ＋p <0得x <－p 4. 要想使x <－p 4时，x >2或x <－1成立，必须有－p 4≤－1，即p ≥4，所以当p ≥4时，x <－p 4⇒x <－1⇒x 2－x －2>0.所以p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件.一、选择题11．“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 由于直线方程中含有字母m ，需对m 进行讨论．(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直的充要条件是(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，即(m ＋2)(4m －2)＝0，所以m ＝－2或m ＝12. 显然m ＝12只是m 取值的一种情况．故为充分不必要条件． 12．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] “tan x ＝1”的充要条件为“x ＝k π＋π4(k ∈Z )”，而“x ＝2kx ＋π4(k ∈Z )”是“x ＝kx ＋π4(k ∈Z )”的充分不必要条件，所以“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的充分不必要条件，故选A.13．(2013·浙江文，3)设α∈R ，则“α＝0”是“sin α<cos α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由α＝0可以得出sin α＝0，cos α＝1，sin α<cos α，但当sin α<cos α时，α不一定为0，所以α＝0是sin α<cos α的充分不必要条件，选A.14．(2014·江西临川十中期中)已知平面向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则“m ＝1”是“(a －m b )⊥a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ∵|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝1×2×cos60°＝1，(a －m b )⊥a ⇔(a －m b )·a ＝0⇔|a |2－m a ·b ＝0⇔m ＝1，故选C.二、填空题15．“a ＝12”是“y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为2π”的________条件． [答案] 充分不必要[解析] 由a ＝12，得y ＝cos 212x －sin 212x ＝cos x ，T ＝2π；反之，y ＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax ，由T ＝2π|2a |＝2π，得a ＝±12.故是充分不必要条件． 16．下列说法正确的是________．①x 2≠1是x ≠1的必要条件；②x >5是x >4的充分不必要条件；③xy ＝0是x ＝0且y ＝0的充要条件；④x 2<4是x <2的充分不必要条件．[答案] ②④[解析] “若x 2≠1，则x ≠1”的逆否命题为“若x ＝1，则x 2＝1”，易知x ＝1是x 2＝1的充分不必要条件，故①不正确．③中，由xy ＝0不能推出x ＝0且y ＝0，则③不正确．②④正确．三、解答题17．对于实数x 、y ，判断“x ＋y ≠8”是“x ≠2或y ≠6”的什么条件．[答案] 充分不必要条件[解析] 可从集合角度判断，考虑集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ≠8}与B ＝{(x ，y )|x ≠2或y ≠6}的包含关系，A 是平面直角坐标系内除去直线y ＝－x ＋8上所有点的集合；B ＝{(x ，y )|x ≠2}∪{(x ，y )|y ≠6}是直角坐标平面内除去直线x ＝2上的所有点或除去直线y ＝6上的所有点的集合，即除点(2,6)的所有点的集合，知A B ，所以“x ＋y ≠8”是“x ≠2或y ≠6”的充分不必要条件．18．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．[答案] a ≤1[解析] ①a ＝0时适合．②当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a <0；若方程有两个负的实根，则必须满足⎩⎨⎧1a >0，－2a <0，Δ＝4－4a ≥0.解得0<a ≤1. 综上可知，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1；反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.。

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14.设集合S＝{x|x＜－1或x＞5}，T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，则a的取 值范围是_{_a_|_－__3_<_a_<_－__1_}_.
借助数轴可知aa<＋－8>15，， ∴－3<a<－1.
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二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的
四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2
分，有选错的得0分)
9.设集合S＝{x|－2≤x≤8}，T＝{x|0<x<4}，若集合P⊆(∁RT)∩S，则P可 以是
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四、解答题(本大题共6小题，共70分) 17.(10 分 ) 已 知 全 集 U ＝ {1,2,3,4,5,6,7,8} ， A ＝ {x|x2 － 3x ＋ 2 ＝ 0} ， B ＝ {x∈Z|1≤x≤5}，C＝{x∈Z|2<x<9}.求 (1)A∪(B∩C)；
20.(12分)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a，9}，分别求适 合下列条件的a的值. (1)9∈(A∩B)；
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∵9∈(A∩B)， ∴2a－1＝9或a2＝9， ∴a＝5或a＝3或a＝－3. 当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}； 当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，不满足集合元素的互异性； 当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}， 所以a＝5或a＝－3.

第一章§4一、选择题1．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A．(¬p)或q B．p且qC．(¬p)或(¬q) D．(¬p)且(¬q)[答案] C[解析]命题p：所有有理数都是实数为真命题．命题q：正数的对数都是负数是假命题．¬p为假命题，¬q是真命题，(¬p)或(¬q)是真命题，故选C.2．已知命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)，命题q：a2＋b2≥0(a，b∈R)，下列结论正确的是() A．“p或q”为真B．“p且q”为真C．“¬p”为假D．“¬q”为真[答案] A[解析]∵p为假，q为真，∴“p且q”为假，“p或q”为真，“¬p”为真，“¬q”为假，故选A.3．命题“p或q为真”是命题“q且p为真”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析]若p或q为真，则p、q一真一假或p、q均为真，若q且p为真，则q、p均为真，故选B.4．设命题p：x>2是x2>4的充要条件；命题q：若ac2>bc2，则a>b，则()A．p或q为真B．p且q为真C．p真q假D．p、q均为假[答案] A[解析]x>2⇒x2>4，x2>4⇒/ x>2，故p为假命题；由ac2>bc2⇒a>b，故q为真命题，∴p或q为真，p且q为假，故选A.5．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③“若a>b，则a＋c>b＋c”；④“正方形的两条对角线相等且互相垂直”，其中假命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析]①②为“p或q”形式的命题，都是真命题，③为真命题，④为“p且q”形式的命题，为真命题，故选A.6．命题：关于x的方程x2＋ax＋2＝0无实根，命题q：函数f(x)＝log a x在(0，＋∞)上单调递增，若“p且q”为假命题，“p或q”真命题，则实数a的取值范围是()A．(－22，1]∪[22，＋∞)B．(－22，22)C．(－22，＋∞)D．(－∞，22)[答案] A[分析](1)根据方程x2＋ax＋2＝0无实根，判别式Δ<0，求出a的取值范围，得命题p成立的条件．(2)根据函数f(x)＝log a x在(0，＋∞)上单调递增，求出a的取值范围，得命题q成立的条件．(3)由“p且q”为假命题，“p或q”为真命题知p与q一真一假，因此分类讨论，求出a的取值范围．[解析]∵方程x2＋ax＋2＝0无实根，∴△＝a2－8<0，∴－22<a<22，∴p：－22<a<2 2.∵函数f(x)＝log a x在(0，＋∞)上单调递增，∴a>1.∴q：a>1.∵p且q为假，p或q为真，∴p与q一真一假．当p真q假时，－22<a≤1，当p假q真时，a≥2 2.综上可知，实数a的取值范围为(－22，1]∪[22，＋∞)．二、填空题7．“3≥3”是________形式的命题．[答案] p 或q[解析] 3≥3等价于3>3或3＝3，故“3≥3”是“p 或q ”形式的命题．8．p ：ax ＋b >0的解集为x >－b a； q ：(x －a )(x －b )<0的解为a <x <b .则p 且q 是________命题(填“真”或“假”)．[答案] 假[解析] p 中a 的符号未知，q 中a 与b 的大小关系未知，因此命题p 与q 都是假命题．9．若命题p ：x ∈(A ∩B )，则命题“¬p ”是________．[答案] x ∉A 或x ∉B[解析] 命题p ：x ∈(A ∩B )，即为x ∈A 且x ∈B ，故“¬p ”是x ∉A 或x ∉B .三、解答题10．已知命题p ：函数f (x )＝x 2＋2mx ＋1在(－2，＋∞)上单调递增；命题q ：函数g (x )＝2x 2＋22(m －2)x ＋1的图像恒在x 轴上方，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．[答案] m ≥3或1<m <2[解析] 函数f (x )＝x 2＋2mx ＋1在(－2，＋∞)上单调递增，则－m ≤－2，∴m ≥2，即p ：m ≥2，函数g (x )＝2x 2＋22(m －2)x ＋1的图像恒在x 轴上方；则不等式g (x )>0恒成立，故Δ＝8(m －2)2－8<0.解得1<m <3，即q ：1<m <3.若p 或q 为真，p 且q 为假，则p 、q 一真一假．当p 真q 假时，由⎩⎨⎧ m ≥2m ≥3或m ≤1，得m ≥3， 当p 假q 真时，由⎩⎨⎧m <21<m <3，得1<m <2. 综上，m 的取值范围是{x |m ≥3或1<m <2}.一、选择题11．下列命题：①“矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形”；②“菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形”；③方程x 2－3x －4＝0的判别式大于或等于0；④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等；⑤集合A ∩B 是集合A 的子集，且是A ∪B 的子集．其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D.4[答案] C[解析] “或”命题为真，只需至少一个为真；“且”命题为真，需全为真．①、③、⑤为真命题．12．由命题p ：“函数y ＝1x是减函数”与q ：“数列a ，a 2，a 3，…是等比数列”构成的命题，下列判断正确的是( )A ．p 或q 为真，p 且q 为假B ．p 或q 为假，p 且q 为假C ．p 或q 为真，p 且q 为假D ．p 或q 为假，p 且q 为真[答案] B[解析] ∵p 为假，q 为假，∴p 或q 为假，p 且q 为假．13．已知命题p ：m <0，命题q ：x 2＋mx ＋1>0对一切实数x 恒成立，若p 且q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．m <－2B ．m >2C ．m <－2或m >2D ．－2<m <0 [答案] D[解析] q ：x 2＋mx ＋1>0对一切实数恒成立，∴Δ＝m 2－4<0，∴－2<m <2.p ：m <0，∵p 且q 为真命题，∴p 、q 均为真命题，∴⎩⎨⎧－2<m <2m <0，∴－2<m <0. 14．(2014·辽宁师大附中期中)下列命题错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”B ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题C ．命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则¬p ：任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0 D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件[答案] B[解析] 由逆否命题“条件的否定作结论，结论的否定为条件”知A 为真命题；p 且q 为假命题时，p 假或q 假，故B 错误；由“非”命题的定义知C 正确；∵x >2时，x 2－3x ＋2>0成立，x 2－3x ＋2>0时，x <1或x >2，∴D 正确．二、填空题15．(2014·福州市八县联考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p 且q 为假命题且p 或q 为真命题，则m 的取值范围是________．[答案] m ≤－2或－1<m <2[解析] p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p 且q 为假命题且p 或q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值范围是m ≤－2或－1<m <2.16．由命题p ：正数的平方大于0，q ：负数的平方大于0组成的“p 或q ”形式的命题为________．[答案] 正数的平方大于0或负数的平方大于0三、解答题17．(1)分别写出由下列命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”形式的复合命题，p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相平分．(2)已知命题p ：王茹是共青团员，q ：王茹是三好学习，用自然语言表述命题p 且q ，p 或q .[解析] (1) p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相平分；p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相平分．(2)p 且q ：王茹既是共青团员，又是三好学习；p 或q ：王茹是共青团员或是三好学生．18．给定两个命题，p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立；q ：a 2＋8a －20<0，如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．[答案] (－10,0)∪[2,4)[解析] ax ＋ax ＋1>0恒成立，当a ＝0时，不等式恒成立，满足题意．当a ≠0时，由题意得⎩⎨⎧a >0Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4.故0≤a <4. q ：a 2＋8a －20<0，∴－10<a <2.∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，∴p 、q 一真一假． 当p 真q 假时，⎩⎨⎧ 0≤a <4a ≤10或a ≥2，∴2≤a <4. 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0或a ≥4－10<a <2，∴－10<a <0. 综上可知，实数a 的取值范围是(－10,0)∪[2,4)．。

