数列求和的基本方法和技巧学生用

第 1 页 共 6 页 1 数列求和的基本方法和技巧

数列求和 通项分式法 错位相减法 反序相加法 分组法 分组法 合并法

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、 等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11

2、

等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn

[例] 求和1＋x2＋x4＋x6＋…x2n+4(x≠0)

注：(1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x是否为0进行讨论．(2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n项．

对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+1222n），……的前顶和为ns，则ns的值。

二、错位相减法求和

错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。

[例] 求和：132)12(7531nnxnxxxS（1x）………………………①

第 2 页 共 6 页 2 注意、1 要考虑 当公比x为值1时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项 此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。

对应高考考题：设正项等比数列na的首项211a，前n项和为nS，且0)12(21020103010SSS。（Ⅰ）求na的通项； （Ⅱ）求nnS的前n项和nT。

三、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa.

[例] 求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

若数列na的通项公式为nnnbac，其中nnba,中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。

[例]：求数列1614,813,412,211的前n项和；

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）)()1(nfnfan （2）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin

（3）111)1(1nnnnan （4）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan 第 3 页 共 6 页 3 （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnnan

[例] 求数列,11,,321,211nn的前n项和.

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

注意： 余下的项具有如下的特点

1余下的项前后的位置前后是对称的。

2余下的项前后的正负性是相反的。

[练习] 在数列{an}中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{bn}的前n项的和.

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog,9aaaaa求的值.

数列的求和方法多种多样，它在高考中的重要性也显而易见。我们的学生在学习中必须要掌握好几种最基本的方法，在解题中才能比较容易解决数列问题。

第 4 页 共 6 页 4 数列通项公式的十种求法

一、公式法

例1 已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列{}2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列{}na的通项公式。

二、累加法

例2 已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。

例3 已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1231nnnaa转化为1231nnnaa，进而求出11232211()()()()nnnnnaaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。 第 5 页 共 6 页 5 例四已知数列{}na满足1132313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式13231nnnaa转化为111213333nnnnnaa，进而求出112232111122321()()()()333333333nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa，即得数列3nna的通项公式，最后再求数列{}na的通项公式。

三、累乘法

例5

已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nnnana转化为12(1)5nnnana，进而求出13211221nnnnaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。

例6 已知数列{}na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，，求{}na的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)nnanan转化为11(2)nnanna，进而求出132122nnnnaaaaaaa，从而可得当2nna时，的表达式，最后再求出数列{}na的通项公式。 第 6 页 共 6 页 6 四、待定系数法

例7 已知数列{}na满足112356nnnaaa，，求数列na的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1235nnnaa转化为1152(5)nnnnaa，从而可知数列{5}nna是等比数列，进而求出数列{5}nna的通项公式，最后再求出数列{}na的通项公式。

例8 已知数列{}na满足1135241nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式13524nnnaa转化为115223(522)nnnnaa，从而可知数列{522}nna是等比数列，进而求出数列{522}nna的通项公式，最后再求数列{}na的通项公式。

例9 已知数列{}na满足21123451nnaanna，，求数列{}na的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式212345nnaann转化为2213(1)10(1)182(31018)nnannann，从而可知数列2{31018}nann是等比数列，进而求出数列2{31018}nann的通项公式，最后再求出数列{}na的通项公式。