立体几何与排列组合

立体几何中组合问题的几种解法

解决几何组合问题时，应准确灵活使用加法原理和乘法原理，要分类分步进行，做到不重复不遗漏。

1 直接求解法

例1：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有多少种?

分析：正面考虑本题各步骤的方法比较复杂，计算困难，应运用逆向思维，即先考虑从10个点任意取出4个点的方法，再减去从10个点中取出4点共面的的方法即可。

解：从10个点中找出4个点的方法有Ｃ410=210种，其中在四面体的四个面内各有6个点，取出共面的4个点的方法有4Ｃ4■=60种；相邻面各棱的中点4点共Ｃ410面的有3种；一条棱上三点与其相对棱中点也共面，共6种。

∴所求方法N=210-60-3-6=141(种)

本题应注意“哪些点共面?”共有几种情况?[1]

例2：从平面Ⅱ上取6个点，再从平面B上取4个点，这10个点最多可确定多少个三棱锥?

解法①：分三种情况考虑：第一种情况从平面a上的6个点中任取一个再与从平面β上的4个点中任取3个点构成的三棱锥有Ｃ1■Ｃ■■个；第二种情况，从平面a上的6个点中任取2个与平面13上的4个点中任取2个点构成的三棱锥有Ｃ2■Ｃ2■个；第三种情况，从平面a上的6个点中任取3个点与平面β上的4个点中任取1个点构成的三棱锥有Ｃ■■Ｃ1■个。根据加法原理共有Ｃ1■Ｃ■■+Ｃ2■Ｃ2■ +Ｃ■■Ｃ1■ =24+90+80=194(个)。

解法②：逆向思维：从10个点中任取4个点的组合数Ｃ410中，去掉4个点共面的两种情况即4点在平面a上的Ｃ4■个，4点在平面β上的Ｃ4■个。其余的任4点都能构成一个三棱锥。因此，可构成三棱锥Ｃ410-Ｃ4■-Ｃ4■=210-15-1=194(个)。

2 从几何概念上求解［2］

例3：空间10个点，无三点共线，其中有六个点共面，其余无四个点共面，则这些可以组成四棱锥的个数有多少个?

此题易错解，仿上例。

错解一：从共面的6个点中任取1个、2个、3个、4个点，与从另外4个不共面的点中任取4个、3个、2个、1个点可构成的四棱锥有Ｃ1■Ｃ4■＋Ｃ2■Ｃ■■＋Ｃ■■Ｃ2■=6+60=120+60=246(个)。

1 / 4word. 立体几何中的排列组合问题解法举隅

立体几何中的排列组合问题在近年的高考数学试题中出现的频次较高，且常考常新. 因为解决这类问题不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要具备较强的空间想象能力. 因而是一类既富思考情趣，又融众多知识和技巧于一体且综合性强、灵活性高、难度颇大的挑战性问题. 解决这类问题的关键是明确形成几何图形的元素，并与排列组合形成对应关系，转化为排列组合问题，同时还要注意避免重复和遗漏. 下面结合具体例子谈谈这类问题的求解方法，供参考.

一、分步求解

例1 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有（ ）

A. 12对 B. 24对 C. 36对 D. 48对

解 由于六棱锥的6条侧棱交于一点, 底面六边形的6条边共面, 因而只能将侧棱与底边相搭配. 第一步, 从6条侧棱中任取一条有16C种; 第二步, 从底面6条边中与这条侧棱不相交的4条边中任取一条有14C种, 由乘法原理知有1416CC=24对, 故选B.

二．分类求解

例2 四边形的一个顶点为A, 从其它顶点与各棱的中点中取3点, 使它们和点A在同一平面上, 不同取法有( )

A. 30种 B. 33种 C. 36种 D. 39种

解 符合条件的取法可分为两类: ①4个点(含A)在同一个侧面上,有30335C种；②4个点（含A）在侧棱与对棱中点的截面上，有3种. 由加法原理知不同取法共有33种，故选B.

例3 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法种数是＿＿＿＿＿＿.