章末综合检测（一）集合与常用逻辑用语A卷——学业水平考试达标练(时间：60分钟满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,5}，则A∪B＝()A．{1,2,3}B．{1,2}C．{1,3,5} D．{1,2,3,5}解析：选D由题意得，A∪B＝{1,2,3}∪{1,3,5}＝{1,2，3,5}，故选D.2．已知集合A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{－1,0,1,3,6}，则A∩B中的元素个数为() A．1 B．2C．3 D．4解析：选C由题意，因为集合A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}＝{奇数}，B＝{－1,0,1,3,6}，所以A∩B＝{－1,1,3}，所以A∩B中的元素个数为3.3．设x∈R，则“x>2”是“|x|>2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由|x|>2得x>2或x<－2，即“x>2”是“|x|>2”的充分不必要条件．故选A.4．已知集合A＝{0,1,2,4}，集合B＝{x∈R|0<x≤4}，集合C＝A∩B，则集合C可表示为()A．{0,1,2,4} B．{1,2,3,4}C．{1,2,4} D．{x∈R|0<x≤4}解析：选C因为集合A中的元素为0,1,2,4，而集合B中的整数元素为1,2,3,4，所以C＝A∩B＝{1,2,4}，所以C正确．5．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是() A．1 B．2C．3 D．4解析：选B集合M必须含有元素a1，a2，并且不能含有元素a3，故M＝{a1，a2}或M ＝{a1，a2，a4}．6．命题“对任意x∈R，都有x3≥0”的否定为()A．对任意x∈R，都有x3<0B．不存在x∈R，使得x3<0C．存在x∈R，使得x3≥0D ．存在x ∈R ，使得x 3＜0解析：选D “对任意x ∈R ”的否定为“存在x ∈R ”，对“x 3≥0”的否定为“x 3<0”．故选D.7．已知三个集合U ，A ，B 之间的关系如图所示，则(∁U B )∩A ＝( )A ．{3}B ．{0,1,2,4,7,8}C ．{1,2}D ．{1,2,3}解析：选C 由Venn 图可知U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,2,3}，B ＝{3,5,6}，所以(∁U B )∩A ＝{1,2}．8．已知非空集合M ，P ，则M P 的充要条件是( )A ．∀x ∈M ，x ∉PB ．∀x ∈P ，x ∈MC ．∃x 1∈M ，x 1∈P 且x 2∈M ，x 2∉PD ．∃x ∈M ，x ∉P 解析：选D 由M P ，可得集合M 中存在元素不在集合P 中，结合各选项可得，MP 的充要条件是∃x ∈M ，x ∉P .故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)9．用列举法表示集合：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪10m ＋1∈Z ，m ∈Z＝________________. 解析：由10m ＋1∈Z ，且m ∈Z ，知m ＋1是10的约数，故|m ＋1|＝1,2,5,10，从而m 的值为－11，－6，－3，－2,0,1,4,9.答案：{－11，－6，－3，－2,0,1,4,9}10．已知A ＝{x |x ≤1或x >3}，B ＝{x |x >2}，则(∁R A )∪B ＝________. 解析：∵∁R A ＝{x |1<x ≤3}，∴(∁R A )∪B ＝{x |x >1}． 答案：{x |x >1}11．下列不等式：①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1.其中，可以是x 2<1的一个充分条件的所有序号为________．解析：由于x 2<1即－1<x <1，①显然不能使－1<x <1一定成立，②③④满足题意． 答案：②③④12．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．解析：具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.答案：3三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13．(8分)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{4,5,6,7,8}，C ＝{3,5,7,9}． 求：(1)A ∩B ，A ∪B ； (2)A ∩(∁U B )，A ∪(B ∩C )解：(1)A ∩B ＝{4,5}，A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}． (2)∵B ＝{4,5,6,7,8}，∴∁U B ＝{1,2,3,9,10}． ∴A ∩(∁U B )＝{1,2,3}，A ∪(B ∩C )＝{1,2,3,4,5,7}． 14．(10分)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x －m >0}． (1)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围； (2)若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x >m }， 又A ∩B ＝∅，∴m ≥3.故实数m 的取值范围为[3，＋∞)． (2)∵A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x >m }， 由A ∩B ＝A ，得A ⊆B ，∴m ≤－1. 故实数m 的取值范围为(－∞，－1]．15．(10分)写出下列命题的否定，并判断真假． (1)正方形都是菱形； (2)∃x ∈R ，使4x －3>x ； (3)∀x ∈R ，有x ＋1＝2x ；(4)集合A 是集合A ∩B 或集合A ∪B 的子集． 解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．(2)命题的否定：∀x ∈R ，有4x －3≤x .因为当x ＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x ∈R ，有4x －3≤x ”是假命题．(3)命题的否定：∃x ∈R ，使x ＋1≠2x .因为当x ＝2时，x ＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x ∈R ，使x ＋1≠2x ”是真命题．(4)命题的否定：集合A 既不是集合A ∩B 的子集也不是集合A ∪B 的子集，是假命题．16．(12分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．解：∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件， ∴B A .当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，则当B ＝{1}时，得a ＝1； 当B ＝{2}时，得a ＝12.综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1.B 卷——高考应试能力标准练 (时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合X ＝{x |x >－1}，下列关系式中成立的为( ) A ．0⊆X B ．{0}∈X C ．∅∈XD ．{0}⊆X解析：选D 选项A ，元素0与集合之间为∈或∉的关系，错误；选项B ，集合{0}与集合X 之间为⊆或⊇的关系，错误；选项C ，∅与集合X 之间为⊆或⊇的关系，错误；选项D ，集合{0}是集合X 的子集，故{0}⊆X 正确．故选D.2．若集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1≤x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅解析：选C ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{y |y ≥0}， ∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}．3．设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A |x －2|<1⇔1<x <3.于{x |1<x <2}是{x |1<x <3}的真子集，所以“1<x <2”是“|x －2|<1”的充分不必要条件．4．已知集合A ，B 是非空集合且A ⊆B ，则下列说法错误的是( ) A ．∃x ∈A ，x ∈B B ．∀x 0∈A ，x 0∈B C ．A ∩B ＝AD ．A ∩(∁U B )≠∅解析：选D ∵集合A ，B 是非空集合且A ⊆B ， ∴∃x ∈A ，x ∈B ；∀x ∈A ，x ∈B ；A ∩B ＝A ； A ∩(∁U B )＝∅.因此A 、B 、C 正确，D 错误．故选D.5．已知集合A ＝{a ，|a |，a －2}，若2∈A ，则实数a 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．4D ．2或4解析：选A 若a ＝2，则|a |＝2，不符合集合元素的互异性，则a ≠2；若|a |＝2，则a ＝2或－2，可知a ＝2舍去，而当a ＝－2时，a －2＝－4，符合题意；若a －2＝2，则a ＝4，|a |＝4，不符合集合元素的互异性，则a －2≠2.综上，可知a ＝－2.故选A.6．集合A ＝{x ∈N |0<x <4}的真子集个数为( ) A ．3 B ．4 C ．7D ．8解析：选C ∵集合A ＝{x ∈N|0<x <4}＝{1,2,3}，∴真子集的个数是23－1＝7，故选C.7．“⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0”是“1xy >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵“⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0”⇒“1xy >0”，“1xy >0”⇒“⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，y <0，”∴“⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0”是“1xy >0”的充分不必要条件．故选A.8．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 解x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2.所以A ＝{1,2}．又B ＝{1,2,3,4}，所以满足A ⊆C ⊆B 的集合C 可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．故D 正确．9．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( ) A ．∀x ∈R ,3x －1>0B．若2x为偶数，则∀x∈NC．所有正方形的四条边都相等D．π是无理数解析：选C对A，是全称量词命题，但不是真命题，故A不正确；对B，是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确；对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确，故选C.10．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么()A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析：选A因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇒/丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－2≤n≤3}，则M∩N＝________.解析：因为M＝{m∈Z|－3<m<2}＝{－2，－1,0,1}，N＝{n∈Z|－2≤n≤3}＝{－2，－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{－2，－1,0,1}．答案：{－2，－1,0,1}12．某校高一某班共有40人，摸底测验数学成绩23人得优，语文成绩20人得优，两门都不得优者有6人，则两门都得优者有________人．解析：设两门都得优的人数是x，则依题意得(23－x)＋(20－x)＋x＋6＝40，整理，得－x＋49＝40，解得x＝9，即两门都得优的人数是9人．答案：913．设全集U＝{x||x|<4，且x∈Z}，S＝{－2,1,3}，若P⊆U，(∁U P)⊆S，则这样的集合P共有________个．解析：U＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∵∁U(∁U P)＝P，∴存在一个∁U P，即有一个相应的P(如当∁U P＝{－2,1,3}时，P＝{－3，－1,0,2}；当∁U P＝{－2,1}时，P＝{－3，－1,0,2,3}等)．由于S的子集共有8个，∴P也有8个．答案：814．若a ，b 都是实数，试从①ab ＝0；②a ＋b ＝0；③a (a 2＋b 2)＝0；④ab >0中选出适合下列条件的，用序号填空：(1)“使a ，b 都为0”的必要条件是________． (2)“使a ，b 都不为0”的充分条件是________． (3)“使a ，b 至少有一个为0”的充要条件是________． 解析：①ab ＝0⇔a ＝0或b ＝0，即a ，b 至少有一个为0；②a ＋b ＝0⇔a ，b 互为相反数，则a ，b 可能均为0，也可能为一正一负； ③a (a 2＋b 2)＝0⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0； ④ab >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0，则a ，b 都不为0.答案：(1)①②③ (2)④ (3)①三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(8分)指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)∀x ∈N ,2x ＋1是奇数； (2)存在一个x ∈R ，使1x －1＝0； (3)存在一组m ，n 的值，使m －n ＝1； (4)至少有一个集合A ，满足A {1,2,3}．解：(1)是全称量词命题．因为对任意自然数x,2x ＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是存在量词命题．因为不存在x ∈R ，使1x －1＝0成立，所以该命题是假命题． (3)是存在量词命题．当m ＝4，n ＝3时，m －n ＝1成立，所以该命题是真命题． (4)是存在量词命题．存在A ＝{3}，使A {1,2,3}成立，所以该命题是真命题． 16．(10分)已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求满足下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B .解：(1)∵9∈(A ∩B )，∴9∈B 且9∈A ， ∴2a －1＝9或a 2＝9，∴a ＝5或a ＝±3. 检验知a ＝5或a ＝－3.(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈(A ∩B )， ∴a ＝5或a ＝－3.当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，此时A∩B＝{－4,9}，与A∩B＝{9}矛盾，故舍去；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，A∩B＝{9}，满足题意．综上可知a＝－3.17．(10分)已知A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x－1>0}．(1)求A∩B；(2)若记符号A－B＝{x|x∈A且x∉B}，在图中把表示“集合A－B”的部分用阴影涂黑，并求出A－B.解：(1)由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}．所以A∩B＝{x|1<x<2}．(2)集合A－B如图中的阴影部分所示．由于A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，又A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>1}，所以A－B＝{x|－1<x≤1}．18．(10分)已知集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．解：A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}＝{0，－4}，因为B⊆A，所以B＝A或B A.当B＝A时，B＝{－4,0}，即－4,0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，代入得a＝1，此时满足条件，即a＝1符合题意．当B A时，分两种情况：若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.若B≠∅，则方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}，符合题意．综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．19．(12分)求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．解：(1)当a＝0时显然符合题意．(2)当a≠0时显然方程没有零根．若方程有两异号的实根，则a<0；若方程有两个负的实根，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－2a <0，Δ＝4－4a ≥0解得0<a ≤1.综上知，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1；反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根．因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

因为所有的整数被5除所得余数只能为0,1,2,3,4，所以 = [0] ∪ [1] ∪ [2] ∪ [3] ∪ [4]，
故C选项正确；
设 = 51 + 1 ， = 52 + 2 1 , 2 ∈ ，若 − ∈ [0]，则
− = 5 1 − 2 + 1 − 2 ∈ [0],所以1 = 2 ，则整数，属于同一“类”，故D
2
1
4
−+ ≥
0”,由 2
命题为假命题.
