锐角三角函数的应用(3)

§7.6 锐角三角函数的简单应用(3) (教案) 备课时间: 主备人:班级__________ 姓名__________ 学号_________【知识要点】1．斜坡坡度i =斜坡的垂直高度斜坡的水平距离2．通常我们将坡度i 写成1:m 的形式，坡度i 与坡角α之间的关系为tan i α=。

【典型例题】1．小明沿着坡角为20°的斜坡向上前进80m, 则他上升的高度是( ).2．如图是一个拦水大坝的横断面图,AD ∥BC, .斜坡AB=10m,大坝高为8m, (1)则斜坡AB 的坡度 (2)如果坡度,则坡角 (3)如果坡度 ,则大坝高度为___.3．如图,水坝的横截面是梯形ABCD,迎水坡BC 的坡角 为30°,背水坡AD 的坡度 为1:1.2, 坝顶宽DC=2.5米,坝高4.5米. 求:(1)背水坡AD 的坡角 (精确到0.1°); (2)坝底宽AB 的长(精确到0.1米).3．思考:在上题中,为了提高堤坝的 防洪能力,市防汛指挥部决定加固堤坝,要求坝顶CD 加80.cos 20A m ︒80.sin 20B m ︒.80sin 20C m︒.80cos 20D m︒____.AB i =ABi =____.B ∠=1:2,8AB i AB m ==αi β宽0.5米,背水坡AD的坡度改为1:1.4,已知堤坝的总长度为5㎞,求完成该项工程所需的土方(精确到0.1米3)若把此堤坝加高0.5米，需要多少土方？4．安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示.已知集热管AE与支架BF所在直线相交与水箱横截面⊙O的圆心O,⊙O的半径为0.2m,AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB于B，OD⊥AD于D，AB＝2m,求屋面AB的坡度和支架BF的长.课后练习：【基础演练】1.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个坡面的坡度为__________2.如图，一束光线照在坡度为,被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是_________度.3．如图，小明从点A处出发，沿着坡度为10°的斜坡向上走了120m到达点B，然后又沿着坡度为15°的斜坡向上走了160m到达点C。

7.6锐角三角函数的简单应用⑶ 2012.12.6班级________姓名____________一、学习目标1．使学生知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系；2．能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.二、知识迁移如右图所示，斜坡AB 和斜坡A 1B 1哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡 的倾斜程度比较大，说明∠A ′＞∠A .从图形可以看出 ＞，即： ＞ . 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.1．坡度的概念，坡度与坡角的关系.如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图， 叫做坡度(或坡比) .记作i ，即i ＝， 坡度通常用l ∶m 的形式，如右上图，斜坡AB 的坡度是：i ＝ .叫做坡角.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i ＝ ，显然， .三、例题解析Ⅰ.掌握坡度的概念①某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为25米，则这个坡面的坡度为 __________.②（江苏宿迁）小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m ，则他升高了_________. Ⅱ.掌握两个常见的坡度①（甘肃兰州）某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i 1=1∶3，坝外斜坡的坡度i 2=1∶1，则两个坡角的和为 .②（湖南衡阳）如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3，堤高BC =5m ，则坡面AB 的长度是 .Ⅲ.一道常规题型.例1：如图,水坝的横截面是梯形ABCD ，迎水坡BC 的坡角为30°，背水坡AD 的坡度i ＝1:1.2，坝顶宽DC =2.5米，坝高4.5米，又知堤坝的总长度为5km.求:(1)背水坡AD 的坡角(精确到0.1°)；(2)坝底宽AB 的长(精确到0.1米).初三数学（下）教学案i ＝1∶3思考1：在上题中,为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加高堤坝，要求堤坝加高0.5米，已知堤坝的总长度为5km ，（保持迎水坡与背水坡的坡度不变），需要多少方土？(结果保留根号)思考2：上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD 加宽0.5米，背水坡AD 的坡度改为1:1.4，求完成该项工程所需的土方(结果保留根号)四、课后作业1. 如图，一束光线照在坡度为1:3的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是_________度.2. 如图是一个拦水大坝的横断面图，AD ∥BC ，(1) 若斜坡AB =10m ，大坝高为8m ，则斜坡AB 的坡度i AB ＝ .(2)如果坡度i AB ＝1∶ 3 ，则坡角∠B ＝ .(3)如果坡度i AB ＝1∶2，AB ＝8m ，则大坝高度为__ _.3. 如图，一段河坝的断面为梯形ABCD ，试根据图中数据，求出坡角和坝底宽AD (单位米，结果保留根号)4.（四川泸州）如图5，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1∶ 3. （1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）5.（山东济南）我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=600，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A不动，从坡顶B沿BC削进到E 处，问BE至少是多少米(结果保留根号)？【能力拓展】1.（四川凉山州）在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，AD∥BC，坝高10m，迎水坡面AB的坡度i=5∶3，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE的坡度i=5∶6.(1)求原方案中此大坝迎水坡AB的长.（结果保留根号）(2)如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC方向拓宽2.7m，求坝顶将会沿AD方向加宽多少米？2.（江苏苏州）如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）得窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处得俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1∶3，点P、H、B、C、A在同一个平面上.点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC.（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于________度；（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732）.3.（湖北黄冈）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1∶3（指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．且AB=20 m．身高为1.7 m的小明站在大堤A点，测得高压电线杆端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30 m，求高压电线杆CD的高度（结果保留三个有效数字，3≈1.732）.。