2 / 4word. 解 分三类：

①如果用5种颜色有55A种染色方法.

②如果用4种颜色，只能是底面四边形相对顶点同色. 如图1，如果A、C同色，只要考虑染S、A、B、D四顶点，有45A种染法，而B、D同色仍有45A种染法，用四色共有245A种染法.

近几年的高考试题中，以空间图形为背景的试题，　其考查知识内容和范围，已不再局限于立体几何的内　部，而是旁及到代数、几何、三角、向量、组合等学科分　支，对综合运用各种知识技能解题的灵活性，要求有所　增强，因此值得我们重视。　本文打算重点谈谈排列、组合和概率与立体几何　相结合的运用。在处理这方面的内容时，不仅要求我　们对立体几何图形要有充分认识，而且要把它与排列、　组合完美地结合起来，这给不少学生在处理相关问题　时带来了不少困难。下面就相关问题、相关例子与大　家共同分析。　例ｌ　（教材高二下（　）Ｐ　组题２②）以正方体的　顶点为顶点的三棱锥的个数是（　）。　（Ａ）ｃ　ｃ；（Ｂ）ｃ：（ｃ）Ｃ：一６（Ｄ）Ｃ：一１２　解析：从８个顶点中任取４个点有ｃ：个，但在６　个表面和６个体对角面中，每个面的４个顶点都是共　面的，故所求ｊ三棱锥个数为Ｃ　一１２＝５８。　变式ｌ　在正方体中，过任意两个顶点的成异面　直线的有　对。　解析：根据例１知共有（Ｃ：一１２）个三棱锥，而一　个三棱锥有３对异面直线，．・．异面直线共有３（Ｃ：一　１２）＝１７４（对）。　变式２在正方体中，各棱、各面对角线和体对角　线中，共有　对异面直线。　解析：一个正方体共有ｌ２条棱，１２条对角线，４条　体对角线共２８条，任取２条有ｃ　种情况，除去其中共　面的情况：（１）６个表面，每个面上都有６条线共面，共　有６ｃ　对共面；（２）６个体对角面中，每个面上也有６　条线共面，共有６ｃ：对；（３）从同一个顶点发出有３条　面对角线，任意两条线共面，共有８ｃ；对。故有异面直　【高中生之友２０１０　１—２上半月刊】

