平行四边形单元 易错题专项训练检测试题

平行四边形单元 易错题专项训练检测试题

一、解答题

1．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，∠ABC=90°．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．

（1）当t=

时，四边形ABQP成为矩形？

（2）当t= 时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？

（3）四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．

2．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．

（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；

（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．

3．如图， 平行四边形ABCD中，3ABcm，5BCcm，60B， G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．

（1） 求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2） ①当AE的长为多少时， 四边形CEDF是矩形；

②当AE cm时， 四边形CEDF是菱形， （直接写出答案， 不需要说明理由）．

4．已知四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转（090），得到线段CE，联结BE、CE、DE. 过点B作BF⊥DE交线段DE的延长线于F．

（1）如图，当BE=CE时，求旋转角的度数； （2）当旋转角的大小发生变化时，BEF的度数是否发生变化?如果变化，请用含的代数式表示；如果不变，请求出BEF的度数；

（3）联结AF，求证：2DEAF．

5．如图，点A的坐标为(6,6)，ABx轴，垂足为B，ACy轴，垂足为C，点,DE分别是射线BO、OC上的动点，且点D不与点B、O重合，45DAE.

（1）如图1，当点D在线段BO上时，求DOE的周长；

（2）如图2，当点D在线段BO的延长线上时，设ADE的面积为1S，DOE的面积为2S，请猜想1S与2S之间的等量关系，并证明你的猜想.

6．如图，四边形ABCD为正方形.在边AD上取一点E，连接BE，使60AEB.

（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点B、C为圆心，BC长为半径作弧交正方形内部于点T，连接BT并延长交边AD于点E，则60AEB；

（2）在前面的条件下，取BE中点M，过点M的直线分别交边AB、CD于点P、Q.

①当PQBE时，求证：2BPAP；

②当PQBE时，延长BE，CD交于N点，猜想NQ与MQ的数量关系，并说明理由.

7．如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D(0，0)，B(3，4)，矩形ABCD沿直线EF折叠，点B落在AD边上的G处，E、F分别在BC、AB边上且F(1，4)．

(1)求G点坐标

(2)求直线EF解析式

(3)点N在坐标轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由

8．点E在正方形ABCD的边BC上，点F在AE上，连接FB，FD，∠ABF=∠AFB．

（1）如图1，求证：∠AFD=∠ADF；

（2）如图2，过点F作垂线交AB于G，交DC的延长线于H，求证：DH=2 AG；

（3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC的长．

9．如图，在平行四边形 ABCD中，AD=30 ，CD=10，F是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长度的速度从 A向 D运动，到D点后停止运动；Q沿着ABCD 路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D点后停止运动．已知动点 P，Q 同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动． 设运动时间为 t秒，问：

（1）经过几秒，以 A，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形

（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD面积的一半？

10．如图，在平行四边形ABCD中，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以ECCF、为邻边作平行四边形ECFG。

（1）证明平行四边形ECFG是菱形；

（2）若ABC120，连结BGCGDG、、，①求证：DGCBGE≌；②求BDG的度数；

（3）若ABC90，8AB，14AD，M是EF的中点，求DM的长。

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1．（1）112；（2）112或4；（3）四边形PBQD不能成为菱形

【分析】

（1）由∠B=90°，AP∥BQ，由矩形的判定可知当AP=BQ时，四边形ABQP成为矩形；

（2）由（1）可求得点P、Q与点A、B为顶点的四边形为平行四边形；然后由当PD=CQ时，CDPQ是平行四边形，求得t的值；

（3）由PD∥BQ，当PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形，先由PD=BQ求出运动时间t的值，再代入求BP，发现BP≠PD，判断此时四边形PBQD不能成为菱形；设Q点的速度改变为vcm/s时，四边形PBQD在时刻t为菱形，根据PD=BQ=BP列出关于v、t的方程组，解方程组即可求出点Q的速度．

【详解】

（1）如图1，∵∠B=90°，AP∥BQ，

∴当AP=BQ时，四边形ABQP成为矩形，

此时有t=22﹣3t，解得t=112．

∴当t=112时，四边形ABQP成为矩形；

故答案为112；

（2）如图1，当t=112时，四边形ABQP成为矩形，

如图2，当PD=CQ时，四边形CDPQ是平行四边形，

则16﹣t=3t，

解得：t=4，

∴当t=112或4时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形； 故答案为112或4；

（3）四边形PBQD不能成为菱形．理由如下：

∵PD∥BQ，

∴当PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形．

由PD=BQ，得16﹣t=22﹣3t，

解得：t=3，

当t=3时，PD=BQ=13，BP=22ABAP =228t=2283=73≠13，

∴四边形PBQD不能成为菱形；

如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形，

由题意，得221622168tvttt，解得62tv．

故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在某一时刻为菱形．

【点睛】

此题属于四边形的综合题．考查了矩形的判定、菱形的判定以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用是解此题的关键．

2．（1）AG2=GE2+GF2，理由见解析；（2）3266

【分析】

（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；

（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．易证AM=BM=2x，MN=3x，在Rt△ABN中，根据AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+3x）2，解得x=624，推出BN=624，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题.

【详解】

解：（1）结论：AG2=GE2+GF2．

理由：连接CG．

∵四边形ABCD是正方形，

∴A、C关于对角线BD对称，

∵点G在BD上，

∴GA=GC，

∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，

∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，

∴四边形EGFC是矩形，

∴CF=GE，

在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，

∴AG2=GF2+GE2．

（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．

∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，

∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，

∴∠AMN=30°，

∴AM=BM=2x，MN=3x，

在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，

∴1=x2+（2x+3x）2，

解得x=624，

∴BN=624，

∴BG=BN÷cos30°=3266．

【点睛】

本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度的性质．

3．（1）证明见解析；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形；②2 【分析】

（1）证明△FCG ≌△EDG（ASA），得到FG=EG即可得到结论；

（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形.过A作AM⊥BC于M，求出BM=1.5，根据平行四边形的性质得到∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，求出DE=1.5=BM，证明△MBA≌△EDC(SAS)，得到∠CED=∠AMB=90°，推出四边形CEDF是矩形；

②根据四边形CEDFCEDF是菱形，得到CD⊥EF，DG=CG=1212CD=1.5，求出∠DEG=30°，得到DE=2DG=3，即可求出AE=AD-DE=5-3=2.

【详解】

（1）证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ CF∥ED，

∴ ∠FCG＝∠EDG，

∵ G是CD的中点，

∴ CG＝DG，

在△FCG和△EDG中，FCGEDGCGDGCGFDGE，

∴ △FCG ≌△EDG（ASA），

∴ FG＝EG，

∵ CG＝DG，

∴ 四边形CEDF是平行四边形；

（2）解：①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形，

理由是：过A作AM⊥BC于M，

∵∠B=60°，

∴∠BAM=30°，

∵AB=3，

∴BM=1.5，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，

∵AE=3.5，

∴DE=1.5=BM，

在△MBA和△EDC中，

BMDEBCDEABCD，

∴△MBA≌△EDC(SAS)，

∴∠CED=∠AMB=90°，

∵四边形CEDF是平行四边形，

∴四边形CEDF是矩形；