高等代数第9章习题参考答案

高等代数(北大版)第9章习题参考答案(总33页)

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--内页可以根据需求调整合适字体及大小-- 第九章 欧氏空间

1.设ija是一个n阶正定矩阵,而

),,,(21nxxx, ),,,(21nyyy,

在nR中定义内积),(,

1) 证明在这个定义之下, nR成一欧氏空间；

2) 求单位向量

)0,,0,1(1, )0,,1,0(2, … , )1,,0,0(n，

的度量矩阵；

3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。

解 1)易见),(是nR上的一个二元实函数，且

(1) ),()(),(，

(2) ),()()(),(kkkk，

(3) ),(),()(),(，

(4) jijiijyxa,),(，

由于A是正定矩阵，因此jijiijyxa,是正定而次型，从而0),(，且仅当0时有0),(。

2)设单位向量

)0,,0,1(1, )0,,1,0(2, … , )1,,0,0(n，

的度量矩阵为)(ijbB，则 )0,1,,0(),()(ijiijbnnnnnnaaaaaaaaa212222211211)(010j=ija，),,2,1,(nji，

因此有BA。

4) 由定义，知

jijiijyxa,),(，,(,)ijijijaxx，,(,)ijijijayy，

故柯西—布湿柯夫斯基不等式为

2.在4R中,求,之间,(内积按通常定义)，设:

1) )2,3,1,2(, )1,2,2,1(，

2) )3,2,2,1(, )1,5,1,3(，

3) )2,1,1,1(, )0,1,2,3(。

解 1)由定义,得

012)1(32112),(，

所以

2,。

2)因为

1813521231),(，

1833222211),(，

3633221133),(， ,,,ijijijijijijijijijaxyaxxayy4 22361818,cos，

所以

4,。

3)同理可得

3),(, 17),(, 3),(, 773,cos，

所以773cos,1。

3. ),(d 通常为,的距离，证明；

),(),(),(ddd。

证 由距离的定义及三角不等式可得

)()(),(d



),(),(dd。

4在R4中求一单位向量与3,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1正交。

解 设4321,,,xxxx与三个已知向量分别正交，得方程组

03200432143214321xxxxxxxxxxxx，

因为方程组的系数矩阵A的秩为3，所以可令

x3,0,414213xxx，即3,1,0,4。

再将其单位化，则

3,1,0,42611a， 即为所求。

5．设n,,21是欧氏空间V的一组基，证明：

1） 如果V使,,,2,10,nii，那么0。

2） 如果V21,使对任一V有,,21，那么21。

证 1)因为n,,21为欧氏空间V的一组基，且对V，有

ni,,2,10, ，

所以可设nnkkk2211，

且有

nnnnkkkkkk,,,,,22112211

即证0。

2)由题设，对任一V总有,211，特别对基i也有

ii,211，或者nii,,2,10,21，

再由1)可得021，即证21。

6设3,2,1是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：

321332123211223122312231

也是一组标准正交基。

证 因为

3213212122,2291,

3322112,,22,291 0)2()2(491，

同理可得

0,,3231，

另一方面

3213211122,2291,

332211,,4,491

1)144(91，

同理可得

1,,3322，

即证321,,也是三维欧氏空间中的一组标准正交基。

7.设54321,,,,也是五维欧氏V空间中的一组标准正交基, 3221,,LV，其中

511 , 4212 , 32132，

求1V 的一组标准正交基。

解 首先证明321,,线性无关.事实上，由

001010100110211),,,,(),,(54321321，

其中

001010100110211A的秩为3，所以321,,线性无关。

将正交化，可得 5111，

),(),(11222254212121，

单位化，有

)(22511，

)22(101054212，

)(2153213，

则321,,为1V 的标准正交基。

8. 求齐次线性方程组

0032532154321xxxxxxxxx

的解空间(作为5R的子空间)的一组标准正交基。

解 由

32153215423xxxxxxxxx

可得基础解系为

)1,5,0,0,1(1，)1,4,0,1,0(2，)1,4,1,0,0(3，

它就是所求解空间的一组基。将其正交化，可得

)1,5,0,0,1(11，

)2,1,0,9,7(91),(),(1111222，

)2,1,15,6,7(151),(),(),(),(222231111333，

再将321,,单位化,可得 )1,5,0,0,1(3311，)2,1,0,9,7(15312，)2,1,15,6,7(35313，

则321,,就是所求解空间的一组标准正交基。

9.在R[X]4中定义内积为(f,g)=dxxgxf)()(11 求R[X]4的一组标准正交基(由基1.32,,出发作正交化)。

解 取R[X]4的一组基为,,,,1342321xxx将其正交化,可得111，

x1111222),(),(，其中(•01),1112dxx，又因为

32),(),(2112213dxx，

•211),(1111dx， •0),(21123xdxx，

所以31),(),(),(),(2222231111333x，

同理可得xx53),(),(),(),(),(),(333334222241111444，

再将4321,,,单位化，即得221111，

x261222，)13(41023x，)35(41434xx，

则4321,,,即为所求的一组标准正交基。

10.设V是一n维欧氏空间,0是V中一固定向量,

1)证明:V},0),(|{1Vxaxx是V的一个子空间；

2)证明:V1的维数等于n-1。

证 1)由于0,01V因而V1非空.下面证明V1对两种运算封闭.事实上,任取,,121Vxx 则有 (0),(),21xx，于是又有(0)()(),2121xxxx，

所以121xxV。另一方面，也有 (0),(),11xkkx， 即11kxV。故V1是V的一个子空间。

2)因为0是线性无关的，可将其扩充为V的一组正交基2,,n，且(0),i (),3,2ni，1(2,3,)iVin。下面只要证明:对任意的,1V可以由n,,32线性表出，则1V的维数就是1n。

事实上，对任意的1V，都有V，于是有线性关系nnkkk221，且 ),(),(),(),(221nnkkk，

但有假设知 ),,2,1(0),(),(nii，

所以0),(1k，又因为0，故01k，从而有nnkk22，

再由的任意性，即证。

11．1）证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。

2）利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基。

证：1）设n,,,21与n,,,21是欧氏空间V的两组不同基，它们对应的度量矩阵分别是)(ijaA和)(ijbB，另外，设n,,,21到n,,,21的过渡矩阵为)(ijcC，即nnnnnnnncccccc221112121111 ，

),(),(1111nnjjnniijiijccccb

=nknnjjkkiccc111),(

=nknssksjkicc11),(

=nknskssikicc11，