2018年上海市青浦区高考数学二模试卷
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2018 年上海市青浦区高考数学二模试卷
副标题
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
1. 设 α， β是两个不同的平面， b 是直线且 b? β．则“ b⊥α”是“ α⊥β”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2. 若已知极限 ，则 的值为（ ）
A. -3 B. C. -1 D.
3. 已知函数 f（ x）是 R 上的偶函数， 对于任意 x∈R 都有 f（ x+6）=f（x）+f（ 3）成立，
当 x ， x [0 3]
，且 x
1≠x2 时，都有 ．给出以下三个命题：
1 2∈ ，
①直线 x=-6 是函数 f （ x）图象的一条对称轴；
②函数 f（ x）在区间 [-9， -6] 上为增函数；
③函数 f（ x）在区间 [-9， 9]上有五个零点．
问：以上命题中正确的个数有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4. 如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星．设正八角星的
中心为 O，并且 ．若将点 O 到正八角
星 16 个顶点的向量都写成 的形式，
则 λ+μ的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共 12 小题，共 54.0 分）
5. 不等式 |x-3|＜ 2 的解集为 ______．
6. 若复数 z 满足 2 -3=1+5i （i 是虚数单位），则 z=______．
7. 若 ，则 =______．
8. 已知两个不同向量 ， ，若 ，则实数 m=______ ．
9. 在等比数列 { an} 中，公比 q=2，前 n 项和为 Sn，若 S5=1，则 S10=______．
10. 若 x，y 满足 ．则 z=2x-y 的最小值为 ______．
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11. 如图所示， 一个圆柱的主视图和左视图都是边长为 1 的正
方形，俯视图是一个直径为 1 的圆，那么这个圆柱的体积
为 ______．
12. 展开式中 x2 的系数为 ______．
13. 高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、
政治科目考试中达 A+的概率分别为 、 、 ，这三门科目考试成绩的结果互不影
响，则这位考生至少得 2 个 A+ 的概率是 ______．
14. f x [-2 2] x 0 2] f x =2x -1 g x 已知 （ ）是定义在 ， 上的奇函数，当 ∈（ ， 时，（） ，函数 （ ）
2 [-2 2] x [-2 2] f x ）≤g（x ）， =x -2x+m．如果对于任意的 ， ，总存在 ， 1 2 x1∈ 2∈ ，使得 （
则实数 m 的取值范围是 ______．
15. 已知曲线 C： y=- ，直线 l：y=2，若对于点 A（0， m），存在 C 上的点 P 和
l 上的点 Q，使得 = ，则 m 取值范围是 ______．
16. 已知 ，则 M 的取值范围是 ______ ．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 76.0 分）
17. 如图，在正四棱锥 P-ABCD 中， ，E，F
分别为 PB， PD 的中点．
（ 1）求正四棱锥 P-ABCD 的全面积；
（ 2）若平面 AEF 与棱 PC 交于点 M ，求平面 AEMF 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小（用反三角函数值表
示）．
18. 已知向量 ， ，设函数 ．
（ 1）若 ， ，求 x 的值；
（ 2）在 △ABC 中，角 A， B，C 的对边分别是 a， b， c 且满足 ，
求 f（ B）的取值范围．
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19. 已知椭圆 的一个顶点坐标为 A 2 0
），且长轴长是短轴 （ ，
长的两倍．
（ 1）求椭圆 C 的方程；
（ 2）过点 D（ 1，0）且斜率存在的直线交椭圆于 G、 H， G 关于 x 轴的对称点为
G'，求证：直线 G'H 恒过定点（ 4， 0）．
20. 设函数 ．
（ 1）求函数的零点；
（ 2）当 a=3 时，求证： f（ x）在区间（ -∞， -1）上单调递减；
（ 3）若对任意的正实数 a，总存在 x0∈[1， 2]，使得 f（ x0）≥m，求实数 m 的取值
范围．
21. 给定数列 { an } ，若数列 { an} 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．
（ 1）已知数列 { an} 的通项公式为 ，试判断 { an} 是否为封闭数列，并说明理
由；
（ 2）已知数列 { an} 满足 an+2+an=2an+1 且 a2-a1=2，设 Sn 是该数列 { an} 的前 n 项和，
试问：是否存在这样的“封闭数列”{ an } ，使得对任意 n∈N* 都有 Sn≠0，且
，若存在，求数列 { an} 的首项 a1 的所有取值；若不存在，说
明理由；
（ 3）证明等差数列 { an} 成为“封闭数列”的充要条件是： 存在整数 m≥-1，使 a1=md．
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答案和解析
1.【答案】 D
【解析】
解：由线面垂直的定 义得若 b? β．则 b⊥α时，不能得出 α⊥β成立，即充分性不成立，
反之若 α⊥β，则 b⊥α不一定成立，即必要性不成立，故 “b⊥α”是“α⊥β”的既充分也不必要条件，
故选：A．
根据线面垂直和面面垂直的定 义和性质进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断， 结合线面垂直和面面垂直的性 质
和定义是解决本 题的关键．
2.【答案】 D
【解析】
解：∵ ；
∴ = ．
故选：D．
根据 对
分子分母同除以 n，再求极限即可． ，
考查极限的概念及求法，以及极限的运算．
3.【答案】 B
【解析】
解：根据题意，对于任意 x∈R，都有 f （x+6）=f （x）+f （3）成立，
令 x=-3，则 f（-3+6）=f（-3）+f （3），
又因为 f （x）是R 上的偶函数，所以 f（3）=0，则有 f （x+6）=f （x），所以f（x）的周
期为 6；
据此分析三个命 题：
对于① ，函数为偶函数，则函数的一条 对称轴为 y 轴，又由函数的周期为 6，
则直线 x=-6 是函数 f（x）图象的一条 对称轴，① 正确；
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对于② ，当x ，x ∈[0，3]，且x ≠x时，都有 ，
1 2 1 2
则函数 y=f（x）在[0，3]上为增函数，
因为 f （x）是R 上的偶函数，所以函数 y=f （x ）在[-3，0]上为减函数，
而 f（x）的周期为 6，所以函数 y=f （x）在[-9 ，-6]上为减函数；② 错误；
对于③ ，f（3）=0，f （x）的周期为 6，
所以 f （-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，
函数 y=f （x）在[-9 ，9]上有四个零点；③ 错误；
三个命题中只有 ① 是正确的；
故选：B．
根据题意，利用特殊值法分析可得 f（-3+6）=f（-3）+f （3），结合函数的奇偶性
可得 f （3）=0，进而可得 f （x+6）=f （x），所以f（x）的周期为 6；据此分析三个命
题，综合即可得答案．
本题考查抽象函数的性 质以及应用，关键是求出 f（3）的值，分析函数的周期
与对称性．
4.【答案】 C
【解析】
解：以O 为原点，以 OA 为 x 轴建立
平面直角坐 标系，如图所示：
设圆 O 的半径为 1，则 OM=1 ，过 M
作 MN ∥OB，
交 x 轴于 N，
则 △OMN 为等腰直角三角形，
∴ON= OM= ，
∴ = + 时
λ +μ =1+ ．
，此
同理可得： = - ，此时 λ+μ=-1-．
∴λ +μ的最大 值为 值为
． 1+，最小 -1-
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