不定积分的换元积分法

博学笃行 自强不息

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不定积分的换元积分法

一、引言

在微积分中，不定积分是求导运算的逆运算。通过不定积分，我们可以求得函数的原函数，进而解决各种实际问题。换元积分法是求不定积分时常用的一种技巧，能够将复杂的积分转化为简单的积分，从而简化计算过程。本文将详细介绍不定积分的换元积分法的原理、应用以及一些常见的例题。

二、换元积分法的原理

换元积分法是基于复合函数求导链式法则的一个推广。通过引入一个新的变量，可以将原函数转化为一个复合函数的积分。具体步骤如下：

1. 选择一个适当的变量代换，将被积函数中的自变量用新的变量表示。

2. 计算这个变量代换的导数，得到被积函数中关于新变量的导数形式。

3. 将原函数转化为一个关于新变量的积分，这样可以化简计算。

4. 完成积分后，将新变量用原来的自变量表示，得到最终结果。

三、换元积分法的应用 博学笃行 自强不息

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换元积分法在解决复杂积分问题时非常有效。它常用于以下几种情况：

1. 当被积函数中存在复杂的指数函数、三角函数等时，可以通过选择适当的代换变量将其转化为简单的形式。

2. 对于具有根式形式的被积函数，通过适当的变换将其转化为有理函数形式，从而进行计算。

3. 当被积函数中存在分式或有理函数时，可以通过合理的代换将其转化为多项式形式，将计算变得更加简单。

四、例题分析

以下是几个通过换元积分法求解的例题：

1. 计算不定积分∫(3x^2+2x+1)dx。

首先可以将被积函数中的自变量x用一个新的变量u代替，即令u=3x^2+2x+1。然后计算出这个变量代换的导数du=6xdx+2dx=6xdx+2。最后将原函数转化为关于u的积分，即∫du。完成积分后，将u用原来的自变量x表示即可得到结果。

2. 计算不定积分∫(x^3+1)^(1/2)xdx。

对于这个被积函数，可以选取u=x^3+1进行变量代换。然后计算出du=3x^2dx。将原函数转化为关于u的积分，即∫(u^(1/2)/3)du。完成积分后，将u用原来的自变量x表示即可得到结果。