−
1
+
4
= −
1 2
2
≥ 0知，原命题的否定为真命题，则可知原
例5 设，为两个非空集合，则下列四个命题中为真命题的是( D
)
A. ⊈ ⇔ 对任意 ∈ ,都有 ∉
B. 2 4 + 1是偶数”，因为 ∈ ∗ 时，2 4 是偶数，所以2 4 + 1是奇数，原命题
的否定是假命题，由“¬与不能同真同假，其中一个为真，另一个必定为假”知，
原命题为真命题.
（2）∃ ∈
, 2
−
1
+
4
< 0.
1
4
【解析】存在量词命题“∃ ∈ , 2 − + < 0”的否定是全称量词命题“∀ ∈ ,
B.−3 ∈ [3]
C. = [0] ∪ [1] ∪ [2] ∪ [3] ∪ [4]
D.“整数，属于同一‘类’”的充分条件是“ − ∈ [0]”
【解析】因为2 024 = 5 × 404 + 4，所以2 024 ∈ [4]，故A选项不正确；
因为−3 = 5 × −1 + 2，所以−3 ∈ [2]，故B选项不正确；

第1章 集合与常用逻辑用语 章末测试（提升）第I 卷（选择题）一、单选题(每题5分，8题共40分)1．（2022·湖南岳阳·模拟预测）已知集合A ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x ＞m }，若()RA B 有三个元素，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[3，4） B ．[1，2）C ．[2，3）D ．（2，3]【答案】C【解析】根据题意则A={0，1，2，3，4}，B ＝{x |x ＞m }，{}R B x x m =≤， 若()RAB 有三个元素，则有23m ≤<，即实数m 的取值范围是[2，3）；故选：C2．（2022·广东茂名）设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =，求实数a 组成的集合的子集个数有 A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【答案】D【解析】{}2|8150{3,5}A x x x =-+==,因为A B B =，所以B A ⊂，因此,{3},{5}B =∅，对应实数a 的值为110,,35，其组成的集合的子集个数有328=，选D.3．（2022·浙江宁波）已知a ，b 为实数，则“2a b >”是a b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】因为2a b >，则20a b >≥a b b >≥，即由2a b >a b >， 取4,3a b ==-a b >，而2a b <a b >不可推出2a b >， 所以“2a b >”是a b >”的充分不必要条件，故A 对，B,C,D 错,故选：A.4．（2022·陕西汉中）设集合M={x |x ＜4}，集合2{|20}N x x x =-<，则下列关系中正确的是（ ） A ．M ∪N=M B ．M ∪∁RN=M C ．N ∪∁RM=R D ．M ∩N=M【答案】A【解析】集合{|4}M x x =<，集合2{|20}{|02}N x x x x x =-<=<<，则M N M ⋃=，A 正确；{|0R N x x =≤或2}x ≥，∪R M N R M ⋃=≠，B 错误；{|4}R M x x =≥，∪{|02R N M x x ⋃=<<或4}x R ≥≠，C 错误；{|02}M N x x M ⋂=<<≠，D 错误，故选A.5．（2022·江苏）已知集合{}22(,)4A x y x y =+=，(){},34B x y y x ==+，则A B 中元素的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】集合{}22(,)4A x y x y =+=，{}(,)34B x y y x ==+，把34y x =+代入224x y +=，得22330x x ++=，即3x =-有唯一解，故集合A B 中元素的个数为1． 故选：B6．（2022·全国·模拟预测）已知集合()()2,R P Q ⋃=-+∞，()2,1P Q ⋂=-，则Q =（ ） A ．()2,-+∞ B ．(),1-∞C ．(],2-∞-D ．[)1,+∞【答案】B【解析】根据下面的Venn 图：I 区表示()PQ R；∪区表示P Q ； ∪区表示()R Q P ⋂； ∪区表示()RP Q ⋃．由题，集合()R P Q ⋃对应于I 区，∪区，∪区的并集，所以∪区对应(],2-∞-，从而Q 对应∪区，∪区的并集，故(),1Q =-∞． 故选：B7．（2022·全国·模拟预测）如图，三个圆的内部区域分别代表集合A ，B ，C ，全集为I ，则图中阴影部分的区域表示（ ）A ．ABC ⋂⋂ B ．()I A C B ⋂⋂ C ．()I A B C ⋂⋂D ．()I B C A ⋂⋂【答案】B【解析】如图所示，A. A B C ⋂⋂对应的是区域1；B. ()I A C B ⋂⋂对应的是区域2；C. ()I A B C ⋂⋂对应的是区域3；D. ()I B C A ⋂⋂对应的是区域4. 故选：B8．（2021·全国·高一专题练习）若非空实数集X 中存在最大元素M 和最小元素m ，则记()X M m ∆=-．下列命题中正确的是（ ）A ．已知{1,1}X =-，{0,}Y b =，且()()X Y ∆=∆，则2b =B ．已知[,2]X a a =+，{}2|,Y y y x x X ==∈，则存在实数a ，使得()1Y ∆<C ．已知{|()(),[1,1]}X x f x g x x =>∈-，若()2X ∆=，则对任意[1,1]x ∈-，都有()()f x g x ≥D ．已知[,2]X a a =+，[,3]Y b b =+，则对任意的实数a ，总存在实数b ，使得()3X Y ∆⋃≤ 【答案】D【解析】对于A ：由{1,1}X =-，则()()11=2X ∆=--；{0,}Y b =，则()0=2Y b ∆=-，解得：2b =±，故A 错误；对于B ：由[,2]X a a =+，则()2=2X a a ∆=+-；{}2|,Y y y x x X ==∈，则max min ()Y y y ∆=-，∪当2a ≤-时，2yx 在[],2a a +上单减，所以()22max min ()=2441Y y y a a a ∆=--+=--<，解得：54a >-，又2a ≤-，所以a 不存在； ∪当21a -<≤-时，2yx 在[,0]a 上单减，在[0,2]a +上单增，且()222a a >+所以22max min ()=01Y y y a a ∆=--=<，解得：11a -<<，又21a -<≤-，所以a 不存在；∪当10a -<≤时，2yx 在[,0]a 上单减，在[0,2]a +上单增，且()222a a <+所以()()22max min ()=2021Y y y a a ∆=-+-=+<，解得：31a -<<-，又10a -<≤，所以a 不存在；∪当0a >时，2yx 在[],2a a +上单增，所以()22max min ()=2441Y y y a a a ∆=-+-=+<，解得：34a <-，又0a >，所以a 不存在；综上所述：不存在实数a ，使得()1Y ∆<. 故B 错误；对于C ：∪{|()(),[1,1]}X x f x g x x =>∈-，而()2X ∆=，则M =1,N =-1,但对任意[1,1]x ∈-，都有()()f x g x ≥，不一定成立；对于D ：∪[,2]X a a =+，∪()2X ∆=，由[,3]Y b b =+得()=3Y ∆，所以则对任意的实数a ，总存在实数b ，使得()3X Y ∆⋃≤，故D 成立. 故选：D二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。

第一章测评A(基础过关卷)(时间：90分钟满分：100分)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列命题：(1)有的四边形是菱形；(2)有的三角形是等边三角形；(3)无限不循环小数是有理数；(4)∀x∈R，x＞1；(5)0是最小的自然数．其中假命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．42．命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的否命题是()A．若a＞b，则a－1≤b－1 B．若a≥b，则a－1＜b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1 D．若a＜b，则a－1＜b－13．已知p：{1}{0,1}，q：{1}∈{1,2,3}，由它们构成的新命题“p∧q”“p∨q”“⌝p”中，真命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．34．已知命题p：∃x∈R，x＋6＞0，则⌝p是()A．∃x∈R，x＋6≥0 B．∃x∈R，x＋6≤0C．∀x∈R，x＋6≥0 D．∀x∈R，x＋6≤05．已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1；命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}．下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧⌝q”是假命题；③命题“⌝p∨q”是真命题；④命题“⌝p∨⌝q”是假命题．其中正确的是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④6．下列命题正确的是()A．“a＝b”是“a·c＝b·c”的必要条件B．a，l是直线，α是平面，a⊂平面α，则“l∥a”是“l∥α”的充要条件C．在△ABC中，“a＞b”是“sin A＞sin B”的充分不必要条件D．“x∈R，x2＋4x2＋1≥m”恒成立的充要条件是m≤37．对下列命题的否定错误的是()A．p：负数的平方是正数；⌝p：负数的平方不是正数B．p：至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；⌝p：任意一个整数，它是合数或质数C ．p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2；⌝p ：∃x ∈N ，x 3≤x 2D ．p ：2既是偶数又是质数；⌝p ：2不是偶数或不是质数 8．在锐角△ABC 中，“A ＝π3”是“sin A ＝32”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．下列命题是真命题的是( ) A ．π是有理数B ．sin 30°＝32C ．若a ＞b ＞0，则a 2＞b 2D ．垂直于同一个平面的两个平面互相平行10．已知p ：|x －a |＜4；q ：(x －2)(x －3)＜0，若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( )A ．a ≤－1或a ≥6B ．a ≠－1或a ≥6C ．－1≤a ≤6D ．－1＜a ＜6第Ⅱ卷(非选择题 共50分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．“函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与y 轴交于负半轴”的充要条件是__________． 12．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是__________．13．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋1x 2≤2，命题q 是命题p 的否定，则命题p ，q ，p ∧q ，p ∨q中是真命题的是__________．14．命题p ：∀x ∈R ，f (x )≥m ，则命题p 的否定⌝p 是__________． 15．下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，sin x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞0，则命题“p ∧⌝p ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为__________．(把你认为正确的命题序号都填上)三、解答题(本大题共4个小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(6分)给出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋mx －1＝0都有实根； (2)q ：∃x ∈{六边形}，x 是正六边形．分析：先分析命题所含的量词，明确命题是全称命题还是存在性命题，然后加以否定；可利用“p”与“⌝p”真假性相反判断命题的真假．17．(6分)已知p：A＝{x||x－2|≤4}，q：B＝{x|(x－1－m)·(x－1＋m)≤0}(m＞0)，若⌝p 是⌝q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．(6分)已知命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．求当甲、乙有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围．19．(7分)(1)是否存在实数m，使得2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件？(2)是否存在实数m，使得2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件？参考答案1. 解析：(1)(2)(5)是真命题；无限不循环小数是无理数，故(3)是假命题；(4)显然是假命题．答案：B2. 解析：因为命题“若p ，则q ”的否命题既否定条件，又否定结论，所以命题“若a ＞b ，则a －1＞b －1”的否命题是“若a ≤b ，则a －1≤b －1”．答案：C 3. 