二次函数交点式例题

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1 / 6  二次函数地三种表达形式：①一般式：

(≠、、为常数)，顶点坐标为 [,]

把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出、、地值.

②顶点式：

()(≠、、为常数),顶点坐标为对称轴为直线，顶点地位置特征和图像地开口方向与函数地图像相同，当时，最值.

有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式.

例：已知二次函数地顶点()和另一任意点()，求地解析式.

解：设()，把()代入上式，解得().

注意：与点在平面直角坐标系中地平移不同，二次函数平移后地顶点式中，>时，越大，图像地对称轴离轴越远，且在轴正方向上，不能因前是负号就简单地认为是向左平移.

具体可分为下面几种情况：

当>时，()地图象可由抛物线向右平行移动个单位得到；

当

当>>时，将抛物线向右平行移动个单位，再向上移动个单位，就可以得到()地图象；

当>

当<>时，将抛物线向左平行移动个单位，再向上移动个单位可得到()地图象；

当<

2 / 6 ③交点式：

()() (≠) [仅限于与轴即有交点时地抛物线，即≥] .

已知抛物线与轴即有交点（，）和 （，）,我们可设()(),然后把第三点代入、中便可求出.

由一般式变为交点式地步骤：

二次函数

∵， (由韦达定理得),

∴

()

[()]

()().

重要概念：

，，为常数，≠，且决定函数地开口方向.>时，开口方向向上；

地绝对值越大开口就越小，地绝对值越小开口就越大.

能灵活运用这三种方式求二次函数地解析式；

能熟练地运用二次函数在几何领域中地应用；

能熟练地运用二次函数解决实际问题.b5E2R。

 二次函数解释式地求法：

就一般式＋＋（其中，，为常数，且≠）而言，其中含有三个待定地系数 ， ，．求二次函数地一般式时，必须要有三个独立地定量条件，来建立关于 ， ， 地方个人收集整理-ZQ

3 / 6 程，联立求解，再把求出地 ， ， 地值反代回原函数解析式，即可得到所求地二次函数解析式.p1Ean。

初四数学专题训练

1 《二次函数的特殊形式》专题

班级 姓名

人的心灵在不同的时期有着不同的内容。

1.根据二次函数的图象和性质填表：

二 次 函 数 对 称 轴 顶 点 与坐标轴交点

一般式 cbxaxy2 与y轴交与点（ ）

顶点式

2.用十字相乘法分解因式：

①322xx ②342xx ③6822xx

3.若一元二次方程02cbxax有两实数根21xx、，则抛物线cbxaxy2

与x轴交点坐标是 .

【自主探究】

1.根据上面第3题的结果，改写下列二次函数：

①322xxy ②342xxy ③6822xxy

  

2.求出上述抛物线与x轴的交点坐标：

①322xxy ②342xxy ③6822xxy

归纳：

⑴若二次函数cbxaxy2与x轴交点坐标是（01，x）、（02，x），则该函数还可以表示为 的形式；

⑵反之若二次函数是21xxxxay的形式，则该抛物线与x轴的交点坐标是 ，故我们把这种形式的二次函数关系式称为 式.

⑶二次函数的图象与x轴有2个交点的前提条件是 ，因此这也

是 式存在的前提条件. 初四数学专题训练

2 【练习】把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐标轴的交点坐标.

⑴232xxy ⑵232xxy ⑶4622xxy

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-- 二次函数之交点式

【课前自习】

1.根据二次函数的图象和性质填表：

二 次 函 数 对 称 轴 顶 点 与坐标轴交点

一般式 cbxaxy2 与y轴交与点（ ）

顶点式

2.用十字相乘法分解因式：

①322xx ②342xx ③6822xx

3.若一元二次方程02cbxax有两实数根21xx、，则抛物线cbxaxy2与x轴交点坐标是

.

【课堂学习】

一、探索归纳：

1.根据《课前自习》第3题的结果，改写下列二次函数：

①322xxy ②342xxy ③6822xxy

  

2.求出上述抛物线与x轴的交点坐标：

①322xxy ②342xxy ③6822xxy

坐标：

3.你发现什么？

4.归纳：

⑴若二次函数cbxaxy2与x轴交点坐标是（01，x）、（02，x），则该函数还可以

表示为 的形式；

⑵反之若二次函数是21xxxxay的形式，则该抛物线与x轴的交点坐标是

，故我们把这种形式的二次函数关系式称为 式.

⑶二次函数的图象与x轴有2个交点的前提条件是 ，因此这也

是 式存在的前提条件. --

二次函数一般式、顶点式、交点式

这节课我们学什么

1. 会用待定系数法求二次函数的解析式；

2. 会平移二次函数2(0)yaxa的图象得到二次函数2()yaxhk的图象；

了解特殊与一般相互联系和转化的思想；

3. 根据交点求解解析式．

知识点梳理

1、顶点式：2yaxhk的图像与性质

2、交点式：12()()yaxxxx的图像与性质

1x、2x分别是二次函数与x轴的两个交点坐标，如果二次函数与x轴的交点坐标已知，则我们可以设解析式为12()()yaxxxx，然后再根据条件求出a即可；

3、一般式2yaxbxc的性质

对于一般式：2(0)yaxbxca，我们怎么能知道二次函数的对称轴以及顶点坐标呢？

将一般式配方成顶点式：

2yaxbxc=2()bcaxxaa=22222()44bbbcaxxaaaa

=222(())()22bbcbaxxaaaa

=222424bbacaxaa

所以，任意二次函数，其对称轴方程为：直线2bxa；顶点坐标为2424bacbaa，

1． 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为直线2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，．

当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y随x的增大而增大；

2． 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为直线2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，．

当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y随x的增大而减小； 0a 向下 hk， 直线xh xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k． 典型例题分析

1、 二次函数一般式；

例1、抛物线1422xxy的对称轴是直线

．

【答案：1x】

例2、抛物线2243yxx的顶点坐标是 ．