通用2019春九年级数学下册第3章圆3.6直线与圆的位置关系第2课时切线的判定及三角形的内切圆习题讲评

第 2 课时 切线的判定
1．切线的判定 切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径
的直线是圆的__切__线__ 2．三角形的内切圆和内心 三角形的内切圆：和三角形三边都__相__切__的圆． 内心：内切圆的圆心，是三角形__三__条__角_平__分__线___的交点．
内心到三角形三边的距离__相__等__．
图1 答案：略
三角形的内切圆和内心 3．边长为 3,4,5 的三角形的内切圆与外接圆的半径之比为 ___2_∶__5__． 4．在△ABC 中，∠A＝80°， (1)点 I 是内心，则∠BIC＝___1_3_0_°__； (2)点 I 是外心，则∠BIC＝__1_6_0_°___.
1．切线的判定方法有 3 种： (1)直线与圆只有唯一一个公共点，直线和圆相切． (2)当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切． (3)经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切 线． 2．三角形的内心和外心容易混淆，内心是指内切圆的圆心， 是三条内角平分线的交点，性质是到三角形三边的距离相等； 外心是指外接圆的圆心，是三边垂直平分线的交点，性质是到 三顶点的距离相等．
切线的判定(重点) 1．下列说法正确的是( D ) A．垂直于圆的半径的直线和圆相切 B．经过圆的半径外端的直线和是圆的切线 D．经过直径的端点和这条直径垂直的直线是圆的切线
2．已知：如图 1，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 交于 D， 且 BD＝DC，DE⊥AC，求证：ED 是⊙O 的切线．

-通过作图和计算，让学生理解三角形内切圆的半径与三角形面积的关系。
2.教学难点
-判定圆的切线时，学生可能难以理解切线与半径的垂直关系，特别是在动态变化的情况下。
-理解三角形内切圆的半径计算方法，学生可能对面积公式和半周长概念混淆。
-在解决实际问题时，学生可能难以将问题抽象为数学模型，从而运用内切圆知识求解。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆的切线判定定理和内切圆半径的计算方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆的切线或内切圆相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用圆规和直尺作出圆的切线，或通过折叠纸片找到三角形的内切圆。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆的切线判定和内切圆的基本概念。圆的切线是与圆有且只有一个交点的直线，且交点为圆上的点。内切圆是与三角形三边都相切的圆。这些概念在几何学中具有重要地位，并在实际问题中有广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析圆的切线在实际中的应用，如圆规作图，以及内切圆在计算三角形面积中的应用，展示它们如何帮助我们解决问题。
二、核心素养目标
1.掌握圆的切线判定和性质，提升学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
2.理解三角形的内切圆概念，培养学生的几何直观和数据分析能力。
3.运用内切圆知识解决实际问题，增强学生的数学建模和问题解决能力。
4.通过探索和合作交流，提高学生的数学抽象和合作学习能力。
5.培养学生严谨的数学思维和科学态度，激发对数学学科的兴趣和探究精神。
举例解释：

知识准备
点和圆的位置关系有几种？
⑴点在圆内
·P r O
· ⑵点在圆上
P
r
O
⑶点在圆外
r
·P
O
用数量关系如何来 判断呢？
(令OP=d )
d<r
d=r
d>r
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一 用定义判断直线与圆的位置关系
问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一 条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一 下，直线和圆有几种位置关系吗？
证法1：反证法.
小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直. （1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条
直径垂直于CD,垂足为M,
B
（2）则OM<OA,即圆心到直线CD的距离
小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这
O
与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.C （3）所以AB与CD垂直.
AM D
反证法的证明视频
×
⑤直线a 和☉O有公共点，则直线a与☉O相交. ×
二 用数量关系判断直线与圆的位置关系
问题1 刚才同学们用硬币移近直线的过程中，除了
发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量
也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？
相关知识： 点到直线的距离是指
从直线外一点（A)到直线 (l)的垂线段(OA)的长度.
d< r d= r
直线与圆的位置关系
的性质与判定的区别：
位置关系
性质 判定
数量关系.
d> r
数量关系
公共点个数
练一练
1.已知圆的半径为6cm，设直线和圆心的距离为d ：

思路2：三角函数. （2）解： 如图，连接BC． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵AC=8,AB=5×2=10， ∴BC=6.
备考指导
在圆中计算线段长度的思路:
①利用勾股定理列方程求解； ②利用相似三角形列比例式求解； ③利用三角函数列比例式求解；
能力提升
例2.如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交
(2)求AC的长．
解：(1)连接 OD，∵BD 是⊙O 的切线，∴OD⊥BD，∵ AC⊥BD，∴OD∥AC，∴∠2＝∠3，∵OA＝OD，∴∠ 1＝∠3，∴∠1＝∠2，即 AD 平分∠BAC OD BO 4 (2)∵OD∥AC， ∴△BOD∽△BAC， ∴AC＝BA， ∴AC＝ 6 20 10，解得 AC＝ 3
分析
思路1：求线段长，勾股定理；
C
D A
E
思路2：求线段长，相似三角形；
由题意得：Rt△CEA∽Rt△CDB． CE CA CD CB x 2 10 5x 10 x 2 CE 2 .
4x
B
.
O
能力提升
例2.如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交
AC、BC于点D、E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F (1)求证：∠ABC=2∠CAF; (2)若AC= 2 10，CE:EB=1:4,求CE长。 F x
2 即（2 10） x 2 (3 x ) 2
4x
B
5 x O
.
得 x 2.
CE 2 .
能力提升
例2.如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交
AC、BC于点D、E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F (1)求证：∠ABC=2∠CAF; (2)若AC= 2 10，CE:EB=1:4,求CE长。 F x