答案：B 4. 答案：D5. 解析：命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1正确，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}也正确，所以①正确，“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧⌝q ”是假命题；③命题“⌝p ∨q ”是真命题；④命题“⌝p ∨⌝q ”是假命题，故应选D.答案：D6. 解析：应对各选项逐一进行判断．A 中，由a ＝ba·c ＝b·c ，但a·c ＝b·ca ＝b.例如，当a 与b 不共线时，若a ⊥c ，b ⊥c ，有a·c ＝b·c ，但a ≠b ，故“a ＝b ”是“a·c ＝b·c ”的充分不必要条件；B 中，“l ∥a ”是“l ∥α”的既不充分也不必要条件；C 中，“a ＞b ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件．故A ，B ，C 均不正确．D 中，因为x 2＋4x 2＋1＝x 2＋1＋4x 2＋1－1≥3，故x 2＋4x 2＋1≥m 恒成立的充要条件是m ≤3.答案：D7. 解析：A 中⌝p 应为：有些负数的平方不是正数． 答案：A8. 解析：因为0＜A ＜π2，所以当sin A ＝32时，A ＝π3，所以在锐角△ABC 中，“A ＝π3”是“sin A ＝32”的充要条件． 答案：C9. 解析：π是无理数，故A 是假命题；sin 30°＝12，故B 是假命题；显然C 是真命题；垂直于同一个平面的两个平面也可能相交，故D 是假命题．故选C.答案：C10. 解析：可将条件关系转化为集合间的包含关系求a 的范围．p ：|x －a |＜4a －4＜x ＜a ＋4，记为A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，q ：(x －2)(x －3)＜02＜x ＜3，记为B ＝{x |2＜x ＜3}，因为⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，由命题间的关系有q 是p 的充分不必要条件，转化为集合关系即为B A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，且等号不能同时成立，得－1≤a ≤6.答案：C 11. 答案：c ＜012. 解析：因为命题p 是假命题，故⌝p 是真命题，即对∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ＞0恒成立，故Δ＝4a 2－4a ＜0.解得0＜a ＜1.答案：0＜a ＜113. 解析：应结合逻辑知识，先判断命题p ，q 的真假，对命题p ：∃x ∈R ，x 2＋1x 2≤2，如x ＝1时，命题成立，故p 为真命题．又q 与命题p 的否定⌝p 真假相同，故q 为假命题．结合真值表知p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题．答案：p ，p ∨q14. 答案：∃x ∈R ，f (x )＜m15. 解析：①中命题p 为真，q 为真，故⌝p 为假，则p ∧⌝q 为假，所以①正确；②当a ＝b ＝0时，l 1⊥l 2，故②不正确；③正确，逆否命题为条件、结论全否定再变换位置，故①③正确．答案：①③16. 解：⌝p ：∃m ∈R ，方程x 2＋mx －1＝0无实根．(假命题)⌝q ：∀x ∈{六边形}，x 不是正六边形．(假命题)17. 分析：化简集合，实行等价转化即将条件“⌝p 是⌝q 的必要不充分条件即p 是q 的充分不必要条件”转化为“AB ”，然后利用集合关系列不等式组解决问题．解：p ：A ＝{x ||x －2|≤4}＝{x |－2≤x ≤6}， q ：B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }(m ＞0)， 因为⌝p 是⌝q 的必要不充分条件， 所以p 是q 的充分不必要条件． 利用数轴分析可得⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥6.两等号不能同时成立，解得m ≥5.故m 的取值范围为[5，＋∞)． 18. 解：甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2＜0，即a ＞13或a ＜－1.①乙命题为真时，2a 2－a ＞1，即a ＞1或a ＜－12.②甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假，即13＜a ≤1；甲假乙真，即－1≤a＜－12，所以甲、乙中有且只有一个是真命题时，a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪13<a ≤1或－1≤a <－12. 19. 解：(1)欲使得2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件，则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2{x |x＜－1或x ＞3}，则只要－m2≤－1，即m ≥2，故存在实数m ≥2，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件．(2)欲使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的必要条件，则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊇{x |x ＜－1或x ＞3}，这是不可能的，故不存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的必要条件．。

第一章 常用逻辑用语测评B(高考体验卷)(时间：90分钟 满分：100分)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1． “(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则⌝p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜05．已知命题p ：∀x ∈R,2x ＜3x；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q 6．原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 7．已知命题p ：∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ＞1，则⌝p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x ＞0，总有(x ＋1)e x≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤1 8．下列命题中，真命题是( )A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0B ．∀x ∈R,2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b ＝－1D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件9．给定两个命题p ，q .若⌝p 是q 的必要而不充分条件，则p 是⌝q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．若α∈R ，则“α＝0”是sin α＜cos α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷(非选择题 共50分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．已知p ：|x |＜1，q ：x 2＋x －6＜0，则q 是p 的__________条件． 12．已知命题p ：∃x ∈R ，使x 2＋3x 2＋2＝2；命题q ：“a ＝2”是“函数y ＝x 2－ax ＋3在区间[1，＋∞)上单调递增”的充分但不必要条件．给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“(⌝p )∧q ”是真命题；③命题“(⌝p )∨q ”是真命题；④命题“p ∨(⌝p )”是假命题．其中正确说法的序号是__________．13．命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是__________．14．已知命题 p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是__________．①p ∧⌝q ②⌝p ∧q③⌝p ∧⌝q ④p ∧q15．已知p ：－1≤x ≤5，q ：|x |＜a (a ＞0)，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是__________．三、解答题(本大题共4个小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(6分)设p ：函数f (x )＝lg(ax 2－4x ＋a )的定义域为R ；q ：不等式2x 2＋x ＞2＋ax ，对∀x ∈(－∞，－1)恒成立，如果“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数a 的取值范围．17．(6分)若“x 满足：2x ＋p ＜0”是“x 满足：x 2－x －2＞0”的充分条件，求实数p 的取值范围．18．(6分)已知p ：x －1x ＋1≤0，q ：(x －m )(x －m ＋3)≥0，m ∈R ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．19．(7分)设集合A＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，关于x的不等式(x－2a)(x＋a)＞0的解集为B(其中a＜0)．(1)求集合B；(2)设p：x∈A，q：x∈B，且⌝p是⌝q的充分不必要条件，求a的取值范围．参考答案1. 解析：由(2x －1)x ＝0，得x ＝12或x ＝0. 故(2x －1)x ＝0是x ＝0的必要不充分条件．答案：B2. 解析：当a ＝0，b ＝－1时，a ＞b 成立，但a 2＝0，b 2＝1，a 2＞b 2不成立，所以“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的不充分条件．反之，当a ＝－1，b ＝0时，a 2＝1，b 2＝0，即a 2＞b 2成立，但a ＞b 不成立，所以“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的不必要条件．综上，“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的既不充分也不必要条件，应选D.答案：D3. 解析：点(2，－1)在直线l ：x ＋y －1＝0上，而直线l 上的点的坐标不一定为(2，－1)，故“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l 上”的充分而不必要条件．答案：A4. 解析：全称命题的否定为存在性命题，即若p 为“∀x ∈M ，q (x )”，则⌝p 为“∃x ∈M ，⌝q (x )”，故选C.答案：C5. 解析：由20＝30知，p 为假命题．令h (x )＝x 3－1＋x 2，因为h (0)＝－1＜0，h (1)＝1＞0，所以x 3－1＋x 2＝0在(0,1)内有解．所以∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．故选B. 答案：B6. 解析：由a n ＋a n ＋12＜a n ，得a n ＋a n ＋1＜2a n ，即a n ＋1＜a n ， 所以当a n ＋a n ＋12＜a n 时，必有a n ＋1＜a n ，则{a n }是递减数列；反之，若{a n }是递减数列，必有a n ＋1＜a n ，从而有a n ＋a n ＋12＜a n .所以原命题及其逆命题均为真命题，从而其否命题及其逆否命题也均为真命题，故选A.答案：A7. 解析：由全称命题∀x ∈M ，p (x )的否定为∃x 0∈M ，⌝p (x )，可得⌝p ：∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1.故选B.答案：B8. 解析：因为a ＞1＞0，b ＞1＞0，所以由不等式的性质得ab ＞1，即a ＞1，b ＞1ab ＞1.答案：D9. 解析：由题意：q ⌝p ，⌝p q ，根据命题四种形式之间的关系，互为逆否的两个命题同真同假，所以,q p p ⇒⌝⌝⇒q ⎧⎨⎩等价于,p q q ⇒⌝⌝⇒p⎧⎨⎩p 所以p 是⌝q 的充分而不必要条件．故选A.答案：A10. 解析：当α＝0时，sin α＜cos α成立；若sin α＜cos α，α可取π6等值，所以“α＝0”是“sin α＜cos α”的充分不必要条件．故选A.答案：A11. 解析：因为p ：|x |＜1，即－1＜x ＜1，而q ：x 2＋x －6＜0中，－3＜x ＜2，所以q 是p 的必要不充分条件．答案：必要不充分 12. 解析：对于命题p ：x 2＋3x 2＋2＝2，则x 2＋3＝2x 2＋2，两边平方得x 4＋6x 2＋9＝4x 2＋8，即x 4＋2x 2＋1＝0，(x 2＋1)2＝0不成立，故而p 为假；对于命题q ，若a ＝2，则函数y ＝x 2－2x ＋3在[1，＋∞)上单调递增成立；反之不成立，故而q 为真，所以p ∧q 为假，(⌝p )∧q 为真，所以正确说法序号为②③④.答案：②③④13. 解析：全称命题的否定是特称命题，故该命题的否定是∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0＜0.