排列组合分类法

解排列组合应用题的26种策略

排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.解排列组合问题的基础是两个基本原理，分类用加法原理，分步用乘法原理，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时如何做到既不重复，又不遗漏，正确分每一步，这是比较困难的。要求我们周密思考，细心分析，理解并掌握解题的常用方法和技巧，掌握并能运用分类思想、转化思想、整体思想、正难则反等数学思想解决排列组合问题。 实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.

1、相邻排列——捆绑法：

n个不同元素排列成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？

先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有

种排法．然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有

种方法．由乘法原理得符合条件的排列，共

种．

例1.

五人并排站成一排，如果

必须相邻且

在

的右边，那么不同的排法种数有（ ）

A、60种 B、48种 C、36种 D、24种

解析：把

视为一人，且

固定在

的右边，则本题相当于4人的全排列，

种，答案：

.

例2 有3名女生4名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法？

解：先把3名女生作为一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排列成一排共有

种排法；女生内部的排法有

种，男生内部的排法有

种．故合题意的排法有

种．

2.相离排列——插空法：

元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

将n个不同元素排成一排，其中k个元素互不相邻

，有多少种排法？

先把

个元素排成一排，然后把k个元素插入

个空隙中，共有排法

种．

排列组合问题之分组分配问题

（一）（五个方面）

一、非均匀分组（分步组合法）

“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。

例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法

①分成3组，分别为1人、2人、4人；

②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。

解：①先选出1人，有17C种，再由剩下的6人选出2人，有26C种，最后由剩下的4人为一组，有44C种。由分步计数原理得分组方法共有124764105CCC（种）。

②可选分同步。先从7人中选出2人，有27C种，再由剩下的5人中选出3人，有35C种，分组方法共有2375210CC（种）。也可先选后分。先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有523753210CCC（种）。

二、均匀分组（去除重复法）

“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。

㈠全部均匀分组（去除重复法）

例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法

解：可选分同步。先选3人为一组，有37C种；再选3人为另一组，有34C种。又有2组都是3人，每22A种分法只能算一种，所以不同的分法共有33742270CCA（种）。

也可先选后分。不同的分法共有3366372270CCCA（种）。

㈡部分均匀分组（去除重复法）

例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法

解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C、28C、26C、44C种，又有3堆都是2个元素，每33A种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有222410864333150CCCCA（种）。

【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m个组的元素是均匀的，都有mmA种顺序不同的分法只能算一种分法。】

排列组合问题综合应用

一、特殊元素优先法

例1

.由5,4,3,2,1,0

可以组成多少个没有重复数字五位奇数？

分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。末位和首位有特殊要求。先排末位，

从5,3,1

三个数中任选一个共有1

3C

种组合；然后排首位，从4,2

和剩余的两个奇数中任选一

个共有1

4C

种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数种任选三个共有3

4A

种排列。

由分步计数原理得2883

41

41

3ACC

。

变式1

.7

种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花

盆里，问有多少不同的种法？

分析：先种两种不同的葵花在不受限制得四个花盒中共有2

4A

种排列，再种其他葵花有5

5A

种

排列。由分步计数原理得14405

52

4AA

。

二、相邻问题捆绑法

例2

.7

人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？

分析：将甲乙两个元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一

个符合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理

得4802

22

25

5AAA

。

变式2

.某人射击8

枪，命中4

枪，4

枪命中恰好有3

枪连在一起的情形的不同种数为多

少？

分析：命中得三枪捆绑成一枪，与命中得另一枪插入未命中四枪形成得五个空位，共有

202

5A

种排列。

三、相离问题插空法

例3

.一个晚会节目有4

个舞蹈，2

个相声，3

个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺

序有多少种？

分析：相离问题即不相邻问题，分两步。

第一步排2

个相声和3

个独唱共有5

5A

种排列，

第二步将4

个舞蹈插入第一步排好后形成的6

个空位中（包含首尾两个空位）共有4

6A

种排列，由分步计数原理得432004

65

2AA

.

变式3

.某班新年联欢会原定的5

个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果

将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为多少？

分析：将2

个新节目插入原定5

个节目排好后形成的6

个空位中（包含首尾两个空位）共有

组合恒等式

排列组合常见公式 基本计数原理

⑴加法原理和分类计数法

⒈加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

⒉第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。

⒊分类的要求 ：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。

⑵乘法原理和分步计数法

⒈ 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。

⒉合理分步的要求

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。

3.与后来的离散型随机变量也有密切相关。

4例题

【例1】 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有多少个？

分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。

设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c，可知b由a,c决定，

又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：分别从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，A（10,2）*2=90*2，因而本题为180。

【例2】 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?