抽样调查-第3章分层随机抽样

【抽样调查】分层随机抽样

第2部分：分层随机抽样

⽬录

概述

分层随机抽样的思路：当N,n都较⼤，总体单元之间的差异也较⼤时，简单随机抽样会出现⾼成本、低精度情形，解决⽅法是将总体划分为若⼲个⼦总体、减少

总体单元之间的差异。假设在各个⼦总体内已经满⾜实施简单随机抽样的条件，则可以在各个⼦总体内独⽴地进⾏简单随机抽样，再将各个⼦总体参数的估计值

进⾏加权，得到总体参数的估计。

分层抽样的概念：

层：如果⼀个包含N个单位的总体可以分成不重不漏的L个⼦总体，即每个单元必定属于且仅属于⼀个⼦总体，则这样的⼦总体称为层。有N

1+⋯+N

L=N。

分层抽样：在每⼀层中独⽴进⾏抽样，总的样本由各层样本组成，总体参数⼜按照各层样本参数的汇总作出估计。有n

1+⋯+n

L=n。

分层随机抽样：每层的样本，都独⽴地按照简单随机抽样进⾏，这样的分层抽样称为分层随机抽样。

符号规定：

h：层。从⽽N

h代表第h层的单位总数，n

h代表第h层的样本数。

i：层内单位号。从⽽Y

hi代表第h层第i个总体单元，y

hi代表第h层第i个样本单元。

W

h：层权，即W

h=Nh

N。

f

h：层内抽样⽐，即f

h=nh

N

h。

¯Y

h,Y

h,S2

h：层内总体参数（均值、总值与⽅差）。

¯y

h,y

h,s2

h：层内样本参数（样本均值、样本总值与样本⽅差）。

简单估计量

分层抽样⾸先根据各层的样本，计算出各层均值¯Y

h的适当估计值ˆ¯Y

h，然后再使⽤总体层权加权平均，得到总体均值¯Y的估计，即

ˆ¯Y

st=L

∑

h=1W

hˆ¯Y

h=1

NL

∑

h=1N

h^

¯Y

h.

对于分层随机抽样，每⼀层的ˆ¯Y

h就是h层的样本均值¯y

h，即

ˆ¯Y

st=L

∑

h=1W

h¯y

h=1

NL

∑

h=1N

h¯y

h.

注意这⾥的线性形式。

简单估计量的性质

⽆偏性

定理：对于分层随机抽样，ˆ¯Y

st是¯Y的⽆偏估计。

先证明关于总体均值的这个性质：总体均值等于各层均值关于层权的加权平均。

¯Y=1

NN

∑

i=1Y

i=1

NL

∑

h=1Nh

∑

i=1Y

hi=1

1 第2课时 分层抽样

导入新课

思路1.中国共产党第十八次代表大会的代表名额原则上是按各选举单位的党组织数、党员人数进行分配的，并适当考虑前几次代表大会代表名额数等因素．按照这一分配办法，各选举单位的代表名额，比十七大时都有增加．另外，按惯例，中央将确定一部分已经退出领导岗位的老党员作为特邀代表出席大会．这种产生代表的方法是简单随机抽样还是系统抽样？教师点出课题：分层抽样．

思路2.我们已经学习了两种抽样方法：简单随机抽样和系统抽样，本节课我们学习分层抽样．

推进新课

新知探究

提出问题

1．假设某地区有高中生2 400人，初中生10 900人，小学生11 000人，此地区教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因，要从本地区的学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？

2．想一想为什么这样取各个学段的个体数？

3．请归纳分层抽样的定义．

4．请归纳分层抽样的步骤．

5．分层抽样时应如何分层？其适用于什么样的总体？

讨论结果：

1．分别利用系统抽样在高中生中抽取2 400×1%＝24人，在初中生中抽取10 900×1%＝109人，在小学生中抽取11 000×1%＝110人．这种抽样方法称为分层抽样．