答案：∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0＜014. 解析：由题意知，命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以⌝p 为假，⌝q 为真．所以p ∧⌝q 为真，⌝p ∧q 为假，⌝p ∧⌝q 为假，p ∧q 为假．答案：①15. 解析：易知q ：－a ＜x ＜a .又因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1>－a ，a >5，所以a ＞5.答案：a ＞516. 解：若p 真，则Δ＜0，且a ＞0，故a ＞2；若q 真，则a ＞2x －2x ＋1，对∀x ∈(－∞，－1)恒成立，y ＝2x －2x＋1在(－∞，－1]上是增函数，y min ＝1，此时x ＝－1，故a ≥1.“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，等价于p ，q 一真一假，故1≤a ≤2.17. 解：由2x ＋p ＜0，得x ＜－p 2，令A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－p 2. 由x 2－x －2＞0，解得x ＞2或x ＜－1， 令B ＝{x |x ＞2，或x ＜－1}．由题意，知A B ，即－p 2≤－1，即p ≥2. 故实数p 的取值范围是[2，＋∞)．18. 解：对于p ：x －1x ＋1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)(x ＋1)≤0，x ＋1≠0，所以－1＜x ≤1.对于q ：(x －m )(x －m ＋3)≥0，m ∈R ，得x ≥m 或x ≤m －3.又因为p 是q 的充分不必要条件，所以p q ，q p .所以m －3≥1或m ≤－1，所以m ≥4或m ≤－1.故实数m 的取值范围是m ≥4或m ≤－1.19. 解：(1)因为a ＜0，所以2a ＜－a ，所以B ＝{x |x ＜2a ，或x ＞－a }＝(－∞，2a )∪(－a ，＋∞)．(2)由(1)知⌝p ：R A ＝(－2,3)，⌝q ：R B ＝[2a ，－a ]．由⌝p 是⌝q 的充分不必要条件知R AR B ， 故⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≤－2，－a ≥3，a <0，解得a ≤－3，所以a 的取值范围为(－∞，－3]．。

章末综合测评(一) 集合与常用逻辑用语(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)＝( )A．{1，3} B．{0，3}C．{－2，1} D．{－2，0}2．设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝，则M∩N等于( )A．B．C．{x|4≤x＜5} D．{x|0＜x≤5}3．(2022·山东省郓城一中月考)关于命题p：∃x∈R，x2＋3x＋2<0的叙述正确的是( ) A．p的否定：∀x∈R，x2＋3x＋2<0B．p的否定：∃x∈R，x2＋3x＋2≥0C．p是真命题，p的否定是假命题D．p是假命题，p的否定是真命题4．(2022·辽宁沈阳月考)已知a，b∈R，则“a－2b＝0”是“＝2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．如图，U为全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( ) A．(M∩P)∩SB．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩(∁U S)D．(M∩P)∪(∁U S)6．(2022·河南伊川县实验高中月考)已知全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁U B，则下列关系一定正确的是( )A．∃x∈U，x∉A且x∈BB．∀x∈A，x∈BC．∀x∈U，x∈A或x∈BD．∃x∈U，x∈A且x∈B7．有限集合A中元素的个数，用card(A)表示．若集合M＝{x∈Z|－2<x<a}，N＝{－3，－2，2，3}，且card(M)＝5，则card(M∩N)＝( )A．4 B．3C．2 D．18．(2022·保定市第一中学月考)已知集合M＝，集合N＝，则( )A．M∩N＝∅B．M∪N＝MC．N M D．M N二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有( )A．∅⊆A B．－2∈AC．{0，2}⊆A D．A⊆{y|y<3}10．下列存在量词命题中，是真命题的是( )A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C．∃x∈R，|x|<0D．有些自然数是偶数11．(2022·江苏南京师大附中月考)我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁S A ＝{x|x∈S且x∉A}，类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}，叫做集合A和B 的差集，记作A－B，例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}，下列解析正确的是( )A．已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B－A＝{3，7，8}B．如果A－B＝∅，那么A⊆BC．已知全集、集合A、集合B关系如图中所示，则B－A＝A∩(∁U B)D．已知A＝{x|x<－1或x>3}，B＝{x|－2≤x<4}，则A－B＝{x|x<－2或x≥4}12．设集合A＝{x|x＝m＋n，m，n∈N*}，若x1∈A，x2∈A，x1⊕x2∈A，则运算⊕可能是( ) A．加法B．减法C．乘法D．除法三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为________．14．命题“∀1≤x≤2，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．15．设集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)16．(2022·江苏南京月考)某班50名学生中，有围棋爱好者27人，足球爱好者33人，同时爱好这两项的人最多________人，最少________人．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；(2)p：∃x∈R，x2＋2x＋5＞0.18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋2}．(1)若a＝1，求A∪B；(2)在①∁R A⊆∁R B，②A∪B＝A，③A∩B＝B，这三个条件中任选一个作为条件，求实数a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．19．(本小题满分12分)(2022·河北沧州月考)已知集合A＝{x|a<x<3a}，集合B＝{x|2－x≤0}，C＝{x|x－3≤0}．(1)求B∪C，B∩C；(2)设a>0，若“x∈A”是“x∈B∩C”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．20．(本小题满分12分)已知全集U＝{x∈N|1≤x≤6}，集合A＝{x|x2－6x＋8＝0}，集合B ＝{3，4，5，6}．(1)求A∩B，A∪B；(2)写出集合(∁U A)∩B的所有子集．21．(本小题满分12分)已知集合A为非空数集，定义A＋＝{x|x＝a＋b，a，b∈A}，A－＝{x|x ＝|a－b|，a，b∈A}．(1)若集合A＝{－1，1}，直接写出集合A＋及A－；(2)若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1<x2<x3<x4，且A－＝A，求证：x1＋x4＝x2＋x3.22．(本小题满分12分)(2022·湖北武汉市第六中学月考)设a，b，c分别是△ABC的三条边长，且a≤b≤c，请利用边长a，b，c给出△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明之．综合测评卷详解答案章末综合测评(一)1．D2．B3．C4．B5．C6．A7．C8．D9．ACD[∵A＝{0，2}，∴∅⊆A，－2∉A，{0，2}⊆A，A⊆{y|y<3}．故选ACD．] 10．ABD[A中，x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．故选ABD．]11．BD[对于A，由B－A＝{x|x∈B且x∉A}，故B－A＝{3，8}，错误；对于B，由A－B＝{x|x∈A且x∉B}，则A－B＝∅，故A⊆B，正确；对于C，由Venn图知：B－A如图阴影部分，所以B－A＝B∩(∁U A)，错误；对于D，∁R B＝{x|x<－2或x≥4}，则A－B＝A∩(∁R B)＝{x|x<－2或x≥4}，正确．故选BD．]12．AC[由题意可设x1＝m1＋n1，x2＝m2＋n2，其中m1，m2，n1，n2∈N*，则x1＋x2＝(m1＋m2)＋(n1＋n2)，x1＋x2∈A，所以加法满足条件，A正确；x1－x2＝(m1－m2)＋(n1－n2)，当n1＝n2时，x1－x2∉A，所以减法不满足条件，B错误；x1x2＝m1m2＋3n1n2＋(m1n2＋m2n1)，x1x2∈A，所以乘法满足条件，C正确；，当＝λ(λ>0)时，∉A，所以除法不满足条件，D错误．]13．－2 [∵2∈A，∴a＝2或|a|＝2或a－2＝2，∴a＝－2或a＝2或a＝4．又|a|≠a，∴a＝2或4舍去．故a＝－2．]14．{a|a≤1}[命题p：a≤x2在1≤x≤2上恒成立，y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1，∴a≤1．]15．充分不必要[由于A＝{x|0＜x＜1}，所以A B，所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．]16.27 10 [设围棋爱好者组成集合A，足球爱好者为集合B，全体学生为集合U，由Venn 图可知：图①图②当A∪B＝U时，同时爱好这两项的人数最少，如图①，最少为：27＋33－50＝10．当A⊆B时，A∩B＝A，同时爱好这两项的人数最多，如图②，最多为27人．]17．解：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；又由于“任意”的否定为“存在一个”，因此，p的否定：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，即“∃x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”．(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，p的否定：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，即“∀x∈R，x2＋2x＋5≤0”．18．解：(1)当a＝1时，B＝{x|1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤3}．(2)三个条件∁R A⊆∁R B，A∪B＝A，A∩B＝B都表示B⊆A，所以1≤a≤0，所以实数a的取值范围为{a|－1≤a≤0}．19．解：(1)由B＝{x|2－x≤0}得2－x≤0，所以x≥2；由C＝{x|x－3≤0}得x－3≤0，所以x≤3，所以B∪C＝R，B∩C＝{x|2≤x≤3}．(2)因为a>0，所以A＝{x|a<x<3a}，B∩C＝{x|2≤x≤3}，因为“x∈A”是“x∈B∩C”的必要不充分条件，所以B∩C A，所以1<a<2．即实数a的取值范围是{a|1<a<2}．20．解：(1)全集U＝{x∈N|1≤x≤6}＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{x|x2－6x＋8＝0}＝{2，4}，集合B＝{3，4，5，6}．A∩B＝{4}，A∪B＝{2，3，4，5，6}．(2)∵∁U A＝{1，3，5，6}，∴(∁U A)∩B＝{3，5，6}，它的所有子集是∅，{3}，{5}，{6}，{3，5}，{3，6}，{5，6}，{3，5，6}，共8个．21．解：(1)根据题意，由A＝{－1，1}，则A＋＝{－2，0，2}，A－＝{0，2}．(2)证明：由于集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1<x2<x3<x4，且A－＝A，所以A－中也只包含四个元素，即A－＝{0，x2－x1，x3－x1，x4－x1}，剩下的x3－x2＝x4－x3＝x2－x1，所以x1＋x4＝x2＋x3．22．解：a2＋b2>c2．证明如下：充分性：∵a2＋b2>c2，∴△ABC不是直角三角形，假设△ABC是钝角三角形，∵a≤b≤c，∴∠C最大，即∠B<90°，∠C>90°，过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点D(如图1)，图1由勾股定理，得c2＝AD2＋BD2＝AD2＋(CD＋a)2＝AD2＋CD2＋a2＋2·CD·a＝AC2＋a2＋2·CD·a ＝b2＋a2＋2·CD·a>a2＋b2，与已知a2＋b2>c2矛盾，∴△ABC为锐角三角形．必要性：∵△ABC为锐角三角形，∴∠B<90°，∠C<90°，过点A作BC的垂线，垂足为D(如图2)，图2由勾股定理知，c2＝AD2＋BD2＝AD2＋(a－CD)2＝AD2＋CD2＋a2－2·CD·a＝b2＋a2－2·CD·a<a2＋b2．综上，△ABC为锐角三角形的一个充要条件为a2＋b2>c2．。

语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题
简单化、具体化.