《7.6锐角三角函数的简单应用（3）》教学案教学目标:1． 使学生知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系，2． 能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，3． 进一步培养学生把实际问题转化为数学模型的能力。

教学重点、难点：重点：能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，难点：培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。

教学过程：一、情境创设：1．如图，一把梯子斜靠在墙上，当它的顶端向下滑动后，它的底端将如何运动？滑动前（图中AB ）与滑动后（图中A ′B ′）的位置的梯子，哪一个更陡些？你是根据什么判断的？你能用已学过的数学语言向同学描述梯子在两个不同位置的具体的倾斜程度呢？[提示：在这一过程中变化的量有哪些？如何变化的如右图所示，斜坡AB 和斜坡A ′B ′哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡AB 的倾斜程度比较大，说即tanB ＞tanB ′]在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。

二、引入新知 坡度的概念及坡度与坡角的关系。

1．如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面AB 的铅垂高度（AC ）与水平宽度（BC ）的比叫做坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝BCAC ， 坡度通常用l ：m 的形式，例如上图中若AC=2，BC=3，则i= l ：1.52．坡面与水平面的夹角叫做坡角。

从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i ＝tanB ，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。

（此时可以与学生再次回顾情境中的梯子问题）三、例题讲解。

例3．如图，水坝的横截面是梯形ABCD ，迎水坡BC 的坡角α为30°背水坡AD 的坡度i （即tan β）为1：1.2,坝顶宽DC=2.5m ，坝高4.5m 。

求（1）背水坡AD 的坡角β（精确到0. 1°）；（2）坝底宽AB 的长（精确到0.1m ） ［提示：tan39.80=56 , 1.73≈］拓展与延伸：在例题3中，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固坝堤，要求坝顶CD 加宽0.5m ，水坡AD 的坡度i （即tan β）改为1：1.4，已知堤坝的总长度为5km ，求完成该项工程所需的土方（精确到0.13m ）[提示：教师一定要求学生画出图形，然后结合图形与学生共同分析找到解决问题的办法]四、课堂练习：课本58页D1T [提示：将坡度改为3：4]，D2T [提示：将坡角改为300，且结果保留根号]，D3T [提示：将坡度改为4：3]五、课堂小结：1．会知道坡度、坡角的概念能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，２．懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为解直角三角形来解决。

锐角三角函数1. 锐角三角函数的定义：如图所示：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边。

（1）∠A 的正弦：sinA ＝a cA ∠的对边＝斜边； （2）∠A 的余弦：b cA ∠的邻边＝斜边； （3）∠A 的正切：a bA A ∠∠的对边＝的邻边； （4）∠A 的余切：A b A a ∠∠的邻边＝的对边 （是正切的倒数）。

2.30°，45°，60°角的三角函数值：1sin 302︒=，2sin 452︒=，3sin 602︒=； 3cos302︒=，2cos 452︒=，1cos 602︒=； 3tan 303︒=，tan 451︒=，tan 603︒=。

例题1：求下列各式的值：（1）22cos 60sin 60︒+︒ （2）cos 45tan 45sin 45︒-︒︒3.锐角三角函数之间的关系：（1）平方的关系：22sin cos 1A A +=；（2）商的关系： sin tan cos A A A=; （3）互余两角的三角函数关系：sin(90)cos A A ︒-=，cos(90)sin A A ︒-=。

注意：锐角的正弦和正切值随着角度的增大而增大；锐角的余弦值随着角度的增大而减小；对于锐角A 有0sin 1,0cos 1,tan 0,A A A <<<<>且他们都没有单位。