科教论坛　…　…．‘０　Ｏｈｌｎ８　Ｅｄｕｃａｔｌｏｎ。ｌ。［。￣。。ｎ。。。ｏ　’。ｖ。。。ａ’。。ｔ。。ｌ。。ｏ。。。ｎ。。。。。Ｈ。。。。ｅ。。。ｒ　。ａ—ｌ—ｄ　试论不定积分的换元积分法　高仕学　（重庆市轻工业学校　重庆４００７０９）　摘要：不定积分的换元积分法灵活性较强，形式多样，变化多端，难以掌握。本文重点介绍换元积分法适用的题型，以实例说明运算技巧，　从而得出规律性的积分方法。　关键词：不定积分　挟元积分法　适用范ＩＩ　运算技巧　中图分类号：Ｇ　４　文献标识码：Ａ　文章编号：１　６７３—９７９５（２０１３）１０（ｂ）一０１　３１—０１　不定积分的换元积分法分为第一类换元积分法和第二类换元　积分法。学生在学习过程中，被其灵活多样的形式和复杂多变的计　算搅得头晕脑涨，望而生畏，甚至放弃学习。笔者根据３０多年教学　经验，结合现代学生的实际情况，谈谈不定积分的换元积分法。　１第一类换元积分法（凑微分法）　（１）适用题型：被积函数是复合函数或两个函数相乘。　（２）第一类换元积分公式。　如，／ｃｏｓ２ｘｄｘ＝寺ｆｃｏｓ２ｘｄ（２ｘ）＝，Ｘ＿＿ｓｉｎ２　＋ｃ（原函数与不定积　分关系验证）。　。　公式：厂【【ｐ　）】【ｐ。（ｘ）ｄｘ＝Ｉ厂　）】ｄ【【ｐ（ｘ）】＝Ｆ　）＋ｃ　注意：换元是换积分变量。　例１：求不定积分。　①ｆｅ－２＂ｄｘ（２）ｘｅｘ２ｄｘ　解：①ｆｅｍｄｘ＝一　１　ｄ（一２　）＝一寺Ｐ　＋ｃ　②　Ｘ２ｄｘ－－　１　ｄ（ｘ２）＝　１　＋ｃ　由于凑微分过程是一个难点，所以下面再给两个不定积分凑　微分的过程。　①』专　＝　』　：　Ｊ　②ｆ志　１；　结论：凑微分时，如果积分变量　前需要乘以一个常数Ｃ或者把　变成　方，那么在积分符号前就乘以这个常数的倒数，如果积　分变量　前后需要加减一个常数，那么可随便添加。　２第二类换元法（去根号）　（１）适用题型：被积函数中含有根号，而且用直接积分法不能求　出原函数　（２）第二类换元积分公式。　女Ⅱ，　２　＝２［ｔ－ｌｎ（１＋ｆ）］＋ｃ＝２［　圳＋　）］＋ｃ　（求导验证）　公式：　【厂（　）ｄ　令　＝（ｐ（，）ｆｆ［（ｐ（ｔ）］ｃｐ＇（ｔ）ｄｔ＝Ｆ（ｆ）＋ｃ回ｆ＝　（　Ｆ［（ｐ’。（　）】＋ｃ　■＝＝＝：＝＝＝：＝＝＝一　（３）代换分类：根式代换；三角代换。　去根号时：　①　令　＝ｔ　Ｉ②√口　一　令　：口ｓｉｎｔ　Ｉ　③　ｉ令　＝ａｔａｎｔ｝。④　令　＝ａ　ｓｅｃｔ　例２：求积分　ｄｘ；②廊　，　解：①令　＝ｔ　ｄｘ＝６ｔ　ｄｔ（根指数的最小公倍数）　原式　＿６　Ｊ而　＝６Ｊ　ｄｆ＝６（卜ａｒｃｔａｎｔ＋ｃ）＝６（　一ａｒｃｔａｎ　＋ｃ）　②令ｘ＝２　ｓｉｎｔ（一３万－≤ｆ≤　７／＂）贝０（Ｉｘ：２ｃｏｓｔｄｔ　原式：４ｆＣＯＳ２　４ｆ　ｄｆ：２ｆ＋ｓｉｎ２ｆ＋ｃ　根据　：２　ｓｉｎｔ得直角三角形的三边长及ＣＯＳｔ　所以　＿２ａｒｃｓ　ｎ　十主厨＋ｃ　注意：在“回代”时，要依据换元时的假设得一个直角三角形，　讲而得到相麻的需求量　３结论　当被积函数中含有根号（开任意次方）下　的一次方或者加减常　数时，就用根式代换去根号；当被积函数中含有根号（开平方）下是　的平方和或者平方差时，就用三角代换，即用三角函数的平方关　系去根号（取正值）。　’　ｄ　值得注意是有些题目可同时用两类换元积分法。如Ｊ　・　总之，不定积分的换元法应用非常困难。需多练习，多总结，积　分问题就会迎刃而解了。　参考文献　【１】黄江．高等数学［Ｍ］．重庆大学出版社，２００９．　【２】郑文．高等数学［Ｍ］．电子科技大学出版社，２０１０．　［３】柳重堪．高等数学［Ｍ】．中央广播电视大学出版社，１９９９　作者简介：高仕学（１９５６，８，３０～），男，汉族，重庆，理学士，正高，五次参与主持市级课题研究，主编数学教材，发表多篇教学论文。　中国科教创新导刊Ｃｈｉｎａ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｈｅｒａｌｄ　１

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不定积分“第一换元积分法”教学三步曲

作者：林美娟

来源：《科技视界》2012年第26期

【摘要】不定积分第一换元积分法是微积分中重要的运算方法，用这种方法计算的关键是：凑微分，所以也称“凑微分法”.在教学中教师可以借助“不定积分公式和法则”导入凑微分法，在仔细剖析凑微分法的基础上，设计几类常见的题型来巩固凑微分法，让学生顺利跨入“凑微分”之门.

【关键词】第一换元积分法；凑微分；中间变量

第一换元积分法是求不定积分的最基本最常用的重要方法之一，这种方法是把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换将被积函数化简，直到能应用不定积分表中的公式求出它的不定积分.对于初学者来说，凑微分是难点，寻找中间变量更不知从何下手.在教学第一换元积分法时，教师要引导学生认真走好三步：导入——理解——巩固，为后续学习打好基础.