研一研·题型解法、解题更高效
跟踪训练 2 已知 p：1－x－3 1≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0 (m>0)，且綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件，求实数 m 的
取值范围.
解 方法一 由 q：x2－2x＋1－m2≤0，
题 q：关于 x 的函数 y＝2x2＋ax＋4 在[3，＋∞)上是增函
数.若“p 或 q”是真命题，“p 且 q”是假命题，求实数 a
本
讲 的取值范围.
栏 目
解 p 真：Δ＝a2－4×4≥0，∴a≤－4 或 a≥4.
开 关
q 真：－a4≤3，∴a≥－12.
由“p 或 q”是真命题，“p 且 q”是假命题得：p、q 两命题
本 讲 栏 目 开 关
画一画·知识网络、结构更完善
本 讲 栏 目 开 关
研一研·题型解法、解题更高效
题型一 等价转化思想
问题 当一个命题的真假不易判断或证明较困难时，怎么
本 讲
办？并说明理由.
栏 目
答案 可以转化为它的逆否命题来判断或证明.互为逆否的
开 两个命题同真假.
关
研一研·题型解法、解题更高效
讲 解 (1)该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形，则
栏
目 它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真.
开
关 (2)该命题的逆否命题：“若 x∈A 或 x∈B，则 x∈A∩B”，
它为假命题，故原命题为假.
(3)该命题的逆否命题：“若|x|＝|y|，则 x＝y 且 x＝－y”，
它为假命题，故原命题为假.
目 开
∴p：P＝{x|－2≤x≤10}.

(一) 常用逻辑用语(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“经过两条相交直线有且只有一个平面”是( )A．全称命题B．存在性命题C．p∨q形式D．p∧q形式【解析】此命题暗含了“任意”两字，即经过任意两条相交直线有且只有一个平面．【答案】 A2．设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．因此“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选C.【答案】 C3．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是( )A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝xC．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x【解析】全称命题的否定，需要把全称量词改为特称量词，并否定结论．【答案】 D4．全称命题“∀x∈Z,2x＋1是整数”的逆命题是( )【导学号：25650037】A．若2x＋1是整数，则x∈ZB．若2x＋1是奇数，则x∈ZC．若2x＋1是偶数，则x∈ZD．若2x＋1能被3整除，则x∈Z【解析】易知逆命题为：若2x＋1是整数，则x∈Z.【答案】 A5．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧綈qB ．綈p ∧qC ．綈p ∧綈qD ．p ∧q【解析】 命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以命题綈q 为真命题，所以p ∧綈q 为真命题，故选A.【答案】 A6．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是( )A ．全等三角形的面积不一定都相等B ．不全等三角形的面积不一定都相等C ．存在两个不全等三角形的面积相等D ．存在两个全等三角形的面积不相等【解析】 命题是省略量词的全称命题．易知选D. 【答案】 D 7．原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【解析】 从原命题的真假入手，由于a n ＋a n ＋12＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.【答案】 A8．给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 q ⇒綈p 等价于p ⇒綈q ，綈pD q 等价于綈qD p .故p 是綈q 的充分而不必要条件．【答案】 A9．一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ＜－1D ．a ＞1【解析】 一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根⇔3a＜0，解得a＜0，故a ＜－1是它的一个充分不必要条件．【答案】 C10．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞5【解析】 ∵P (2,3)∈A ∩(∁U B )，∴满足⎩⎪⎨⎪⎧2×2－3＋m ＞0，2＋3－n ＞0，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－1，n ＜5.【答案】 A11．下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0” B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要条件是“a ＞c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0” D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β【解析】 由于“若b 2－4ac ≤0，则ax 2＋bx ＋c ≥0”是假命题，所以“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件不是“b 2－4ac ≤0”，A 错；∵ab 2＞cb 2，且b 2＞0，∴a ＞c .而a ＞c 时，若b 2＝0，则ab 2＞cb 2不成立，由此知“ab 2＞cb 2”是“a ＞c ”的充分不必要条件，B 错；“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2＜0”，C 错；由l ⊥α，l ⊥β，可得α∥β，理由是：垂直于同一条直线的两个平面平行，D 正确．【答案】 D12．下列命题中真命题的个数为( )①命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题；②设α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则“α<β ”是“tan α<tan β ”的充要条件；③命题“自然数是整数”是真命题；④命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0.” 【导学号：25650038】A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ①命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，所以其逆否命题为真命题；②因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 时，正切函数y ＝tan x 是增函数，所以当α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，α<β⇔tan α<tan β，所以“α<β”是“tan α<tan β”的充要条件，即②是真命题；③命题“自然数是整数”是全称命题，省略了“所有的”，故③是真命题；④命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≥0”，故④是假命题．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．设p ：x ＞2或x ＜23；q ：x ＞2或x ＜－1，则綈p 是綈q 的________条件．【解析】 綈p ：23≤x ≤2.綈q ：－1≤x ≤2.綈p ⇒綈q ，但綈qD 綈p .∴綈p 是綈q 的充分不必要条件． 【答案】 充分不必要14．若命题“对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 若对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0，则Δ＝a 2＋16a <0，即－16<a <0；若对于任意实数x ，都有x 2－2ax ＋1>0，则Δ＝4a 2－4<0，即－1<a <1，故命题“对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是真命题时，有a ∈(－1,0)．而命题“对于任意实数 x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是假命题，故a ∈(－∞，－1]∪[0，＋∞)．【答案】 (－∞，－1]∪[0，＋∞) 15．给出下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根”的逆否命题； ④若sin α＋cos α>1，则α必定是锐角．其中是真命题的有________．(请把所有真命题的序号都填上)．【解析】 ②可利用逆命题与否命题同真假来判断，易知“相似三角形的周长相等”的逆命题为假，故其否命题为假．④中α应为第一象限角．【答案】 ①③16．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(3－x )＞0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．【解析】 p ：a －4＜x ＜a ＋4，q ：2＜x ＜3，∵綈p 是綈q 的充分条件(即綈p ⇒綈q )，∴q ⇒p ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，∴－1≤a ≤6. 【答案】 [－1,6]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)指出下列命题的构成形式，并写出构成它的命题：(1)36是6与18的倍数；(2)方程x2＋3x－4＝0的根是x＝±1；(3)不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4或x<－3}．【解】(1)这个命题是p∧q的形式，其中p：36是6的倍数；q：36是18的倍数．(2)这个命题是p∨q的形式，其中p：方程x2＋3x－4＝0的根是x＝1；q：方程x2＋3x －4＝0的根是x＝－1.(3)这个命题是p∨q的形式，其中p：不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4}；q：不等式x2－x－12>0的解集是{x|x<－3}．18．(本小题满分12分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)全等三角形一定相似；(2)末位数字是零的自然数能被5整除．【解】(1)逆命题：若两个三角形相似，则它们一定全等，为假命题；否命题：若两个三角形不全等，则它们一定不相似，为假命题；逆否命题：若两个三角形不相似，则它们一定不全等，为真命题．(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则它的末位数字是零，为假命题；否命题：若一个自然数的末位数字不是零，则它不能被5整除，为假命题；逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则它的末位数字不是零，为真命题．19．(本小题满分12分)写出下列命题的否定并判断真假：(1)所有自然数的平方是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)∀x∈R，x2－3x＋3>0；(4)有些质数不是奇数. 【导学号：25650039】【解】(1)所有自然数的平方是正数，假命题；否定：有些自然数的平方不是正数，真命题．(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根，假命题；否定：∃x0∈R,5x0－12≠0，真命题．(3)∀x∈R，x2－3x＋3>0，真命题；否定：∃x0∈R，x20－3x0＋3≤0，假命题．(4)有些质数不是奇数，真命题；否定：所有的质数都是奇数，假命题．20．(本小题满分12分)设p：“∃x0∈R，x20－ax0＋1＝0”，q：“函数y＝x2－2ax＋a2＋1在x∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)”，若“p∨q”是假命题，求实数a的取值范围．【解】由x20－ax0＋1＝0有实根，得Δ＝a 2－4≥0⇒a ≥2或a ≤－2.因为命题p 为真命题的范围是a ≥2或a ≤－2.由函数y ＝x 2－2ax ＋a 2＋1在x ∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)，得a ≥0. 因此命题q 为真命题的范围是a ≥0.根据p ∨q 为假命题知：p ，q 均是假命题，p 为假命题对应的范围是－2<a <2，q 为假命题对应的范围是a <0.这样得到二者均为假命题的范围就是⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a <0⇒－2<a <0.21．(本小题满分12分)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0；命题q ：实数x 满足x 2－5x ＋6≤0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0， 得(x －3a )·(x －a )<0， 又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时， 实数x 的取值范围是1<x <3， 由x 2－5x ＋6≤0得2≤x ≤3，所以q 为真时，实数x 的取值范围是2≤x ≤3.若p ∧q 为真，则2≤x <3，所以实数x 的取值范围是[2,3)． (2)设A ＝{x |a <x <3a }，B ＝{x |2≤x ≤3}，由题意可知q 是p 的充分不必要条件，则B A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <2，3a >3⇒1<a <2，所以实数a 的取值范围是(1,2)．22．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ，对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1恒成立，试求实数a 的取值范围．【解】 由f (x )＝ax 2＋x 是二次函数，知a ≠0.|f (x )|≤1⇔－1≤f (x )≤1⇔－1≤ax 2＋x ≤1，x ∈[0,1]，① 当x ＝0，a ≠0时，①式显然成立；当x ∈(0,1]时，①式化为－1x 2－1x ≤a ≤1x 2－1x，当x ∈(0,1]时恒成立．设t ＝1x，则t ∈[1，＋∞)，所以－t 2－t ≤a ≤t 2－t .令f (t )＝－t 2－t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14，t ∈[1，＋∞)，所以f (t )max ＝－2.令g (t )＝t 2－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14，t ∈[1，＋∞)，所以g (t )min ＝0.所以只需－2≤a ≤0. 综上所述，实数a 的取值范围是[－2,0)．。