4.直角三角形的有关性质及判定：（1）直角三角形的性质：①直角三角形两个锐角互余；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③在直角三角形中，如果有一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半；④在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的锐角等于30︒；⑤在直角三角形中，两条直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222a b c +=；⑥1122Rt S ch ab ==（h 为斜边上的高），外接圆半径R ＝2c ＝斜边上的中线，内切圆半径r ＝2a b c +-。

锐角三角函数帮你解决生活中的问题锐角三角函数是学好三角学及本章内容的关键和基础. 锐角三角函数, 既是本章的重点，也是难点. 此内容又是数形结合的典范. 这涉及数学各个分支，又在工程，测量，军事，工业，农业，航海，航空等诸领域都有应用. 因而，对本单元的学习必须引起足够的重视，特别是在日常生活中的应用更加广泛，下面举几例与同学们共赏一、车厢离地面多少米？问题1：如图，自卸车厢的一个侧面是矩形ABCD ，AB ＝3米，BC ＝0.5米，车厢底部离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度060=θ，问此时车厢的最高点A 离地面多少米？（精确到1米）【思路解析：】此题只需求出点A 到CE 的距离，于是过A 、D 分别作AG ⊥CE ，DF ⊥CE ，构造直角三角形，解Rt △AHD 和Rt △CDF 即可求解．过点A 、D 分别作CE 的垂线AG 、DF ，垂足分别为G 、F ，过D 作DH ⊥AG 于H ，则有：23323360sin 0=⨯=⋅=CD DF 41215.060cos 0=⨯=⋅=AD AH 于是A 点离地面的高度为42.141233≈++（米）． 所以，车厢的最高点A 离地面约为4米．点评：本题只要将实际问题转化为解直角三角形的问题，然后，运用三角函数的有关知识即可解决．二、如何将角橱搬进房间？问题2：如图1所示是某立式家具（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高2米，房间高2.6米，所以不从高度方面考虑方案的设计），按此方案可以使该家具通过如图2中的长廊搬入房间，在图2中把你的设计方案画成草图，并说明按此方案可把家问题一图HG FDCB A具搬入房间的理由（注：搬动过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁）．问题二图1问题二图2【思路解析：】如说理图所示，作直线AB ，延长DC 交AB 于E ，由题意可知，△ACE 是等腰直角三角形，所以CE ＝0.5，DE ＝DC ＋CE ＝2，作DH ⊥AB 于H ，则245sin 2sin 0==∠⋅=HED DE DH ，∵5.12<，∴可按此方案设计图将家具从长廊搬入房间． 答案：设计方案草图如图所示．设计方案图设计方案说理图．点评：本题是一道比较贴近生活的实际问题，学生看到题目感到比较亲切、自然，但本题重点考查学生综合运用所学知识解决实际问题的探究和创新能力．本题还反映了生活中常见的实际情况，很有创意，并充分体现了学数学用数学的价值，角书橱过长廊进入房间，必须要放倒倾斜搬进，不能正面直入，方案的设计也多种多样．三、是否有进入危险区域的可能？问题3：一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A 处看见小岛C 在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东300方向，已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？【思路解析】此题是一个重要题型——航海问题，解这类题要弄清方位角、方向角的概念，正确地画出示意图，然后根据条件解题．此题可先求出小岛C 与航向（直线AB ）的距离，再与10海里进行比较得出结论．解：过C 作AB 的垂线CD 交AB 的延长线于点D ∵CD AD =30cot ，CDBC =060cot ， ∴030cot ⋅=CD AD ，60cot ⋅=CD BD ，∴20)60cot 30(cot 0=-=-CD BD AD ∴31033320=-=CD ， ∵310＞10．∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域．点评：正确解答这类问题，第一步，根据材料提供的生活背景，画出几何图形，并把实际问题数学化，分析出作为一个数学问题的已知条件和问题。