2．含有个体多的层，在样本中的代表也应该多，即样本从该层中抽取的个体数也应该多．这样的样本才有更好的代表性．

3．一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样．

4．分层抽样的步骤：

(1)分层：按某种特征将总体分成若干部分(层)；

(2)按抽样比确定每层抽取个体的个数；

(3)各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本；

(4)综合每层抽样，组成样本．

5．分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：

(1)分层时将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则，即保证样本结构与总体结构一致性．

1 例题1：某进出口公司出口一种名茶，为检查每包的重量，随机抽取样本100包，检查结果如下：

某出口公司茶叶抽查结果

每包重量（克） 包数（包） 组中值（x）

148-149

149-150

150-151

151-152 10

20

50

20 148.5

149.5

150.5

151.5

合计 100 ——

要求：以99.73%的置信度估计这批茶叶平均每包重量的范围。

解：①根据样本资料计算样本平均数和方差

②计算抽样平均误差

087.010087.0nx

③根据给定的置信度1-а=99.73%，得到Z=3

④计算抽样极限误差和置信区间

（克）261.0087.03xxz

可以99.73%的置信度保证，这批茶叶平均每包重量的范围为：261.03.150xx，即在150.039——150.561克范围内。

例题2：某乡水稻总面积20000亩，以不重复抽样方法从中抽取400亩实割实测求得样本平均亩产645千克，标准差72.6千克。要求抽样极限误差不超过7.2千克，试对该乡亩产量和总产量作估计。

解：已知N=20000，n=400，645x，s=72.6，2.7x

①抽样平均误差为

（千克）6.3)200004001(4006.72)1(22Nnnx

②根据给定的2.7x千克，确定亩产量和总产量的上下限

亩产下限（千克）8.6372.7645xx

亩产上限（千克）2.6522.7645xx 总产量下限=20000×637.8=1275.6（万千克）

总产量上限=20000×652.2=1304.4（万千克）

③根据26.32.7xxz，查表得：1-а=95.45%

因此，可以95.45%的置信度保证，该乡水稻平均亩产在637.8至652.2千克之间，总产量在1275.6至1304.4万千克之间。

1 高中数学 第一章 统计 1.1 分层抽样与系统抽样 第2课时 分层抽样备课资料 北师大版必修3

抽样调查及其主要方法

抽样调查可以分为两类，即概率抽样和非概率抽样.概率抽样是按照随机原则进行抽样，不加主观因素，组成总体的每个单位都有被抽中的概率(非零概率)，可以避免样本出现偏差，样本对总体有很强的代表性.非概率抽样是按主观意向进行的抽样(非随机的)，组成总体的很大部分单位没有被抽中的机会(零概率)，使调查很容易出现倾向性偏差.

现在被广泛应用的抽样调查是概率抽样.因此，现在的抽样调查是指概率抽样，其定义为：抽样调查，又称抽样推断，是一种重要的、科学的非全面调查方法.它根据调查的目的和任务要求，按照随机原则，从若干单位组成的事物总体中，抽取部分样本单位来进行调查、观察，用所得到的调查标志的数据来推断总体.

抽样调查按抽样的组织形式划分，有以下几种主要方法：

(1)简单随机抽样(也叫纯随机抽样，SPS抽样).也就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位.特点是：每个样本单位被抽中的概率相等，样本的每个单位完全独立，彼此之间无一定的关联性和排斥性.简单随机抽样是其他各种抽样形式的基础.通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法.

(2)等距抽样(也叫机械抽样或系统抽样，SYS抽样).是将总体各单位按一定标志或次序排列成为图形或一览表式(也就是通常所说的排队)，然后按相等的距离或间隔抽取样本单位.特点是：抽出的单位在总体中是均匀分布的，而且抽取的样本可少于纯随机抽样.等距抽样既可以用同调查项目相关的标志排队，也可以用同调查项目无关的标志排队.等距抽样是实际工作中应用较多的方法，目前我国城乡居民收支等调查，都是采用这种方式.

(3)类型抽样(也叫分层抽样，STR抽样).就是将总体单位按其属性特征分成若干类型或层，然后在类型或层中随机抽取样本单位.特点是：由于通过划类分层，增大了各类型中单位间的共同性，容易抽出具有代表性的调查样本.该方法适用于总体情况复杂，各单位之间差异较大，单位较多的情况.