九年级中考数学等腰三角形专题训练 (含答案)

九年级中考数学等腰三角形专题训练

一、选择题

1. 已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为( )

A．42° B．69°

C．69°或84° D．42°或69°

2. 如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为 (

)

A.(1，1) B.(1，)

C.(，1) D.()

3. 一个等腰三角形两边的长分别为75和18，则这个三角形的周长为( )

A．10 3＋3 2 B．5 3＋6 2

C．10 3＋3 2或5 3＋6 2 D．无法确定

4. 如图，∠AOB＝50°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，则∠MAB等于(

)

A．50° B．40°

C．25°

5. △ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是( )

A. 120° B. 125° C. 135° D. 150°

6.如图，在△ABC中，AB=BC=3，∠BAC=30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为( )

A.63 B.9 C.6

D. 33

7.如图，DE是ABC△的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且85ACBC，，则BEC△的周长是

A．12 B．13

C．14 D．15

8.如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝12，线段PQ在边BA上运动，PQ＝12，有下列结论： ①CP与QD可能相等； ②△AQD与△BCP可能相似；

③四边形PCDQ面积的最大值为31316； ④四边形PCDQ周长的最小值为3＋372.

其中，正确结论的序号为（ ）

A．①④ B．②④ C．①③

D．②③

DQPCBA

二、填空题

9. 我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么(a-b)2的值是 .

10.在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为________．

11.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点．若BC＝12，AD＝8，则DE的长为 ． EDCBA

12.若等腰三角形的一个底角为72，则这个等腰三角形的顶角为__________．

13.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝________°．

14.在ABC△中，50A，30B，点D在AB边上，连接CD，若ACD△为直角三角形，则BCD的度数为__________．

15.某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为________米．（结果保留根号）

16. 如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝________．

三、解答题

17.如题20图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．

FECABD

18. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD=CE.

求证:(1)点D在BE的垂直平分线上;

(2)∠BEC=3∠ABE.

19. 已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过D点的直线交AC于E点，交AB于F点，且△AEF为等边三角形．

(1)求证：△DFB是等腰三角形； (2)若DA＝7AF，求证CF⊥AB.

20.如图，△ABC中，AB＝AC，∠B的平分线交AC于D，AE∥BC交BD的延长线于点E，AF⊥AB交BE于点F．

(1)若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数；

(2)若AD＝DC＝2，求AF的长．

21. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点(点D与A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE.

(1)求证:△ACD≌△BCE;

(2)当AD=BF时，求∠BEF的度数. F

D E

C A

B

22. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝

5 cm，BC＝6 cm，AD是BC边上的高．点P由C出发沿CA方向匀速运动．速度为1 cm/s.同时，直线EF由BC出发沿DA方向匀速运动，速度为1 cm/s，EF//BC，并且EF分别交AB、AD、AC于点E，Q，F，连接PQ.若设运动时间为t(s)(0＜t＜4)，解答下列问题：

(1)当t为何值时，四边形BDFE是平行四边形？

(2)设四边形QDCP的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻t，使点Q在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出此时点F到直线PQ的距离h；若不存在，请说明理由．

答案

一、选择题

1. 【答案】D [解析] 在等腰三角形中，当一个锐角在未指明为顶角还是底角时，一定要分类讨论．

①42°的角为等腰三角形的底角；

②42°的角为等腰三角形的顶角，则底角为(180°－42°)÷2＝69°.所以底角为42°或69°.

2. 【答案】B [解析]过点B作BH⊥AO于点H，

∵△OAB是等边三角形，

∴OH=1，BH=，∴点B的坐标为(1，).

3. 【答案】[解析] A 因为75＝5 3，18＝3 2.当5 3为腰长时，三角形的周长为10 3＋3 2；当5 3为底边长时，因为3 2＋3 2＝6 2＝72，72<75，所以不能构成三角形，故三角形的周长为10 3＋3 2.

4. 【答案】C [解析] ∵OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，∴∠AOM＝∠BOM＝25°，MA＝MB.∴∠OMA＝∠OMB＝65°.∴∠AMB＝130°.∴∠MAB＝12×(180°－130°)＝25°.故选C.

5. 【答案】C 【解析】由CD为腰上的高，I为△ACD的内心，则∠IAC＋∠ICA＝12(∠DAC＋∠DCA)＝12(180°－∠ADC)＝12(180°－90°)＝45°，所以∠AIC＝180°－(∠IAC＋∠ICA)＝180°－45°＝135°.又可证△AIB≌△AIC，得∠AIB＝∠AIC＝135°.

6. 【答案】D

【解析】∵分别以点A、C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，

∴AD=AC=CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°.

∵AB=BC，AD=CD，连接BD交AC于点E，∴BD垂直平分AC，∴∠AEB=90°.

∵∠BAC=30°， AB= 3，∴BE=32，AE=32，∴AC=3．

在Rt△ADE中，∵∠DAC=60°，∠AED=90°，AE=32，∴DE=332，∴BD=3332322，

∴四边形ABCD的面积为：3333221．

7. 【答案】B

【解析】∵DE是ABC△的边AB的垂直平分线，∴AEBE，∵85ACBC，，∴BEC△的周长是：13BEECBCAEECBCACBC．故选B．

8. 【答案】 D

【解析】设AQ＝x，则BP＝52—x

①如图1，当点P与B重合时，此时QD为最大，过点Q作QE⊥AC，∵AQ＝52，∴AE＝54，QE＝534，∴DE＝34，∴此时QD＝212，即0≤QD≤212；而332≤CP≤3，两个范围没有交集，即不可能相等；①错误

②若△AQD∽△BCP，则ADBP＝AQBC，代入得2x2—5x+3＝0，解得x1＝1，x2＝32，∴都存在，∴②正确；

③如图2，过点D作DE⊥AB，过点P作PF⊥BC，S四边形PCDQ=S△ABC—S△AQD—S△BPC＝34×32－12x34－12×3×34（52－x）＝34 x ＋21316，∵52—x≥0，即x≤52，∴当x=52时面积最大为31316；③正确；

④如图，将D沿AB方向平移12个单位得到E，连接PE，即四边形PQDE为平行四边形，∴QD=PE，四边形周长为PQ+QD+CD+CP=3+PE+PC，即求PE+PC的最小值，作点E关于AB的对称点F，连接CF，线段CF的长即为PE+PC的最小值；过点D作DG⊥AB，∴AG＝14，EN=FN=HM=34，∴CH＝332＋34＝734，FH＝MN＝32－14－12＝34，∴FC＝392，∴四边形PCDQ周长的最小值为3＋392，④错误.

二、填空题

9. 【答案】1 [解析]由勾股定理可得，a2+b2=13，直角三角形面积=(13-1)÷4=3，即ab=3，所以ab=6，所以(a-b)2=a2+b2-2ab=13-12=1.

10. 【答案】80°

【解析】本题考查了等腰三角形的性质，∵AB=AC，∠B=50°，∴∠C=∠B=50°，∴∠A=180°-2×50°=80°，因此本题填80°．

11. 【答案】5

【解析】∵AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∴AD⊥BC，BD＝CD＝12BC＝6．在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB＝2268＝10．又∵E为AB的中点，∴DE＝12AB＝5．故答案为5．

12. 【答案】36°

【解析】∵等腰三角形的一个底角为72，∴等腰三角形的顶角180727236，

故答案为：36．

13. 【答案】30°

【解析】本题考查了等边三角形和等腰三角形以及垂直平分线的性质．因为FENMHGABCDEFFEDQPCBAFEABCPQDDQCB(P)AE