初三数学家庭作业第七章 锐角三角函数7.6 锐角三角函数的简单应用（3）一、知识要点1、如图，我们通常把坡面的铅直高度h 与水平宽度l 的比叫做＿＿＿＿＿＿＿，用字母i 表示，即lh i，坡度一般写成1：m 的形式（比的前项为1，后项可以是小数）.2、坡角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿3、坡度与坡角（α）的关系：i ＝＿＿＿＿＿＿，说明坡角越大，坡度也越小，坡面越陡.二、基础训练1、如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC 等于6m ，背水坡AB 的坡度i ＝1：2，则斜坡AB 的长为＿＿＿＿＿m （精确到0.1m ）2、如图，河堤横断面为梯形，上底为4m ，堤高为6m ，斜坡AD 的坡比为1：3，斜坡CB 的坡角为45°，则河堤横断面的面积为（ ）A 、96m 2B 、48m 2C 、192m 2D 、84m 2第1题 第2题3、如图，某水坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶宽BC ＝3m ，坝高15m ，斜坡AB 的坡度i ＝3：1，斜坡CD ＝25m ，坝长为5m ，求：（1）坝底AD 的宽；（2）建这一水坝需土多少方？4、水坝的横断面为梯形ABCD ，迎水坡AD 坡角为30°，背水坡BC 的坡度为1：1，坝顶AB 的宽为4m ，坝高为6m ，求：（1）坝底CD 的长；（精确到0.01m ）（2）迎水坡AD 的坡度；（3）若将此1000m长的堤坝加高0.5m，需要多少方土？（精确到1m3）5、一段路基的横断面是直角梯形，如图（1）所示，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如图（2）所示的技术要求，试求出改造后坡面的坡度是多少？6、如图，小河的横断面是梯形，河床底宽6米，上口宽20米，斜坡BH的坡度i＝1：1.5，斜坡AD的坡度i’＝1：2.（1）求河深；（2）现将2000米长的小河加深0.5米，求土方量.三、能力提升1、如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1：2的坡面上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（）2、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i＝1：3，坝外斜坡的坡度i＝1：1，则两个坡角的和为（）A、90°B、60°C、75°D、105°3、某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD＝68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡.（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长（精确到0.1m）.（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，把坡顶B沿BC削进到F点处，问BF至少是多少米（精确到0.1m）？★4、沪杭高速公路拓宽宁波段工程进入全面施工阶段，在现有双向四车道的高速公路两侧经加宽形成双向八车道.如图，路基原横断面为等腰梯形ABCD，AD∥BC，斜坡DC的坡度为i1，在其一侧加宽DF＝7.75m，点E、F分别在BC、AD的延长线上，斜坡FE的坡度为i2（i2<i1），设路基的高DM＝hm，拓宽后横断面一侧增加的四边形DCEF的面积为Sm2.（1）已知i2＝1：1.7，h＝3m，求ME的长；（2）不同路段的i2、i1、h是不同的，请设计一个求面积S的公式（用含i1、i2、h的代数式表示）（通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度，坡度常用字母i表示，即四、预习感知1、如图，一艘轮船向正东方向航行，上午9时测得它在灯塔P的南偏西30°方向，距离灯塔120海里的M处，上午11时到达这座灯塔的正南方向的N处，则这艘轮船在这段时间航行的平均速度是＿＿＿＿＿＿海里/小时.第1题第2题2、如图，身高1.6m的小亮用一个锐角为30°的直角三角形测量树高，当他手托三角尺从点E后退10m到达点B时，他的视线刚好沿三角尺的斜边穿过树顶点C，这颗树高大约是＿＿＿＿＿m（精确到0.01米，可能用到的数据：2≈1.414，3≈1.732）。

苏科版九年级上 盐中网校第9课时 锐角三角函数的简单应用（3）班级 学号 姓名[学习目标]1、能把实际问题转化为数学（三角函数）问题，从而用三角函数的知识解决问题．2、坡度＝斜坡的水平距离斜坡的垂直高度，一般地，我们将坡度i 写成1:m 的形式．坡度i 与坡角α之间的关系为：i ＝tan α． [学习过程]问题1、 如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6m ，测得斜坡的倾斜角是30°，求斜坡上相邻两树的坡面距离．问题2、同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD 的坡度i=1∶2.5，求坝底宽AD 和斜坡AB 的长(精确到0.1m)．问题3、某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC ∥AD ，斜坡AB 长22m ，坡角∠BAD=600，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离BE 的长；(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A 不动， 坡顶B 沿BC 削进到F 点处，问BF 至少是多少米？问题4、一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 现需将其整修并进行美化，方案如下：① 将背水坡AB 的坡度由1∶0.75改为1用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花 .⑴ 求整修后背水坡面的面积；⑵ 如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元， 那么种植花草至少需要多少元？问题5、 如图，城市规划期间，要拆除一电线杆AB ，已知距电线杆水平距离14米的D 处有一大坝，背水坡的坡度i ＝1: 0.5，坝高CF 为2米，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽为2米的人行道．请问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域)。