材料力学中的能量法

第１１卷第３２期２０１１年１１月　１６７１—１８１５（２０１　１）３２—７８８０—０４　科学技术与工程　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｖｏ１．１１　Ｎｏ．３２　ＮＯＶ．２０１１　⑥２０１　１　Ｓｃｉ．Ｔｅｃｈ．Ｅｎｇｒｇ．　

力学　

ＭＳＣ．Ｐａｔｒａｎ中能量法计算　

断裂力学参数的应用　

张允涛　

（上海飞机设计研究院强度部，上海２００２３２）　

摘要介绍了有限元中能量法，包括虚拟裂纹闭合法（ＶＣＣＭ）及等效区域Ｊ积分（ＥＤＩ）计算线弹性断裂力学参数的思路，使　用ＰＣＬ语言在ＭＳＣ．Ｐａｔｒａｎ中开发了能量法计算应力强度因子的模块。该模块可用于任意二维线弹性断裂力学参数的求解，　最后通过算例验证了该模块的计算结果，并讨论了网格对计算精度的影响。　关键词　虚拟裂纹闭合法（ＶＣＣＭ）　等效区域Ｊ积分（ＥＤＩ）　应力强度因子ＰＣＬ　ＭＳＣ．Ｐａｔｒａｎ　中图法分类号０３４６．１；　文献标志码Ａ　

线弹性断裂力学（ＬＥＦＭ）作为飞机结构工程中　最为成熟的应用部分，核心内容就是计算断裂力学　参数——应力强度因子　（Ｓｔｒｅｓｓ　ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ　ｆａｃｔｏｒｓ，　

ＳＩＦ）。由于现代飞机结构的高度复杂性，简便、快速　

地获得具有足够精度的应力强度因子显得至关重　要。目前，有限元法是最为常见和有效的方法之一。　

有限元法计算应力强度因子，主要包括位移　法，应力法和能量法等，前两种方法都不可避免地　

遇到裂纹尖端奇异性（ｒ　）的问题，通常需要使用　

裂尖奇异单元或通过数值外推法来解决，给计算带　来一定难度¨Ｊ。能量法因为不必过多依赖裂尖应　

力应变特征，只需在裂尖布置细化的有限元网格便　

能得到足够精确的结果，因而具有明显的优势。虚　拟裂纹闭合法（ＶＣＣＭ）作为能量法的一种，最早由　Ｒｙｂｉｃｈｉ和Ｋａｎｎｉｎｅｎ提出并应用在二维裂纹中，其　思路是通过裂尖的能量释放率Ｇ来获得应力强度　因子　＿４　。ｌ，积分由Ｊ．Ｒｉｃｅ于１９６８年提出　，为了　

第十三章能量法

一、选择题

1. 应用莫尔积分dxEIxMxMl)()(解题时，正确的是（ B ）

A . 单位力（广义）只能加在载荷作用点处；

B .单位力（广义）只能加在欲求位移的点处；

C . 只能加单位集中力；

D . 只能加单位集中力偶。

2. 线弹性材料拉杆，在截面B、C上分别作用有集中力F和2F。下列关于该杆应变能的说法正确的是（D ）。

A .同时按比例加F和2F时，杆的应变能最大；

B .先加2F再加F时，杆的应变能最大；

C. 先加F再加2F时，杆的应变能最大；

D. 按不同次序加F和2F时，杆的应变能一样大

3.

二、图示角拐的自由端C上作用一个铅垂向上的集中力F。设角拐两段在同一水平面上且相互垂直，材料相同而且均为同一直径的圆截面杆，抗弯刚度EI和抗扭转刚度PGI都为已知。试求C点的铅垂位移y。 （此题用能量法解，至少用两种方法）

1 / 105 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 第12章 能量法 12.1 复习笔记 由于弹性体的变形具有可逆性，因此外力在相应位移上做功在数值上等于在物体内积蓄的应变能。利用功和能的概念求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法，称为能量法。能量法是有限元法求解固体力学问题的基础。本章首先介绍了应变能和余能的概念及计算方法，在此基础上讨论了卡氏定理，最后介绍了能量法在求解超静定问题中的应用。本章应重点掌握卡氏定理内容及能量法求解超静定问题的应用。 一、应变能和余能（见表12-1-1） 表12-1-1 应变能和余能 2 / 105 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 二、卡氏定理（见表12-1-2） 表12-1-2 卡氏定理

3 / 105 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 三、能量法求解超静定系统（见表12-1-3）

4 / 105 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 表12-1-3 能量法求解超静定系统 12.2 课后习题详解 12-1 图12-2-1（a）、（b）所示各杆均由同一种材料制成，材料为线弹性，弹性模量为E。各杆的长度相同。试求各杆的应变能。 图12-2-1（a）

5 / 105 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 图12-2-1（b） 解：（1）图12-2-1中（a）杆的应变能为： 222112212222222222231842112(2)24478NiiiFlFlFlVEAEAEAlFFlEdEdFlEd==+=+= （2）图12-2-1中（b）杆上距离下端x处截面上的轴力为：FN（x）＝F＋fx＝F＋（F/l）x，故杆件的应变能为： 2002220()dd214d23llNlFxVVxEAFFxFllxEAEd==+==

— 24 — BFPCFP

(a)

工程力学（静力学与材料力学）习题解答

第14章

材料力学中的能量法

14－1

线弹性材料悬臂梁承受载荷如图所示，εV为梁的总应变能，Bw、Cw分别为点B、C的挠度。关于偏导数Pε/FV的含义，有下列四种论述，试判断哪一个是正确的。

（A）Cw；

（B）Cw2；

（C）Bw+Cw；

（D）Cw21。

知识点：应变能，卡氏定理

难度：难

解答：

正确答案是 C 。

解：线性结构的外力功，由克拉贝依隆原理

CCBBwFwFWPP2121

而 CCBBwFwFWVPPε2121

而卡氏第二定理 BBwFVPε，CCwFVPε

CBCBCCBBwwFFFVFFFVFFFVFFFVFVPPPεPPPεPPPεPPPεPε

14－2 线弹性材料悬臂梁承受载荷如图所示，其中PPFF，εV为梁的总应变能，ABVε和BCVε分别为AB和BC段梁的应变能，Bw、Cw分别为点B、C的挠度。关于这些量之间的关系有下列四个等式，试判断哪一个是正确的。

（A）CBwwFVPε； （B）CBwwFVPε；

（C）BABwFVPε，CBCwFVPε； （D）BABwFVPε，CwFVPε。

知识点：应变能，卡氏定理

难度：难

解答：

正确答案是 A 。

解：沿各自力方向的线位移为正：

EIlFEIlFEIlFlEIlFEIlFEIlFwC48114853)2(2)2(3)2(33P3P3P2P3P3P（↓）

习题14-1图

习题14-2图 C'PF1x2xAB2l2lxPFw