　粤　囊学导学　ｈｏｕｘｉａ责ｎｇ编ｙｏ　盆　３　。ｍ　线总共ｃ；　一１２　Ｃ：一８Ｃ；＝１７４（对）。　变式３（２００５年湖北高考题）以平行六面体ＡＢＣＤ　－Ａ　Ｃ。Ｄｌ任意３个顶点为顶点作三角形，从中随机　取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率Ｐ为　（　）。　（Ａ’　３６７（Ｂ’　３７６（ｃ　１９２（Ｄ）　解：平行六面体共有８个顶点，则可构成三角形　Ｃ　＝５６个，随机抽取２个为ｃ　，除去其中共面的情　况：（１）每个表面上４个顶点确定的三角形个数为Ｃｉ　＝４，任取两个有Ｃ：对共面。．・．６个表面，共有６　Ｃ；对　共面；（２）每个体对角面情况如（１），有６　Ｃ：对，故Ｐ＝　１—６　Ｃ］＋　６Ｃ］＝　。故选Ａ。　点评：从此题来看，初看觉得很难，但其实考查的　一个难点内容是共面的两个三角形的对数，而这不就　是课本上的习题嘛！（即本文的例１），借此机会提醒　学生注意回归课本的重要性，应该对课本的内容进行　深入钻研。　变式４：以正方体的顶点为顶点的四棱锥的个数　为　个。　・　解析：此题形式上与例１相同，但解题思路却相差　较大。只须考虑到四棱锥底面一定是平行四边形，而正　方体中以８个顶点构成的平行四边形只有ｌ２个（６个　对角面与６个表面），．・．共有四棱锥个数为ｌ２　ｘ４＝４８　个。　例２在正方体的８个顶点，ｌ２条棱的中点，６个　面的中心以及正方体的中心共计２７个点中，共线三点　解析：（方法一）２７个点分为三类：（１）两端点皆为　顶点的共线三点组有　＝２８个；（２）两端点皆为面　的中心的共线三点组有３个；（３）两端点皆为棱的中　点的共线三点组有　＝１８＋。故有共线三点组２８　＋３＋１８＝４９（个）．‘．故选Ｂ。　（方法二）２７个点分为两类：（１）线段的中点不是　正方体的中心，则线落在表面上，每一面上有８条线，　共有８×６＝４８（条），其中１２条棱计算了２次共得Ｎ，　＝４８—１２＝３６（条）；　（２）每一条线段都经过正方体的中心，有体对角　线４条，对棱中点连线６条，对面中心连线３条，共得　Ｎ２：４＋６＋３＝１３条，故Ｎ：Ｎｌ＋Ｎ２＝４９（条）。故选　Ｂ。　例３　四面体的顶点和各棱中点共１０个点，从中　任取４个不共面的点，有多少种不同的取法？　解析：ｌ０个点任取４点有　种取法，但其中共面　的有：（１）３个侧面和１个底面，共有４　种情况；（２）　各棱中点连线可得３个平行四边形；（３）每条棱上有３　个点与对棱的中点也共面，有６种。故：Ｎ＝　。一４　一３—６＝１４１（种）。　从以上的几个问题的探讨过程中可以看出，在处　理这类问题时，多数是采用“正难则反”的策略，从反　面剔除不符合条件的部分。但由于有部分同学对空间　图形认识的局限性，会出现遗漏，或该减去的没有减　去，从而出现错误的结果。因此只有平时多加强对空　间图形的理解，再与排列组合知识的完美结合，在处理　组的个数有（　）。　此类问题时，才能得心应手。　（Ａ）５７（Ｂ）４９（Ｃ）４３（Ｄ）３７　（作者单位：江西省临川第一中学江西省临川第二中学）　【膏中生之友２０１０．１－２．上半月刊】

排列组合五类应用题的常见解法

排列组合应用题是高考必考题。由于有些排列组合应用题比较抽象，题型繁多、解法独特，再加上限制条件，往往容易发生重复和遗漏现象，历来是考生失分较多的一部分内容。解决这一问题的有效方法是对常见题型及求解方法加以归类，反复训练，形成模式便能在考试中得心应手，水到渠成。下面就五类问题的常见解法综述如下。

一、排除法解立体几何中的排列组合问题

立体几何中的组合问题，大多带有附加条件。因此，这类问题正面分类讨论求解，不仅麻烦，还最容易漏解。若根据立体几何的特点，从反面入手，从总体数目中排除不合乎条件的方法数，通过排除的间接方法求解，可以减少失误，提高解题效率。

例1、四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有( )

A、150种 B、147种 C、144种 D、141种

(1997年全国高考题)

解：从10个点中取4个点的取法有C种，其中四点共面的分为三类：

①从四面体的每个面上的6点之中取4个点，有4C种；

②不同在一个面上两棱中点连线都平行第三边棱(如图中SF‖CD，HR‖CD)，可确定一个平面SFRH，这样的平面有3个；

③一条棱上的中点与此点所在面的对棱上的三点可确定一个平面(如图中平面HAFD)有六个中点，这样的平面有6个。故符合题设条件的取法有：C-4C-3-6-141种。故选(D)。

例2、空间有10个点，其中有4个点共面但不共圆，此外不再有4个点共面，以其中1点为顶点，过另外3个点的圆为底面构成圆锥(不一定是直圆锥)，这样的圆锥最多有多少个？

解：选3个点构成底面有C种，从余下7点再选一个点为顶点有C种。于是共有CC种，再除去4个点共面不能构成的圆锥数C种。

所以，这样的圆锥最多有CC-C=846个。

例3、以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有( )

A、70个 B、64个 C、58个 D、52个