1 类比联想 导入凑微分法

第一换元积分法的目的是通过换元将被积函数化简，直到能应用不定积分表中的公式求出不定积分.可见，利用公式求不定积分是学习第一换元积分法的基础，在教学中教师可以从不定积分公式表的应用导入第一换元积分法，使得学生对新知识的接受有一种水到渠成的感觉.

Ｖｏｌ．２８Ｎｏ．１１Ｎｏｖ．２０１２赤峰学院学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｉｆｅｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）第２８卷第１１期（上）２０１２年１１月

直接积分法、第一类换元积分法、第二类换元积分法、

分部积分法是求不定积分的常用方法，换元积分法是求不

定积分的重要方法，本文将换元积分法常见的类型归纳如

下．

1第一类换元积分法及常见类型

定理设函数ｆ（ｕ）在区间Ｉ内有原函数，ｕ＝φ（ｘ）具有连续

导数且φ（ｘ）的值域包含在Ｉ中，则有换元公式

乙ｆ［φ（ｘ）］φ＇（ｘ）ｄｘ＝［乙ｆ（ｕ）ｄｕ］ｕ＝φ（ｘ）类型一：乙ｆ（ａｘ＋ｂ）ｄｘ＝１ａ乙ｆ（ａｘ＋ｂ）ｄ（ａｘ＋ｂ）（ａ≠０）

例1乙ｄｘ４ｘ＋３

解乙ｄｘ４ｘ＋３＝１４乙１４ｘ＋３ｄ（４ｘ＋３）＝１４ｌｎ｜４ｘ＋３｜＋Ｃ

例2乙ｄｘ（ｘ－１）（３－ｘ）姨

解乙ｄｘ（ｘ－１）（３－ｘ）姨＝乙ｄｘ－ｘ２＋４ｘ－３姨

＝乙ｄｘ１－（ｘ－２）２姨＝乙ｄ（ｘ－２）１－（ｘ－２）２姨＝ａｒｃｓｉｎ（ｘ－２）＋Ｃ

类型二：乙ｆ（ｘμ＋１）ｘμｄｘ＝１μ＋１乙ｆ（ｘμ＋１）ｄｘμ＋１（μ≠－１）

例3乙ｘ２１＋ｘ３姨ｄｘ

解乙ｘ２１＋ｘ３姨ｄｘ＝１３乙（１＋ｘ３）１２ｄ（１＋ｘ３）＝２９（１＋ｘ３）３２＋Ｃ

例4乙ｃｏｓｘ姨ｘ姨ｄｘ

解乙ｃｏｓｘ姨ｘ姨ｄｘ＝２乙ｃｏｓｘ姨ｄ（ｘ姨）＝２ｓｉｎ

ｘ姨

＋Ｃ

类型三：乙ｆ（ｌｎｘ）

１ｘｄｘ＝乙

ｆ（ｌｎｘ）ｄ（ｌｎｘ）

例5乙１ｘ（１＋３ｌｎｘ）ｄｘ解乙１ｘ（１＋３ｌｎｘ）ｄｘ＝１３乙１１＋３ｌｎｘｄ（１＋３ｌｎｘ）

＝１３ｌｎ｜１＋３ｌｎｘ｜＋Ｃ

类型四：乙ｆ（ｅｘ）ｅｘｄｘ＝乙（ｅｘ）ｄｅｘ

例6乙ｄｘ１＋ｅｘ＝乙１＋ｅｘ－ｅｘ１＋ｅｘｄｘ＝乙ｄｘ－乙ｅｘ１＋ｅｘｄｘ

＝乙ｄｘ－乙１１＋ｅｘｄ（１＋ｅｘ）＝ｘ－ｌｎ（１＋ｅｘ）＋Ｃ类型五：乙ｆ（ｓｉｎｘ）ｃｏｓｘｄｘ＝乙ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｓｉｎｘ

乙ｆ（ｃｏｓｘ）ｓｉｎｘｄｘ＝－乙ｆ（ｃｏｓｘ）ｄｃｏｓｘ