整式的运算和多项式的因式分解

考点02 整式与因式分解

中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大。因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向。

考向一、整式的加减；

考向二、幂的运算

考向三、整式的乘除

考向四、因式分解

考向一：整式的加减

1.整式的概念及注意事项：

名称 识别 次数 系数与项

整

式 单项式 ①数与字母或字母与字母相乘组成的代数式；②单独的一个数或一个字母 所有字母的指数的和 系数：单项式中的数字因数

多项式 几个单项式的和 次数最高项的次数 项：多项式中的每个单项式

【易错警示】

➢ 由定义可知，单项式中只含有乘法运算；分数是一个完整的数，不拆开来算；

➢ 单独的一个数或字母也叫单项式；单独的字母的系数为1，次数也是1

➢ 由定义可知，多项式中可以含有 乘法——加法——减法 运算；

➢ 多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数；

1．（2022秋•泉州期中）单项式﹣2πr3的系数和次数分别是（ ）

A．﹣2，4 B．﹣2，3 C．﹣2π，3 D．2π，3

2．（2022秋•包河区期中）已知单项式2x3ym与单项式﹣9xny2是同类项，则m﹣n的值为（ ） A．﹣1 B．7 C．1 D．11

3．（2022秋•陇县期中）下列说法中，错误的是（ ）

A．数字1也是单项式

B．单项式﹣5x3y的系数是﹣5

C．多项式﹣x3+2x﹣1的常数项是1

D．3x2y2xy+2y3是四次三项式

4．（2022秋•高邮市期中）已知代数式3a﹣b2的值为3，则8﹣6a+2b2的值为 ．

1 整式乘除与因式分解

一．知识点 （重点）

1．幂的运算性质：

am·an＝am＋n （m、n为正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

2．nma＝ amn （m、n为正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘．

3．nnnbaab （n为正整数）

积的乘方等于各因式乘方的积．

练习：

（1）yxx2325 （2）)4(32bab （3）aab23

（4）222zyyz （5）)4()2(232xyyx （6）22253)(631accbaba

4．nmaa＝ am－n （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）

同底数幂相除，底数不变，指数相减．

例：（1）x8÷x2 （2）a4÷a （3）（ab）5÷（ab）2

（4）（-a）7÷（-a）5 （5） (-b) 5÷(-b)2

5．零指数幂的概念：

a0＝1 （a≠0）

任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．

例：若1)32(0ba成立，则ba,满足什么条件？

6．负指数幂的概念：

a－p＝pa1 （a≠0，p是正整数）

任何一个不等于零的数的－p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数．

也可表示为：ppnmmn（m≠0，n≠0，p为正整数）

2 7．单项式的乘法法则：

单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

例：（1）223123abcabcba （2）4233)2()21(nmnm

8．单项式与多项式的乘法法则：

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．

例：（1）)35(222baabab （2）ababab21)232(2

整式的乘法及因式分解单元总结及归纳

1.代数式：用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或字母是代数式。

2.整式的分类：

和叫做多项式多项式：几个单项式的式的积的代数式叫做单项单项式：只是数与字母整式

1）单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

2）多项式的次数：多项式中次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。

3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项。

4）合并同类项：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数都不变。

3.幂的运算法则：),0(nmnma为正整数，且、

指数）负指数幂，倒底数，反负指数幂：零指数幂：乘方）（等于分子、分母分别为正整数，（商的乘方：分别乘方）等于积里的每一个因式为正整数）（积的乘方：底数不变，指数相乘）为正整数）、幂的乘方：底数不变，指数相减），为正整数且、（同底数的幂相除：底数不变，指数相加）为正整数）、同底数的幂相乘：)(0(1)0(1)0)(()((()()(0((0aaaaaanababnbaabnmaaanmnmaaanmaaannnnnnnnmnnmnmnmnmnm

4.整式的运算：

1）整式的加减运算：合并同类项。

2）整式乘法法则：

abxbaxbxaxbababababababnbmanamnmbamcmbmacbam)())((12)())(())(()3()(21222222的一次二项式相乘：两个一次项系数为；完全平方公式：方法二：平方差公式：即：积相加。的每一项，再把所得的二项去乘第二个多项式再用第一个多项式的第项式的每一项，的第一项去乘第二个多法一：用第一个多项式多项式乘以多项式：方即：相加每一项，再把所得的积用单项式去乘多项式的）单项式乘以多项式：（作为积的一个因式的字母则连同它的指数只在一个单项式中含有别相乘，作为积的因式把系数、同底数的幂分）单项式乘以单项式：（3）整式除法法则：

单项式与多项式相乘练习

几点注意：

1.单项式乘多项式的结果仍是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。

2.单项式分别与多项式的每一项相乘时,要注意积的各项符号的确定：同号相乘得正，异号相乘得负.

3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序。

计算：

13a2·（6ab）；

(2x)3·（－3xy2）

(-4x)·(2x2+3x-1)

ababab212322

3432xx

ababab313432

a (2a－3)

a2 (1－3a)

3x(x2－2x－1)

－2x2y(3x2－2x－3)

(2x2－3xy+4y2)(－2xy)

－4x(2x2＋3x－1)

(－2a)·(2a2－3a＋1)

(23ab2－2ab)· 12ab

(3x2y－xy2)·3xy

2x(x2－12x+1)

(－3x2)·(4x2－49x＋1)

(－2ab2)2·(3a2b－2ab－4b3)

5a(a2－3a+1)－a2(1－a)

2m2－n(5m－n)－m(2m－5n)

阅读与思考：已知x2y=3，求2xy（x5y2－3x3y－4x）的值．

分析：考虑到x、y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y=3整体代入．

解：2xy(x5y2－3x3y－4x)=2x6y3－6x4y2－8x2y

=2(x2y)3－6(x2y)2－8x2y

=2×33－6×32－8×3=－24