高中数学第一章常用逻辑用语章末综合测评含解析北师大版选修11章末综合测评（时间120 分钟，满分150 分）一、选择题（本大题共12小题，每小题 5 分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列语句中，是命题的个数是（）①|X + 2| ;②—5€ Z;③n ?R;④{0} € NA．1 B ．2 C．3 D．4【解析】由命题的概念，知①不是命题，②③④是命题.【答案】C2. 若命题p：任意X € R,2x2+ 1>0,则「p是（）2A. 任意x€ R,2x + 1W0B. 存在x € R,2x2+ 1>02C. 存在x€ R,2x + 1<02D. 存在x€ R,2x + K0【解析】—> p是特称命题，即存在x € R,2x2+ 1W 0.【答案】D3. 命题"已知a, b都是实数，若a+ b>0，则a, b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】逆命题"已知a, b都是实数，若a, b不全为0,则a+ b>0”为假命题，其否命题与逆命题等价,所以否命题为假命题.逆否命题“已知a, b 都是实数,若a, b 全为0,贝U a+ b< 0”为真命题，故选C.【答案】C4. 已知a, b, c € R,命题“若a+ b+ c = 3,贝U a2+ b2+ c2>3”的否命题是（）A. 若a+ b+ C M3,贝U a2+ b2+ c2<3B. 若a+ b+ c= 3,贝V a + b + C <32 2 2C. 若a+ b+ C M3,贝U a + b + C >3D. 若a + b + C >3,贝U a+ b+ C= 3【解析】a+ b+ c= 3 的否定是a+ b+ c m 3, a + b + c >3的否定是a + b + c <3.【答案】A5. （2015 •陕西高考）“ Sin a = cos a” 是“ cos 2 a = 0 ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】cos 2 a = 0 等价于cos a —Sin a = 0，即cos a=± Sin a .由cos a =sin a可得到cos 2 a = 0，反之不成立，故选A.【答案】A6. 对任意x € R,kx2—kx — 1 v 0是真命题，则k的取值范围是（）A.—4W k <0B.—4W k v 0C.—4v k<0D.—4v k v 0【解析】由题意kx2—kx—1 v 0对任意x € R恒成立，①当k = 0时，—1v 0恒成立；k v 0,②当k^0时，有2解得一4v k v 0.A= k2+ 4k v 0,由①②知，一4v k< 0.【答案】C7. 关于命题p：存在x€ R,使sin x二三5；命题q：任意x € R,都有x2+ x+1>0.下列结论中正确的是（）A. 命题“ p且q”是真命题B. 命题"p且（「q）”是真命题C. 命题“（「p）或q”是真命题D. 命题“（「p）或（「q）”是假命题【解析】V-25>1,A p命题为假命题；又在x2+ x + 1>0中，A <0.••• x2+ x+ 1>0恒成立.••• q为真命题.•••（「p）或q为真命题.【答案】C&直线x —y+ m= 0与圆x2+ y2—2x— 1 = 0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）A.—3<m<1B.—4<m<2C. 0<m<1D. m<1【解析】直线与圆有两个不同交点？卩玄巾<、/2，即—3<m<1,故0<m<1是—3<m<1的充分不必要条件.【答案】 C 9.下列说法错误的是（ ）A.如果命题“「p ”与命题“ p 或q”都是真命题，那么命题q 一定是真命题B. 命题“若a = 0,贝U ab = 0”的否命题是：“若0,贝U ab ^0”C. 若命题 p :存在 x°€ R , x 2+ 2xo — 3<0,则「p :对任意的 x € R , x 2+ 2x — 3>01D. “ sin e = 2”是“ e = 30°”的充分不必要条件充分条件.【答案】 D则下列判断正确的是（）•••命题p 假，「p 真;••• q 真，「q 假.【答案】 D11. 以下判断正确的是（【解析】：负数的相反数是正数”即为任意一个负数的相反数是正数, • A 不正确；33又•• •对全称命题“任意 x € N, x >x ”的否定为“存在 x € N, x < x ”，「・B 不正确;【解对于D 选项，由 sin1e = p 得 e = 30° +k • 360° 或 e = 150° +k • 360°( k € Z);若 e = 30°，贝U sin 1 1e = g.所以“ e = 30°”的必要不10.已知命题p : 2 1任意x € R ,使x — x +匚<0; 4命题q :存在x € R,使 sin x + cos x =2,A. p 是真命题B. q 是假命题 D.【解析】 •••任意x € R, >0恒成立,又 sin x + cos x = 2sin n rx + -4，当 sin=1 时，sin x + cos x = 2,A. 命题“负数的相反数是正数”不是全称命题B. x € N, x 3>x” C. D. 命题“任意x € N, x 3>x ”的否定是“存在2 2“ a = 1”是“函数f （x ） = cos ax —sin ax 的最小正周期为 “ b = 0”是“函数f （x ） = ax 2 + bx + c 是偶函数”的充要条n”的必要不充分条件是全称命题,2 2又T f (x) = cos ax—sin ax= cos 2 ax,当最小正周期Ti时，有备=n,a| = 1? a= 1.故"a= 1”是"函数f(x) = cos2 ax- sin 2 ax的最小正周期为n”的充分不必要条件.【答案】D12.f(x)是R 上的增函数，且f( —1) =-4, f(2) = 2,设—{x|f(x+1) + 1 V 3} , Q ={x|f (x) V- 4}，若“ x€ P'是“ x€ Q”的充分不必要条件，贝U实数t的取值范围是()A. t <- 1 B . t >- 1 C . t >3 D . t >3【解析】P= {x|f(x+1) + 1 V 3} = {x|f (x +1) V 2} = {x|f (x +1) V f (2)} . Q= {x| f (x) V- 4} = {x| f(x) V f( - 1)}，因为函数f(x)是R上的增函数，所以P= {x|x+1 V2} = {x|x V 2 -1}, Q= {x|x V- 1}，要使“ x€ P”是“ x € Q的充分不必要条件，则有2-1 V- 1, 即t > 3，选D.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5 分,共20分，请把正确答案填在题中的横线上)13. ________________________________________________________________ 命题“若abc= 0,则a、b、c中至少有一个为零”的否定为： _______________________________ ，否命题为：________ .【解析】否定形式：若abc= 0，则a、b、c全不为零.否命题：若abc M0,贝U a、b、c全不为零.【答案】若abc= 0,贝U a、b、c全不为零若abc M0,贝y a、b、c 全不为零14. ______________________ 设p、r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的__________________ 条件，r是t的条件.【解析】由条件可以作出图示如图，.p是t的充分不必要条件，r是t的充分必要条件.【答案】充分不必要充要2 115. 已知命题p：x + 2x-3> 0,命题q：> 1,若“「q且p”为真，贝U x的取值3 —x范围是___________ .x—2 【解析】因为“「q且p”为真，即q假p真，而q为真命题时，匸^V0,即2V xx —3V 3，所以q假时，有x>3或x< 2; p为真命题时，由x2+ 2x- 3> 0,解得x> 1或x v- 3,x > 1 或x V- 3, 由得x>3 或1V X W2 或x v - 3,x > 3 或x< 2,所以x的取值范围是x>3或1 v X W2或x V- 3.【答案】(—a,—3) U (1,2] U [3 ,+^)16. 给出下列命题：①“数列｛a n｝为等比数列”是“数列｛a n a n+1｝为等比数列”的充分不必要条件；②“ a= 2”是“函数f(x) = |x —a|在区间［2 ,+^)上为增函数”的充要条件；③“ m= 3”是“直线(n+ 3)x + my— 2 = 0与直线mx- 6y + 5 = 0互相垂直”的充要条件；④设a, b, c分别是△ABC三个内角A, B, C所对的边，若a= 1, b= .3,则“ A= 30°”是“ B= 60 °”的必要不充分条件.其中真命题的序号是_____________ .【解析】对于①，当数列｛a n｝为等比数列时，易知数列｛a n a n+1｝是等比数列，但当数列｛a n a n+1｝为等比数列时，数列｛a n｝未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8 显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96 是等比数列，因此①正确；对于②，当a W2时，函数f(x) = |x—a|在区间［2 ,+s)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m= 3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m= 3，也可能m= 0,因此③不b sin B 1正确；对于④，由题意得，= =”」3,若B= 60°,贝U sin A=^,注意到b>a,故Aa sin A ，2=30°，反之，当A= 30°时，有sin ，由于b>a,所以B= 60°或B= 120°，因此④正确.综上所述，真命题的序号是①④.【答案】①④三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. (本小题满分10分)下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.2(1) 若x —5x —14 = 0，贝y x = 7 或x= —2 ；(2) a, b, c, d€ R,若a= c, b= d,贝U ab= cd.【解】⑴逆命题：若x= 7或x=—2,则x2—5x—14= 0.是真命题.否命题：若x2—5x—14工0,贝U x工7且x工―2.是真命题.逆否命题：若x^7且x M—2,贝U x2—5x —14工0.是真命题.(2) 逆命题：a, b, c, d€ R,若ab= cd,则a= c, b= d,是假命题；否命题：a, b, c, d€ R,若a M c或b M d,则ab M cd,是假命题；逆否命题：a, b, c, d€ R,若ab M cd,则a M c或b M d,是真命题.18. (本小题满分12分)写出下列命题的“「p”命题，并判断它们的真假.2(1) P：任意x, x + 4x + 4>0.(2) p:存在x o, X0—4= 0.【解】(1) 「p：存在X0, x2+ 4x0 + 4<0是假命题.(2) —1 p:任意x, x—4M0是假命题.19. (本小题满分12分)求证：“ a+ 2b= 0”是“直线ax+ 2y + 3= 0和直线x + by+ 2=0互相垂直”的充要条件.【证明】充分性：当b= 0时，如果a+ 2b= 0,那么a= 0,此时直线ax+ 2y+ 3= 0平行于x轴，直线xa+ by + 2=0平行于y轴，它们互相垂直；当b^0时，直线ax+ 2y+ 3= 0的斜率k i= —空,1 a 1直线x+ by+ 2= 0的斜率k2=—孑，如果a+ 2b= 0,那么k i k2= —x—b =—1,两直线互相垂直.