数列求和的基本方法和技巧

1 静宁一中高一级数学科导学案

基本思路：删繁就简，去虚务实，以练习为主线，呈现双向流程，凸显教学效果

课题 专题二 数列求和的基本方法和技巧

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、 等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11

2、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn

3、 )1(211nnkSnkn 4、)12)(1(6112nnnkSnkn

5、 213)]1(21[nnkSnkn

[例1] 已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.

[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求1)32()(nnSnSnf的最大值.

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：132)12(7531nnxnxxxS………………………①

2 [例4] 求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.

变式练习：

(1)求和23nS+nxxxx…… (2) 23nS23+nnxxxx……

三、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa.

[例5] 求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值

变式训练：1.已知函数222xxfx

（1）证明：11fxfx；

一　

数列求和的方法与技巧　

毕　成　

（张家口市宣化第一中学，河北张家口０７５１００）　

数列在历年高考中占有较大比重．分值约占总分的六分　

之一．数列题的解答对考生的分数有着至关重要的影响．而数　列试题的考查又以数列求和为主．因此，掌握数列求和的方法　

与技巧显得尤为重要．初学这部分内容时，学生大都有畏难情　绪．以至没有学好此内容．其实数列求和是有规律的，可以从　它们的本质特点出发．寻找最一般的解法．从而得出结论．下　

面将根据数列的不同特点。给出数列求和的一般形式，对数列　

求和的方法与技巧进行探究与总结．　数列求和的指导思想：看通项。定方法．先求出数列的通　

项公式，然后根据数列通项的具体形式决定用哪种方法．　

一、公式法　

等差数列求和公式：　：一ｎ（ａｊ＋ａ）：　．＋　！二　ｄ　

等比数列求和公式：ｓ　

补充公式：１２＋２　＋…＋ｎ　：—ａｌ－—ａ．ｑ，ｑ≠１　ｌ－ｑ　‘　

（２ｎ＋１）　

１　３＋２　＋…＋ｎ　＝一１　ｎ２（ｎ＋１）　４　

典型例题：例１．数列｛ａ　ｌ满足　＝ｎ－＋３ｎ一１（ｎ∈Ｎ），求数列【ａｎ｝　

的前ｎ项和Ｓ　．　

分析：数列ｆａｎ）的通项由“ｎ　’和“３ｎ－１”两部分组成，“ｎ　’　

可以用１　２＋２　＋…＋ｎ　：＿１　ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）这个公式求和，“３ｎ一　

１”可以用等差数列求和公式求和。因此本题用公式法求和　

较简单．　解：Ｓｎ＝（１２＋２　＋…＋ｎ　）＋（２＋５＋…＋３ｎ一１）　

：吉ｎ（ｎ＋１）（２ｎ　＋　

：—１—（ｎ３＋６ｎ２＋２ｎ）　３　二、错位相减法　

形如｛ａ　・ｂ　），其中一个是等差数列，另一个是等比数列，此　

类题型用错位相减法求和．　

典型例题：例２．数列｛ａ　）满足ａ　＝（２ｎ－１）・３ｎ（ｎＥＮ），求数列　

｛ａ　ｌ的前ｎ项和Ｓ　．　

解：因为Ｓ　＝ｌ・３＋３．３　＋５・３　＋…＋（２ｎ一１）．３　

￣）ｉ：Ｉ）２３Ｓ＝１．３ｚ＋３．３　＋５．３　＋…＋（２ｎ一１）．３　。　

所以ｓ　一３Ｓ　＝１・３＋２（３　＋３　＋－．．＋３“）一（２ｎ—１）・３　

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数列求和的方法和技巧

作者：张文明

来源：《电子世界》2013年第05期

数列在高考中的要求：

1.等差数列与等比数列是两种最基本、最重要及应用最广泛的数列，其他数列问题的解决往往借助它们完成，或经过变形转化为等差或等比数列，或利用等差、等比数列的研究方法。所以等差数列与等比数列的基础知识是数列中最基本、最重要也最易把握的知识。

2.数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式，它是数列的核心。应弄清通项公式的意义——项数的函数；理解通项公式的作用——可以用通项公式求数列的任意一项的值及对数列进行一般性的研究。

3.数列的递推式是数列的另一种表达形式，可以是一阶线性递推、二阶线性递推、二次函数形式递推、勾函数形式递推、与奇偶联系的递推等，是高考的热点。要注重叠加、叠乘、迭代等解题技巧的训练。

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第 1 页 共 4 页 数列求和的基本方法和技巧

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考中占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、 等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11

2、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn

二、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例1、已知数列{an}中，a1＝2，点(an－1，an)(n>1，且n∈N*)满足y＝2x－1，则a1＋a2＋„＋a10＝________.

练一练①在递增数列{an}中，nS表示数列{an}的前n项和，)(,111Nnccaaann为常数，，且321,,Saa成等比数列。

（1）求c的值。

（2）若nnnnbbbNnab242,,)31(2求。

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第 2 页 共 4 页 三、裂项相消法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）111)1(1nnnnan （2）)11(1)(1knnkknnan

（3）)121121(21)12)(12(1nnnnan

（4）nnnnan111

练一练①在数列{an}中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{bn}的前n项的和.