不定积分求解方法换元法

不定积分计算的各种方法

不定积分是微积分中的重要概念，用于求解函数的原函数。计算不定积分的方法有很多种，下面将介绍其中常用的几种方法。

1.替换法（换元法）：替换法是求不定积分最常用的方法之一、通过引入一个新的变量代替原函数中的一部分，使得被积函数被替换为新变量的导数形式。然后将积分转化为新变量的积分，最后再将结果换回原变量。替换法适用于当被积函数具有其中一种特殊形式时，例如三角函数、指数函数、对数函数等。

2.分部积分法：分部积分法是求不定积分的另一种常用方法。它通过将被积函数拆分成两个函数的乘积形式，然后将积分转化为其中一个函数的积分和另一个函数的导数的积分。这个方法适用于当被积函数是两个函数的乘积形式时。

3.微分方程法：微分方程法适用于求解一些具有特殊形式的微分方程的原函数。通过将微分方程转化为不定积分形式，并通过求解该不定积分得到原函数。

4.图像法：图像法适用于当被积函数的几何意义或图像特点已知时。通过观察被积函数的几何性质，可以直接得出不定积分的结果。

5.线性代数法：线性代数法是一种较为复杂的计算不定积分的方法，适用于一些特殊的被积函数形式。它通过将被积函数视为多项式的线性组合形式，并利用线性代数中的方法求解。

6.对称性法：对称性法适用于具有对称性质的被积函数。通过利用函数的对称性质，可以将不定积分简化为更容易处理的形式。 7.勾股定理法：勾股定理法适用于当被积函数具有勾股定理形式时。通过利用勾股定理，可以将不定积分转化为勾股定理的逆定理的形式，然后求解。

8.换项法：换项法适用于当被积函数的形式与换项公式相似时。通过将被积函数拆分成一个或多个项的和的形式，然后通过换项公式对其中的其中一项进行换项，从而简化积分计算。

综上所述，计算不定积分时常用的方法有替换法、分部积分法、微分方程法、图像法、线性代数法、对称性法、勾股定理法和换项法等。在实际计算中，可以根据被积函数的特点选择相应的方法，以简化计算过程并求得准确的结果。

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浅谈不定积分的第一换元法

作者：张红珍

来源：《新教育时代·学生版》2019年第27期

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摘 要：通过对高等数学课本上的一道不定积分题，给出了若干种不同的解法，并进一步总结了不定积分第一换元法（或凑微分法）的一些常用的計算方法和技巧，促使学生深入考虑学习中所遇到的问题，激起学生学习数学的兴趣。

关键词：不定积分 第一换元法 计算方法 技巧

在同济大学应用数学系的《高等数学》上册（第六版，P222）给出了一道不定积分的计算题：，下面从这道题目的不同解法来探讨并总结不定积分第一换元法（或凑微分法）的一些常用计算方法和技巧，加深同学们对这个换元法的理解和掌握。

[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京，高等教育出版社，2002.

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【第一换元法例题】

1、9999(57)(57)(5711(57)(57)55)(57)dxdxdxdxxxxx

110091(57)(57)(57)10111(57)5550dCxxxxC

【注】1(57)'5,(57)5,(57)5xdxdxdxdx

2、1lnlnlnlndxdxxxdxxxx

221(l1lnln(ln)2n)2xxxdCxC

【注】111(ln)',(ln),(ln)xdxdxdxdxxxx

%

3（1）sintancoscosiscoscosncoscosxdxdxxdxdxxdxxxxx

cosln|cos|cln|cos|osxxdCxCx

【注】(cos)'sin,(cos)sin,sin(cos)xxdxxdxxdxdx

3（2）coscoscotsinsinsinsinxdxxxdxdxdxxxx

sinln|siln|sin|n|sinxxdCxCx

【注】(sin)'cos,(sin)cos,cos(sin)xxdxxdxxdxdx

4（1）1()11ddxaxaxadxxax

ln|1(|)ln||dCaxaxaxaxC

【注】()'1,(),()axdaxdxdxdax

&

4（2）1()11ddxxaxxxdaaxa

ln|1(|)ln||dCxaxaxaxaC

【注】()'1,(),()xadxadxdxdxa

关于不定积分∫secxdx的几种求解方法

一、换元法。

小伙伴们。换元法可是求解不定积分的一个很厉害的方法呢。对于∫secxdx，我们可以设u = secx + tanx。那du就等于(secxtanx + sec²x)dx啦。然后我们就可以把原来的积分∫secxdx变形一下。因为secx = (secx(secx + tanx))/(secx +

tanx)，这时候就变成了∫(sec²x+secxtanx)/(secx + tanx)dx，这个式子看起来就和我们刚刚设的u有关系了。其实啊，这个式子就等于∫du/u。那这个积分就简单啦，它的结果就是lnu+C。再把u = secx + tanx代回去，就得到了lnsecx +

tanx+C。是不是很有趣呢？

二、利用三角函数的关系来求解。

我们知道secx = 1/cosx。那∫secxdx就等于∫1/cosxdx。我们可以把分子分母同时乘以cosx，就得到了∫cosx/cos²xdx。又因为cos²x = 1 - sin²x，所以就变成了∫cosx/(1 - sin²x)dx。这个时候呢，我们再设u = sinx，那du = cosxdx。这样积分就变成了∫1/(1 - u²)du。这个积分我们可以利用部分分式来求解。1/(1 - u²)=1/2(1/(1 + u)+1/(1 - u))。那∫1/(1 - u²)du就等于1/2∫(1/(1 + u)+1/(1

- u))du，它的结果就是1/2(ln1 + u-ln1 - u)+C。再把u = sinx代回去，就得到1/2ln(1 + sinx)/(1 - sinx)+C。不过这个结果看起来和前面的不太一样，其实啊，经过一些三角函数的化简，它和lnsecx + tanx+C是等价的哦。

三、利用积分的性质来求解。

我们可以把secx写成secx(secx+tanx)/(secx+tanx)，那∫secxdx就等于∫secx(secx+tanx)/(secx+tanx)dx。我们可以把它看成是一个函数和它的导数相除的形式。因为(secx + tanx)'=secx(secx+tanx)。这样我们就可以想到，如果设u = secx