必要性：a 1如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么kk= —2 x —b =—1,所以a+ 2b= 0；若两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b= 0,且a= 0.所以，a+ 2b= 0.综上所述，"a+ 2b= 0”是"直线ax+ 2y + 3= 0和直线x + by+ 2 = 0互相垂直”的充要条件.20. (本小题满分12分)设p：关于x的不等式a x>1(a>0且1)的解集为{x|x<0}, q：函数y= lg( ax2—x + a)的定义域为R如果p和q有且仅有一个真命题，求a的取值范围.【解】当p真时，0<a<1,a>0, 1当q真时，即a>2,1 —4a <0, 21所以p假时，a>1, q假时，a<》又p和q有且仅有一个真命题.1当p真q假时，0<a w 2当p假q真时，a>1.1综上所述得，a€ 0,U (1 ,+^).x —1 2 221. (本小题满分12 分)已知p：—2< 1 —厂<2, q：x —2x+ 1 —m i<0( m>0)，右「p 是「q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.2 2【解】由x —2x+ 1 —m< 0( m>0),得 1 —me x w 1 + m•••「q：A= {x| x<1 —m或x>1 + m, m>0}., x —1由—2w 1 —~3~ w 2,得—2w x w 10.p：B= {x| x<—2 或x>10}.•••「p是「q的必要不充分条件,且m>0,= A B.m>0, m>0,1 —m<- 2, 或1 - me - 2,1 + 10 1 + m>10,解得9,•••m的取值范围是[9 ,+s).x2 122. (本小题满分12分)已知函数f(x) = x , g(x) = - - m(1) x € [ - 1,3]，求f(x)的值域.(2) 若对任意x€ [0,2] , g(x)成立，求实数m的取值范围.(3) 若对任意X1€ [0,2]，存在X2€ [ - 1,3]，使得g(xj e f(X2)成立，求实数m的取值范围.【解】(1)当x € [ - 1,3]时，函数f(x) = X2€ [0,9]，所以f (x)的值域为[0,9].(2)对任意x € [0,2] , g(x)》1成立，等价于g(x)在[0,2]上的最小值大于或等于 1.而g(x)在[0,2]上单调递减，所以12- 1,即m e-|.(3) 对任意X1€ [0,2],存在X2€ [ - 1,3],使得g(x" e f(X2)成立,等价于g(x)在[0,2]上的最大值小于或等于 f (x)在[—1,3]上的最大值9,由1-m e9,所以m>- 8.。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第一章 常用逻辑用语综合检测 北师大版选修1-1(时间120分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知命题p ：所有的有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是( )A ．(綈p )或qB ．p 且qC ．(綈p )且(綈q )D ．(綈p )或(綈q )【解析】 不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而只有(綈p )或(綈q )为真命题．故选D.【答案】 D2. (2012·杭州高二检测)下列说法错误的是( )A ．如果命题“綈p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：“若a ≠0，则ab ≠0”C ．若命题p ：存在x 0∈R ，x 20＋2x 0－3<0，则綈p ：对任意的x ∈R ，x 2＋2x －3≥0D ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件 【解析】 对于D 选项，由sin θ＝12，得θ＝30°＋k ·360°或θ＝150°＋k ·360°(k ∈Z )；若θ＝30°，则sin θ＝12.所以“sin θ＝12”是“θ＝30°”的必要不充分条件． 【答案】 D3. (2013·福建高考)设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当x ＝2且y ＝－1时，满足方程x ＋y －1＝0, 即点P (2，－1)在直线l 上．点P ′(0，1)在直线l 上，但不满足x ＝2且y ＝－1，∴“x ＝2且y ＝－1”是“点P (x ，y )在直线l 上”的充分而不必要条件．【答案】 A4. 命题“若函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数，则log a 2<0”的逆否命题是( )A ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内不是减函数B ．若log a 2<0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内不是减函数C ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数D ．若log a 2<0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数【解析】 根据逆否命题与原命题的关系即可选出A 项正确．【答案】 A5. 以下四个命题中，是假命题的为( )A ．“直线a ，b 是异面直线”的必要不充分条件是“直线a ，b 不相交”B ．“直线a ∥直线b ”的充要条件是“直线a ，b 与同一平面α所成的角相等”C ．“直线a ⊥直线b ”的充分不必要条件是“a 垂直于b 所在的平面”D ．“直线a ∥平面α”的必要不充分条件是“直线a 平行于平面α内的一条直线”【解析】 如正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等，但任意两条侧棱都不平行．【答案】 B6. 使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( )A ．x <0B ．x ≥0C ．x ∈{－1，3，5}D ．x ≤－12或x ≥3 【解析】 ∵2x 2－5x －3≥0，∴(x －3)(2x ＋1)≥0.∴x ≤－12或x ≥3. 而{－1，3，5}{x |x ≤－12，或x ≥3}． 【答案】 C7. 若命题“若p ，则q ”为真，则( )A ．qp B ．綈p 綈q C ．綈q 綈p D ．綈q p【解析】 由原命题和它的逆否命题为等价命题知选C.【答案】 C8. 由下列各组命题构成“p 或q ”“p 且q ”“綈p ”形式的命题中，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“綈p ”为真的是( )A ．p ：3是偶数；q ：4是奇数B ．p ：3＋2＝6；q ：5>3C ．p ：a ∈{a ，b }；q ：{a }{a ，b }D ．p ：Q R ；q ：N ＝Z【解析】 由题意可知p 为假q 为真，故只有选项B 满足题意．【答案】 B9. 给出下列命题，其中真命题为( )A ．对任意x ∈R ，x 是无理数B ．对任意x ，y ∈R ，若xy ≠0，则x ，y 至少有一个不为0C ．存在实数既能被3整除又能被19整除D ．x >1是1x<1的充要条件 【解析】 选项A 为假命题，例如4是有理数；选项B 是假命题，若xy ≠0，则x ，y全都不为0；选项C 是真命题；选项D 中，x >1是1x<1的充分不必要条件． 【答案】 C10. 对任意x ∈R ，kx 2－kx －1<0是真命题，则k 的取值范围是( )A ．－4≤k ≤0B ．－4≤k ＜0C ．－4<k ≤0D ．－4<k <0 【解析】 k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2＋4k <0，解得－4＜k ≤0. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11. 命题p ：内接于圆的四边形对角互补，则p 的否命题是________，非p 是________．【解析】 否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论．【答案】 若四边形不内接于圆，则其对角不互补 内接于圆的四边形对角不互补12. 已知p ：x 2－x ≥6，q ：|x －2|≤3，且“p 且q ”与“綈q ”同时为假命题，则实数x 的取值范围为________．【解析】 若p 真，则x ≥3或x ≤－2；若q 真，则－1≤x ≤5.∵“p 且q ”与“綈q ”同为假命题，∴q 为真命题，p 为假命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <3，－1≤x ≤5，即－1≤x <3. 【答案】 [－1，3)13. 已知命题：“存在x ∈[1，2]，使x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则a 的取值范围是________．【解析】 由x 2＋2x ＋a ≥0得a ≥－x 2－2x ，由题意知a ≥(－x 2－2x )min ，又－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1，x ∈[1，2]，∴(－x2－2x)min＝－8.∴a≥－8.【答案】[－8，＋∞)14. 如果p：a＋b≠5，q：a≠2或b≠3，则p是q的______条件．【解析】命题“如果a＋b≠5，那么a≠2或b≠3”的逆否命题为“如果a＝2且b＝3，那么a＋b＝5”，显然是真命题，∴p q，即有：p是q的充分条件．同理：p不是q的必要条件，∴p是q的充分条件，但不是必要条件．【答案】充分不必要三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15. (12分)写出下列命题的否定形式“綈p”，并判断它们的真假．(1)p：对任意的x，x2＋4x＋4≥0；(2)p：存在x，x2－4＝0.【解】(1)綈p：存在x，x2＋4x＋4<0.因为x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0恒成立，所以“綈p”为假命题．(2)綈p：对任意的x，x2－4≠0，因当x＝2时，22－4＝0，所以“綈p”为假命题．16. (12分)分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的命题，并判断它们的真假．(1)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相平分．(2)p：方程x2－16＝0的两根的符号不同；q：方程x2－16＝0的两根的绝对值相等．【解】(1)p或q：平行四边形的对角线相等或互相平分；p且q：平行四边形的对角线相等且互相平分；綈p：平行四边形的对角线不相等．由于p假q真，所以p或q真，p且q假，綈p真．(2)p或q：方程x2－16＝0的两根符号不同或绝对值相等；p且q：方程x2－16＝0的两根符号不同且绝对值相等；綈p：方程x2－16＝0的两根符号相同．由于p 真q 真，所以p 或q 为真，p 且q 为真，綈p 为假．17. (12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝aq n＋b (a ，b ，q 都是常数，且a ≠0，q ≠0，q ≠1)．求证：数列{a n }是等比数列的充要条件是a ＋b ＝0.【证明】 (1)充分性：由已知，得S n ＝aq n ＋b .∵a ＋b ＝0，∴b ＝－a ，∴S n ＝aq n －a . 当n ＝1时，a 1＝S 1＝aq 1－a ＝a (q －1)．当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝aq n －a －(aqn －1－a )＝aq n －aq n －1＝a (q －1)q n －1. 显然a 1＝a (q －1)满足上式，故n ∈N *时，a n ＝a (q －1)q n －1. 所以{a n }是以a 1＝a (q －1)为首项，以q 为公比的等比数列．(2)必要性：因为数列{a n }是等比数列，设首项为a 1，公比为q (q ≠1)．所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 11－q －a 11－qq n ，对比式子S n ＝aq n ＋b 可知， a ＝－a 11－q ，b ＝a 11－q ，∴a ＋b ＝0. 综合(1)(2)知，{a n }是等比数列的充要条件是a ＋b ＝0.18. (14分)已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}．若条件p 是条件q 的充分条件，求实数a 的取值范围．【解】 A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}．①当3a ＋1≥2，即a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}； ②当3a ＋1<2，即a <13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}． ∵p 是q 的充分条件，∴AB ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥13，a 2＋1≤3a ＋1，2a ≥2， 或⎩⎪⎨⎪⎧a <13，a 2＋1≤2，2a ≥3a ＋1， 解得1≤a ≤3，或a ＝－1.故a 的取值范围为{a |1≤a ≤3，或a ＝－1}．。