平行四边形单元 易错题难题同步练习试题
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平行四边形单元 易错题难题同步练习试题
一、解答题
1．如图，在RtABC中，90ACB，过点C的直线//MNAB，D为AB边上一点，过点D作DEBC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE
（1）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由；
（2）当D为AB中点时，A等于
度时，四边形BECD是正方形．
2．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，ABAD，对角线AC，BD交于点O，AC平分BAD，过点C作CEAB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若5AE，3OE，求线段CE的长．
3．如图， 平行四边形ABCD中，3ABcm，5BCcm，60B， G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1） 求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2） ①当AE的长为多少时， 四边形CEDF是矩形；
②当AE cm时， 四边形CEDF是菱形， （直接写出答案， 不需要说明理由）．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC的顶点A（10，0）、C（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动．
（1）求点B的坐标；
（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求t的值；
（3）当△ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
5．如图①，已知正方形ABCD的边长为3，点Q是AD边上的一个动点，点A关于直线BQ的对称点是点P，连接QP、DP、CP、BP，设AQ=x．
（1）BP＋DP的最小值是_______，此时x的值是_______；
（2）如图②，若QP的延长线交CD边于点M，并且∠CPD=90°．
①求证：点M是CD的中点；②求x的值．
（3）若点Q是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDP为等腰三角形时x的值．
6．感知：如图①，在正方形ABCD中，E是AB一点，F是AD延长线上一点，且DFBE＝，求证：CECF＝；
拓展：在图①中，若G在AD，且45GCE＝，则GEBEGD＝成立吗？为什么？
运用：如图②在四边形ABCD中，()//ADBCBCAD＞，90AB＝＝，16ABBC＝＝，E是AB上一点，且45DCE＝，4BE＝，求DE的长．
7．如图，点A的坐标为(6,6)，ABx轴，垂足为B，ACy轴，垂足为C，点,DE分别是射线BO、OC上的动点，且点D不与点B、O重合，45DAE.
（1）如图1，当点D在线段BO上时，求DOE的周长；
（2）如图2，当点D在线段BO的延长线上时，设ADE的面积为1S，DOE的面积为2S，请猜想1S与2S之间的等量关系，并证明你的猜想.
8．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE．
（1）如图1，①∠BEC=_________°；
②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；
（2）如图2，FH∥CD交AD于点H，交BE于点M．NH∥BE，NB∥HE，连接NE．若AB=4，AH=2，求NE的长．
9．如图，在矩形 ABCD中， AB16 ， BC18 ，点 E在边 AB 上，点 F 是边 BC 上不与点 B、C 重合的一个动点，把△EBF沿 EF 折叠，点B落在点 B' 处.
(I)若 AE0 时，且点 B' 恰好落在 AD 边上，请直接写出 DB' 的长；
(II)若 AE3 时， 且△CDB' 是以 DB' 为腰的等腰三角形，试求 DB' 的长；
(III)若AE8时，且点 B' 落在矩形内部（不含边长），试直接写出 DB' 的取值范围.
10．如图，在平行四边形ABCD中，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以ECCF、为邻边作平行四边形ECFG。
（1）证明平行四边形ECFG是菱形；
（2）若ABC120，连结BGCGDG、、，①求证：DGCBGE≌；②求BDG的度数；
（3）若ABC90，8AB，14AD，M是EF的中点，求DM的长。
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一、解答题
1．（1）四边形BECD是菱形，理由见解析；（2）45
【分析】
（1）先证明//ACDE，得出四边形BECD是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CDBD，得出四边形BECD是菱形；
（2）先求出45ABC，再根据菱形的性质求出90DBE，即可证出结论．
【详解】
解：当点D是AB的中点时，四边形BECD是菱形；理由如下：
∵DEBC，
90DFE，
∵90ACB，
ACBDFB，
//ACDE，
∵//MNAB，即//CEAD，
四边形ADEC是平行四边形，
CEAD；
D为AB中点，
ADBD，
BDCE，
∵//BDCE，
四边形BECD是平行四边形，
∵90ACB，D为AB中点，
12CDABBD，
四边形BECD是菱形；
（2）当45A时，四边形BECD是正方形；理由如下： ∵90ACB，45A，
45ABC，
∵四边形BECD是菱形，
12ABCDBE，
90DBE，
四边形BECD是正方形．
故答案为：45．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键．
2．（1）见解析；（2）11
【分析】
（1）根据题意先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB=AD可得平行四边形ABCD是菱形；
（2）根据菱形的性质得出OA的长，根据直角三角形斜边中线定理得出OE=12AC，在RtACE应用勾股定理即可解答．
【详解】
（1）证明：∵ABCD∥，
∴OABDCA，
∵AC为DAB的平分线，
∴OABDAC，
∴DCADAC，
∴CDADAB，
∵ABCD∥，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵ADAB，
∴ABCD是菱形；
（2）
∵四边形ABCD是菱形
∴AOCO
∵CEAB
∴90AEC ∴26ACOE
在RtACE中，2211CEACAE
故答案为（2）11．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
3．（1）证明见解析；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形；②2
【分析】
（1）证明△FCG ≌△EDG（ASA），得到FG=EG即可得到结论；
（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形.过A作AM⊥BC于M，求出BM=1.5，根据平行四边形的性质得到∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，求出DE=1.5=BM，证明△MBA≌△EDC(SAS)，得到∠CED=∠AMB=90°，推出四边形CEDF是矩形；
②根据四边形CEDFCEDF是菱形，得到CD⊥EF，DG=CG=1212CD=1.5，求出∠DEG=30°，得到DE=2DG=3，即可求出AE=AD-DE=5-3=2.
【详解】
（1）证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ CF∥ED，
∴ ∠FCG＝∠EDG，
∵ G是CD的中点，
∴ CG＝DG，
在△FCG和△EDG中，FCGEDGCGDGCGFDGE，
∴ △FCG ≌△EDG（ASA），
∴ FG＝EG，
∵ CG＝DG，
∴ 四边形CEDF是平行四边形；
（2）解：①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形，
理由是：过A作AM⊥BC于M，
∵∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵AB=3，
∴BM=1.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，
∵AE=3.5，
∴DE=1.5=BM，
在△MBA和△EDC中， BMDEBCDEABCD，
∴△MBA≌△EDC(SAS)，
∴∠CED=∠AMB=90°，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是矩形；
②∵四边形CEDFCEDF是菱形，
∴CD⊥EF，DG=CG=1212CD=1.5，
∵∠CDE=∠B=60∘∠B=60∘，
∴∠DEG=30°，
∴DE=2DG=3，
∴AE=AD-DE=5-3=2，
故答案为：2.
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的性质定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，三角形全等的判定及性质定理，熟练掌握各定理并运用解答问题是解题的关键.
4．（1）B（12，4）；（2）52ts；（3）58,4,3,4,2,4,,42
【分析】
（1）由四边形OABC是平行四边形，得到OABC，//OABC，于是得到 10OA，2OEAF，可求出点B的坐标；
（2）根据四边形PCDA是平行四边形，得到PCAD，即1025t，解方程即可得到结论；
（3）如图2，可分三种情况：①当5PDOD时，②当5POOD时，③当
PDOP时分别讨论计算即可．
【详解】
解：如图1，过C作CEOA于E，过B作BFOA于 F，
