整式运算和因式分解的联系

考点02 整式与因式分解

中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大。因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向。

考向一、整式的加减；

考向二、幂的运算

考向三、整式的乘除

考向四、因式分解

考向一：整式的加减

1.整式的概念及注意事项：

名称 识别 次数 系数与项

整

式 单项式 ①数与字母或字母与字母相乘组成的代数式；②单独的一个数或一个字母 所有字母的指数的和 系数：单项式中的数字因数

多项式 几个单项式的和 次数最高项的次数 项：多项式中的每个单项式

【易错警示】

➢ 由定义可知，单项式中只含有乘法运算；分数是一个完整的数，不拆开来算；

➢ 单独的一个数或字母也叫单项式；单独的字母的系数为1，次数也是1

➢ 由定义可知，多项式中可以含有 乘法——加法——减法 运算；

➢ 多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数；

1．（2022秋•泉州期中）单项式﹣2πr3的系数和次数分别是（ ）

A．﹣2，4 B．﹣2，3 C．﹣2π，3 D．2π，3

2．（2022秋•包河区期中）已知单项式2x3ym与单项式﹣9xny2是同类项，则m﹣n的值为（ ） A．﹣1 B．7 C．1 D．11

3．（2022秋•陇县期中）下列说法中，错误的是（ ）

A．数字1也是单项式

B．单项式﹣5x3y的系数是﹣5

C．多项式﹣x3+2x﹣1的常数项是1

D．3x2y2xy+2y3是四次三项式

4．（2022秋•高邮市期中）已知代数式3a﹣b2的值为3，则8﹣6a+2b2的值为 ．

整式及因式分解-概述说明以及解释

1.引言

概述部分内容可以包括整式及因式分解的基本概念和意义，以及本文将要介绍的内容和目的。

【1.1 概述】

整式及因式分解是代数学中重要的概念和方法。整式是由常数和变量以及它们的乘积与幂次相加相减而成的代数表达式，它在代数运算中扮演着重要的角色。因式分解则是将一个整式分解为若干个较简单的整式乘积的过程，它不仅有助于我们理解整式的结构，还能帮助我们解决复杂的问题。

整式与因式分解在数学的各个领域都有广泛的应用。在代数学中，整式是多项式的基本组成单位，而多项式又是方程求解和函数分析的基础。因此，掌握整式及其性质对于深入学习代数学是至关重要的。

因式分解是一种重要的代数操作，它能够将一个复杂的整式转化为简单的因子形式。这种分解不仅有助于我们对整式的理解，还能够简化计算和求解过程。此外，因式分解还在数论、概率论、微积分等领域有着广泛的应用，例如在因式分解多项式方程、求解方程组、计算极限值等问题中。

本文将分为引言、正文、因式分解和结论四个部分来介绍整式及因式分解。在引言部分，我们将对整式及因式分解的概念和意义进行阐述。接着，在正文部分，我们将详细介绍整式的定义和性质，以及整式的运算规则、化简和展开方法。然后，我们将专门介绍因式分解的概念、方法和步骤，并探讨因式分解在实际问题中的应用。最后，在结论部分，我们将总结整式与因式分解的重要性和应用，并展望它们未来的发展。

通过阅读本文，读者将能够全面了解整式及因式分解的基本概念和运算规则，掌握整式的化简和展开方法，以及掌握因式分解的方法和应用。同时，读者也将意识到整式及因式分解在数学中的重要性，并能够将它们应用于解决实际问题中。

1.2文章结构

文章结构部分的内容可以描述整个文章的组成部分，以及每个部分的主题和目标。具体内容可以参考以下示例：

文章结构：

本文将分为四个主要部分：引言、正文、因式分解和结论。下面对每个部分的主题和目标进行介绍。

1 因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再补充两个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

例.已知abc，，是ABC的三边，且222abcabbcca，

则ABC的形状是（ ）

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bnbmanam

2 例2、分解因式：bxbyayax5102

练习：分解因式1、bcacaba2 2、1yxxy

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“整式的乘法与因式分解”概念解读

作者：尹永洲

来源：《初中生世界·七年级》2014年第06期

本章的主要内容是整式的乘法运算、因式分解.内容建立在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上.整式的乘法运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础.

一 、整式的乘法

整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分.其中之前所学习的幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础.整式乘法具体内容包括单项式乘以单项式，单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式.

单项式与单项式相乘 把他们的系数相乘，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

单项式乘以多项式 就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.依据是

.

多项式与多项式相乘 用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

二 .乘法公式

乘法公式是整式乘法的特殊情形.运用乘法公式能迅速而简洁地进行一些整式相乘的运算.

平方差公式：

注意：平方差公式展开只有两项.

公式的特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.

完全平方公式：

完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样.

三. 因式分解 龙源期刊网

因式分解是多项式的一种恒等变形.因式分解不但在解方程等问题中极其重要，在数学科学其他问题和一般科学研究中也具有广泛应用，是重要的数学基础知识.因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法.因式分解和整式乘法是互逆的运算，同学们在学习时必须能够弄清两者的区别和联系.