2018上海普陀区高考数学二模试卷
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2018 上海普陀区高考数学二模试卷
2018.4
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格
填对前 6 题得 4 分、后 6 题得 5 分，否则一律得零分.
1.抛物线 x2 12y 的准线方程为_______.
2.若函数 f (x) 1
x 2m 1 是奇函数，则实数 m ________.
3.若函数 f (x) 2x 3 的反函数为 g(x) ，则函数 g(x) 的零点为________.
4.书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右
摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为_______（结果用数值表示）.
5.在锐角三角形 ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，若 (b2 c2 a2 ) tan A bc ，则角 A
的大小为________.
1
6.若 (x3 )n 的展开式中含有非零常数项，则正整数 n 的最小值为_________.
x 2
7.某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆
车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 1
20 和 1
21 ，且各车是否发生事故
相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为_________（结果用最简分数表示）.
8.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
2 x t 2
2
y t 4 2
（ t 为参数），椭圆 C 的参数方程为
x
y
cos
1 sin 2 （ 为参数），则直线l 与椭圆C 的公共点坐标为__________. 9.设函数 f (x) log x （ m 0且 m 1），若 m 是等比数列a （ n N* ）的公比，且
m n
f (a a a a ) 7 ，则 f (a2 ) f (a2 ) f (a2 ) f (a2 ) 的值为_________.
2 4 6 2018 1 2 3 2018
牛人数学工作室助力高考数学冲刺满分10.设变量 x 、 y 满足条件 x y 0
2x y 2 y 0
x y m ，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数 m 的取值范围是
__________.
11.设集合
x 1 M y | y ,x R 2 1
， | 1 1 1 2 ,1 2 N y y x m x x
m 1 m 1 ，
若 N M ，则实数 m 的取值范围是 .
12.点 F ， 1 x 2
F 分别是椭圆 C : y 1的左、右两焦点，点 N 为椭圆 C 的上顶点，若动点 M 满足：
2
2 2
2 MN 2MF MF 1 2
，则 MF MF 的最大值为__________.
1 2 2
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，
将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.
13.已知i 为虚数单位，若复数 (a i)2i 为正实数，则实数 a 的值为（ ）
( 2 B1 C 0 D 1 A)
14.如图所示的几何体，其表面积为 (5 5) ，下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等，上部圆锥的母线
长为 5 ，则该几何体的主视图的面积为 （ ）
(A 4 B 6 C 8 D10
) 第 14 题图
15.设 S 是无穷等差数列a 的前 n 项和（
n n nN ），则“ lim * n S n 存在”是“该数列公差 d 0 ”的（ ）
(A) 充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件
牛人数学工作室助力高考数学冲刺满分16.已知 k N* ， x, y, z R ，若 k(xy yz zx) 5(x2 y2 z2) ，则对此不等式描叙正确的是（ ）
( 若 k 5 ， 则 至．少．存．在．一 个 以 x, y, z 为边长的等边三角形
A) B若 k 6 ，则对任意满足不等式的 x, y, z 都． 存．在． 以 x, y, z 为边长的三角形 C若 k 7 ，则对任意满足不等式的 x, y, z 都． 存．在． 以 x, y, z 为边长的三角形 D若 k 8，则对满足不等式的 x, y, z 不． 存．在． 以 x, y, z 为边长的直角三角形
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内
写出必要的步骤
17. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分
如图所示的正四棱柱 ABCD A B C D 的底面边长为1，侧棱
1 1 1 1 AA ,点 E 在棱
1 2 CC 上， 1
且 CE=CC ( 0 ). 1
D1 C1
（1）当 1
= 时，求三棱锥 2 D EBC 的体积；
1 A1 B1
（2）当异面直线 BE 与 D C 所成角的大小为 arccos 1 2
3 时，求 的值. E
D
C
A
B
第 17 题图 18.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分
已知函数 f (x）= sin xcos x sin2 x ， xR .
（1）若函数 f (x) 在区间[a, ]上递增，求实数 a 的取值范围；
16
（2）若函数 f (x) 的图像关于点Q(x , y )对称，且
1 1
x
1 [ , ]，求点Q 的坐标. 4 4
19.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分
某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设.规划中的轨道交通 s 号线线路示意图如图所示.已知
M, N 是东西方向主干道边两个景点，P,Q 是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O 均为
5 2 km ，线路 AB 段上的任意一点到景点 N 的距离比到景点
M 的距离都多10 km ，线 路 BC 段上的任意一点到O 的距离都
相等，线路CD 段上的任意一点到景点Q 的距离比到景点 P 的
距离都多10km，以O 为原点建立平面直角坐标系 xOy .
（1）求轨道交通 s 号线线路示意图所在曲线的方程；
（2）规划中的线路 AB 段上需建一站点G 到景点Q 的距离最
第 19 题图
近，问如何设置站点G 的位置？
牛人数学工作室助力高考数学冲刺满分20. （本题满分 16 分）本题共有 3 小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分.
定义在 R 上的函数 f (x) 满足：对任意的实数 x ，存在非零常数t ，都有 f (x t) tf (x) 成立.
（1）若函数 f (x) kx 3，求实数 k 和t 的值；
（2）当t 2时，若 x[0, 2]， f (x) x(2 x)，求函数 f (x) 在闭区间[2, 6]上的值域；
（3）设函数 f (x) 的值域为[a,a] ，证明：函数 f (x) 为周期函数.
21.（本题满分 18 分）本题共有 3 小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分. 若数列a 同时满足条件：①存在互异的 p,qN* 使得
a a c （ c 为常数）； n p q
②当 n p 且 n q 时，对任意 n N* 都有 a c ，则称数列a 为双底数列. n n
（1）判断以下数列
a 是否为双底数列（只需写出结论不必证明）；
n
6 n
① ； ③ a n 3n 5
a n ； ② a sin n n n
n 2
（2）设 101 2n,1 n
50 a n n50 2 m,n 50 ，若数列a 是双底数列，求实数 m 的值以及数列 a 的前 n 项和 n n S ； n
n
（3）设
a kn 9 3a kn 9 n
10 ，是否存在整数 k ，使得数列a 为双底数列？若存在，求出所有的 k 的值； n
若不存在，请说明理由. 普陀区 2018 年高考数学二模答案（参考）
一、填空题
1 2 3 4 5 6
y 3 1
2 x 3 24
6 5
7 8 9 10 11 12
2
21 2 2 ( , ) 2 4 1990 4
(0,1] [ , ) (1, 0) 6
10 3
二、选择题
13 14 15 16
D B A B
三、解答题
1
17.（1）由CE= CC ，得CE 1， 又正四棱柱 ABCD A B C D ，则
1 1 1 1 1 2
1
则 …………………………… 4 分
V S D C D1 EBC Rt ECB 1 1 3 D C 平面 EBC ，
1 1
1 1 1 CE BC .………………………… 6 分
3 2 6
（2）以 D 为原点，射线 DA 、 DC 、 DD 作 x 轴、 y 轴、 z 轴 的 正
1
半轴，建立空间直角坐标系（如图），……………… 2 分
则 B(1,1, 0) ， E(0,1, 2) ， D1(0, 0, 2) ，C(0,1, 0) ，
即 D1C (0,1,2) ， BE (1,0, 2) ………………………………………………… 4 分
又异面直线 BE 与 D C 所成角的大小为 arccos 1 2
3 ，
则 D C BE
2 0 ( 1) 1 0 ( 2) 2 4 1
,……………………… 6 分
3 5 1 4 5 20 D C BE 2 2
1
5 化简整理得162 5，又 0 ，即 . ……………………………………… 8 分
4
1 cos 2x 1
